人教版2024-2025学年九年级数学上册24.2点和圆、直线和圆的位置关系拔高提升同步分成练（含答案解析）

人教版2024-2025学年九年级数学上册 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 拔高提升同步分成练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确.）
1．（本题3分）已知某直线到圆心的距离2cm，圆的周长为4πcm，请问这条直线与这个圆的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
2．（本题3分）⊙O的直径为4，点A到圆心O距离为3．则（　　）
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O内 D．点A与⊙O的位置关系不能确定
3．（本题3分）下列说法中，不正确的是（ ）
A．过圆心的弦是圆的直径
B．同圆中两个圆心角相等，则它们所对的弦也相等
C．长度相等的弧不一定是等弧
D．坐标系中，以原点O为圆心，为半径作，则点在⊙O外
4．（本题3分）下列作线段的垂直平分线的尺规作图，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）如图，是的内心，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
7．（本题3分）如图，为的切线，A为切点，的延长线交于点C，，的度数（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）已知⊙O的半径是一元二次方程的解，且点O到直线AB的距离为2，则⊙O与直线AB的位置关系为( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
10．（本题3分）已知与各边相切于点，，则的半径（ ）

A． B． C． D．
11．（本题3分）如图，中，，，，是的外接圆，点是优弧上任意一点（不包括点，），记四边形的周长为，的长为，则关于的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
12．（本题3分）如图，是的两条直径，，点M是劣弧上任意一点，过点M作的垂线，交所在直线于点E、G，过点M作的垂线，交所在直线于点F、H，小明思考后提出如下说法，其中不正确的是（　　）
A．
B．
C．当M平分弧时，四边形为菱形
D．当时，
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二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．（本题4分）以平面直角坐标系原点O为圆心，半径为3的圆与直线的位置关系是 （填“相切”、“相离”或“相交”）
14．（本题4分）在中，，，，以C为圆心，为半径作，则点A与的位置关系是 ．
15．（本题4分）如图，，是的切线，A，B为切点，，当时，的长为 ．
16．（本题4分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心，3为半径的⊙O，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点，则PC+PD的最小值为 ．
17．（本题4分）如图，已知中，，作的外接圆，直径将圆分成上下两部分，点E为上半圆上的动点，点B，C在下半圆上，连结，过点B作，交的延长线于点F，则周长的最大值为 ．
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三、解题题（本大题共9题，共94分.答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点．
(1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ；
(2)判断与轴的位置关系： ．
19．（本题10分）如图，点是外接圆的圆心，点是内切圆的圆心，已知，求和的度数．
20．（本题10分）如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
21．（本题10分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，O均落在格点上，以点O为圆心长为半径的圆交于点C．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，结果用实线表示．
(1)线段的长等于______；
(2)画出的切线；
(3)P为上的动点，当取得最小值时，画出点P．
22．（本题12分）在中，．
(1)如图①，点O在斜边上，以点O为圆心，长为半径的圆交于点D，交于点E，与边相切于点F．求证：；
(2)在图②中作，使它满足以下条件：
①圆心在边上；②经过点B；③与边相切．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
23．（本题12分）综合与实践
定义：能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．
探索发现：用大小不同的圆形纸片去覆盖一张三角形纸片，经过多次操作发现：
（1）锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆，
（2）钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆．
如图1，以斜边为直径作圆，刚好是可以把覆盖的面积最小的圆，称之为该直角三角形的最小覆盖圆．
(1)实践与操作：如图2．在中，，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)应用与计算：如图3，在中，，，，请求出的最小覆盖圆的半径．
24．（本题14分）如图，以为直径的交于点D，点E为弧的中点，连结交于点F，且．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为4，，求的长．
25．（本题16分）如图，抛物线的对称轴为轴，且经过(0，0)，()两点，点P在抛物线上运动，以P为圆心的⊙P经过定点A(0，2)，
