人教版2024-2025学年九年级上册23.2.2关于原点对称的点的坐标拔高提升同步分成练习（含答案解析）

人教版2024-2025学年九年级上册23.2.2关于原点对称的点的坐标拔高提升同步分成练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共40分）
1．（本题4分）在平面直角坐标系中，点与点的位置关系是（ ）
A．关于原点对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．以上都不对
2．（本题4分）在平面直角坐标系中，点M（1，﹣2）与点N关于原点对称，则点N的坐标为（ ）
A．（﹣2， 1） B．（1，﹣2） C．（2，-1） D．（-1，2）
3．（本题4分）若与点关于原点对称，则的值是（ ）
A．12 B． C．0 D．
4．（本题4分）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，则的直角顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题4分）在平面直角坐标系中，是以为底边的等腰三角形，，，，其中．关于点的位置描述正确的是（ ）
A．在轴上 B．随的变化而不同
C．在第四象限 D．在第三象限
6．（本题4分）下列四个命题:①有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等;②三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分:③若,则>0:④点P(1,2)关于原点的对称点坐标为P(-1,-2);其中真命题的是( )
A．①、② B．②、④ C．③、④ D．①、③
7．（本题4分）已知a<0，则点P(-a2，-a+1)关于原点的对称点P′在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（本题4分）已知抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得新抛物线的顶点与原抛物线的顶点关于原点对称，则k的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
9．（本题4分）如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为（ ）．
A．2 B． C．6 D．
10．（本题4分）若函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，我们把该函数称为“美好函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“美好点”．若点是关于的“美好函数”上的一对“美好点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧．有下列结论①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
评卷人得分
二、填空题（共25分）
11．（本题5分）已知点A（a，1）与点A′（5，b）是关于原点对称，则a= ，b= ．
12．（本题5分）点关于原点对称的点的坐标为 ；
13．（本题5分）若点关于原点对称的点是，则的值为 ．
14．（本题5分）已知点M的坐标为(3,-5)，则关于x轴对称的点的坐标点的坐标为 ；M关于y轴对称的点的坐标为 ；M点关于原点对称的点的坐标为
15．（本题5分）点P（2，﹣3）关于x轴的对称点是 ，关于y轴的对称点是 ，关于原点的对称点是 ．
评卷人得分
三、解答题（共85分）
16．（本题8分）如图，的顶点坐标分别为，．

(1)画出关于点O成中心对称的．
(2)写出坐标：______，______．
17．（本题8分）在直角坐标系中，找出下列各点中关于原点对称的点．
，，，，，，，，，．
18．（本题9分）如图，的顶点都在方格纸的格点上．
（1）画出关于直线的对称图形；
（2）画出关于点的中心对称图形；
（3）画出绕点逆时针旋转后的图形．
（4）求的面积．
19．（本题9分）如图，已知的三个顶点坐