（1）求的值；
（2）求证：点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交；
（3）设⊙P与轴相交于M，N (＜)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D C D C B B A C
题号 11 12
答案 B D
1．B
【分析】根据若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离，即可得到问题选项．
【详解】解：∵圆的周长为4πcm，
∴圆的半径为2cm，
∵圆心到直线l的距离为2cm，
∴d=r，
∴直线与圆相切，
∴直线l和这个圆的公共点的个数为1个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心距与半径关系得出位置关系是解决问题的关键．
2．A
【分析】根据题意得⊙O的半径为2cm，则点A到圆心O的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点A在⊙O外．
【详解】解：∵⊙O的直径为4cm，
∴⊙O的半径为2cm，
而点A到圆心O的距离为3cm，
∴点A在⊙O外．
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d＝r；点P在圆内 d＜r．
3．D
【分析】由直径的概念可判断A，由弦，弧，圆心角的关系可判断B，由等弧的概念可判断C，由点圆的位置关系的判定可判断D，从而可得答案．
【详解】解：过圆心的弦是圆的直径，表述正确，故A不符合题意；
同圆中两个圆心角相等，则它们所对的弦也相等，表述正确，故B不符合题意；
长度相等的弧不一定是等弧，表述正确，故C不符合题意；
坐标系中，以原点O为圆心，为半径作，如图，
，
则点在上，故D表述错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查的是圆的基本概念，弧，弦，圆心角之间的关键，点与圆的位置关系，熟记以上基本概念是解本题的关键．
4．C
【分析】根据垂直平分线的作法进行判断即可．
【详解】解：A中是角平分线，故不符合要求；
B中是过直线外一点作直线的垂线，故不符合要求；
C中是线段的垂直平分线，故符合要求；
D中是作相等的线段，故不符合要求．
故选：C．
【点睛】本题考查了作垂线，作角平分线，作线段．解题的关键在于熟练掌握垂直平分线的作法．
5．D
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，内心的定义，先根据三角形内角和定理求出，再由内心的定义得到分别是的角平分线，则可推出，则由三角形内角和定理可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的内心，
∴分别是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
故选D．
6．C
【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得：PQ⊥OQ，再利用勾股定理得出OQ，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，即可求解．
【详解】连接PQ、OP，如图，
∵直线OQ切⊙P于点Q，
∴PQ⊥OQ，
在直角中，，
当OP最小时，OQ最小，
当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，
∴OQ的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了勾股定理，熟练掌握切线的性质以及勾股定理是解答本题的关键．
7．B
【分析】本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
根据切线的性质得，再利用等腰三角形的性质，再根据三角形外角的性质可得,最后根据直角三角形的两锐角互余即可解答．
【详解】解：∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
故选：B．
8．B
【分析】根据等腰直角三角形的外接圆半径的长求出斜边，再由勾股定理求出直角边，利用等腰直角三角形的面积即可求出内切圆的半径．
【详解】如图所示，是等腰直角三角形，是它的外接圆，是它的内切圆，连接AE、BE，
∵等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，
∴AB=4，
∴在中，，
∵是内切圆，
∴EF=EG=ED，
∴
，
∵，
∴，
即，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆和内切圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆基本的性质定理是解题的关键．
9．A
【分析】解方程确定圆的半径为3，圆心距d=2,比较半径与圆心距的大小，根据法则判断即可.
【详解】∵，
∴，
∴圆的半径为3，
∵点O到直线AB的距离为2，即d=2，
∴d＜R，
∴直线与圆相交，
故选A.
【点睛】本题考查了用半径、圆心距判定直线和圆的位置关系，熟练解方程，熟记d，R法则是解题的关键.
10．C
【分析】根据内切圆的性质，得到，AE=AD=5，BD=BF=2，CE=CF=3，作BG⊥AC于点G，然后求出BG的长度，利用面积相等即可求出内切圆的半径.
【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，作BG⊥AC于点G，

∵是的内切圆，
∴，AE=AD=5，BD=BF=2，CE=CF=3，
∴AC=8，AB=7，BC=5，
在Rt△BCG和Rt△ABG中，设CG=x，则AG=，由勾股定理，得：
，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：C.
【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质，利用勾股定理解直角三角形，以及利用面积法求线段的长度，解题的关键是掌握三角形内切圆的性质，熟练运用三角形面积相等进行解题.
11．B
【分析】作辅助线，构建全等三角形和等边三角形，证明Rt△AGB≌Rt△CFB得：AG＝CF，根据30°角的性质表示DF和DG的长，计算四边形ABCD的周长，即可得出结论．
【详解】解：连接OB交AC于E，连接OC、OA，
过B作BG⊥AD，BF⊥CD，交DA的延长线于G，交CD于F，
∵AB＝BC，
∴，
∴∠BDA＝∠BDC，
∴BG＝BF，
在Rt△AGB和Rt△CFB中，
∵BG＝BF，AB＝BC，
∴Rt△AGB≌Rt△CFB（HL），
∴AG＝FC，
∵，
∴OB⊥AC，EC＝AC＝×3＝，
在△AOB和△COB中，
，
∴△AOB≌△COB（SSS）．
∴∠ABO＝∠OBC＝∠ABC＝×120°＝60°．
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形．
∴∠BOC＝60°．
∴∠BDC＝∠ADB＝30°．
Rt△BDF中，BD＝x，
∴DF＝x．
同理得：DG＝x．
∴AD＋DC＝AD＋DF＋FC＝DG＋DF＝，
Rt△BEC中，∠BCA＝30°，
∴BE＝，BC＝，
∴AB＝BC＝，
∴AB＋BC＋AD＋DC＝＝，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆、垂径定理、圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是关键，利用直角三角形 30°角的性质解决问题．
12．D
【分析】根据三角形内角和定理证明，再通过三角形相似的判定定理得，由相似三角形的性质可判断A；由相似三角形的性质得便可判断B；连接，由圆的性质得，再证明都是等边三角形，得出，便可判断C；时，则，再证明为等边三角形，得，此时F、H则与点O重合，作出示意图，设圆的半径为r，用r表示与四边形的面积便可求得比值，从而判断D．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选项A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
故选项B正确，不符合题意；
连接，
当M平分弧时，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴四边形为菱形，
故选项C正确，不符合题意；
当时，则，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
此时F、H与点O重合，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，圆的性质，全等三角形的性质等知识，综合运用这些知识是解题的关键．
13．相切
【分析】根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．
【详解】解：原点O到直线的距离为3，
∴以原点O为圆心，半径为3的圆与直线的位置关系是相切，
故答案为：相切．
【点睛】本题考查的是直线和圆的位置关系，设圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和圆O相切．
14．点在内
【分析】本题考查点与圆的位置关系．熟记相关结论即可．若⊙O的半径为，一点P和圆心O的距离为，当时，点P在⊙O上；当时，点P在⊙O内；当时，点P在⊙O外．求出半径，与进行比较即可判断．
【详解】解：∵，，，
∴
∵
∴点在内
故答案为：点在内
15．
【分析】根据切线的性质求出，根据切线长定理求出，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：连接，
∵，是⊙的两条切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是切线的性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
16．
【分析】延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，则PC+PD的值最小．由∠DCB＝∠AOB＝90°，可得CD∥AO，从而可推出CD＝2，最后根据勾股定理求得PC+PD的最小值．
【详解】解：延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，则PC+PD的值最小，最小值为线段DE的长．
∵CD⊥OB，
∴∠DCB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠DCB＝∠AOB，
∴CD∥AO，
∴，
∴
∴CD＝2，
在Rt△CDE中，DE＝，
∴PC+PD的最小值为．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了轴对称——最短路径问题，平行线分线段成比例和垂径定理等知识，会利用轴对称性质解决最短问题是解题的关键．
17．
【分析】连结BD，过作于，首先得到HC和HB的关系，再证明AH=BH，可得AC=BH，根据AC求出AB，利用圆周角定理证明∠ABD=90°，从而推出∠F=30°，得到BF和EF，即可表示出△BEP的周长，可得当且仅当BE经过圆心，BE为⊙的直径时，BE取得最大值为时，的周长最大．
【详解】解：连结BD，过作于，
在中，，，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵AD是⊙的直径，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∵，，
∴，
∴，，
∴
．
当且仅当BE经过圆心，BE为⊙的直径时，
BE取得最大值为时，的周长最大，
∴的周长最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，直角三角形的性质，解题的关键是用BE表示出△BEF的周长．
18．(1)见解析，
(2)相交
【分析】本题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握三点定圆的方法；
（1）作、的垂直平分线交于点，则为圆心，的长为半径的圆即为所求；
（2）确定圆的半径及圆心到轴的距离即可判断；
【详解】（1）解：连接、，分别作、的垂直平分线交于点，以为圆心，的长为半径的圆即为所求，如图所示：
点坐标为：
故答案为：；
（2）∵，
即：的半径，
点到轴的距离，
∵，
∴与轴相交，
故答案为：相交．
19．，
【分析】如图，在上取点，连接 由圆的内接四边形的性质求解 再利用圆周角定理求解 为的内心，可得分别平分结合三角形的内角和定理可得，再利用内角和定理可得的大小．
【详解】解：如图，在上取点，连接
四边形为的内接四边形，
为的内心，
分别平分
【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，三角形内心的含义，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)1
【分析】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等边对等角，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接．根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据切线的性质得到，求得．根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接．
，
，
，
，
，
．
，
，
是的切线；
（2）解：，为直径，
是的切线．
是的切线，
，
，
．
，
在中，，
，
．
的半径为1．
21．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用网格根据勾股定理求出的长，再用即可求解的长；
（2）连接A点和B点上一格再左两格的格点，交于D，利用垂径定理得到，证明，得出是的切线；
（3）找到B点和C点关于的对称点和，连接交于P，可得当，P，D三点共线时，取得最小值．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴；
（2）如图所示：即为所求；
由作图可知：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∴是的切线；
（3）如图，点P即为所求．
【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，勾股定理，轴对称-最短路径问题及垂径定理等知识，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用．掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键．
（1）由切线的性质可得，推出，由平行线的性质可得，由等边对等角可得，等量代换可得；
（2）先作的角平分线，与交于点F，再作的垂直平分线，与交于点M，以点M为圆心，为半径作圆即可．
【详解】（1）证明：如图①，连接，
与相切于点F，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图②，即为所求．
证明：∵M在的垂直平分线上，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与边相切．
23．(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查的是作三角形的外接圆，垂径定理，勾股定理的应用，熟练的作三角形的外接圆是解本题的关键．
（1）由题意，这个三角形的最小覆盖圆就是以为直径的圆．先作出的垂直平分线，得出的中点，再以为半径作圆即可；
（2）连接、，过O作，求解，可得，证明，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：如图，是这个三角形的最小覆盖圆．
（2）解：如图，的最小覆盖圆为的外接圆
连接、，过O作于点H
，
，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，
故的最小覆盖圆的半径为2．
24．(1)与相切，证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理的推论得到，利用等腰三角形性质得到，利用同圆中，等弧所对的圆周角相等得到，推出，即可证明与相切；
（2）利用，推出，利用勾股定理得到，推出，由题证明，得到，设，，利用勾股定理建立方程求解，即可解题．
【详解】（1）解：与相切，
证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
E为弧中点，
，
，
，
为直径，
是的切线
（2）解：的半径为4，
，
在中，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
设，，由勾股定理得，
或（负数舍去），
即．
【点睛】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形性质，在同圆中等弧所对的圆周角相等，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理，并灵活运用．
25．（1）a=，b=c=0；（2）证明见解析；（3）P的纵坐标为0或4+2或4﹣2．
【分析】（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a，b，c的值即可；
（2）设P（x，y），表示出⊙P的半径r，进而与x2比较得出答案即可；
（3）分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标即可．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，
∴抛物线的一般式为：y=ax2，
∴=a（）2，
解得：a=±，
∵图象开口向上，∴a=，
∴抛物线解析式为：y=x2，
故a=，b=c=0；
（2）设P（x，y），⊙P的半径r=，
又∵y=x2，则r=，
化简得：r=＞x2，
∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；
（3）设P（a，a2），∵PA=，
作PH⊥MN于H，则PM=PN=，
又∵PH=a2，
则MH=NH==2，
故MN=4，
∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），
又∵A（0，2），∴AM=，AN=，
当AM=AN时，=，
解得：a=0，
当AM=MN时，=4，
解得：a=2±2（负数舍去），则a2=4+2；
当AN=MN时，=4，
解得：a=﹣2±2（负数舍去），则a2=4﹣2；
综上所述，P的纵坐标为0或4+2或4﹣2．
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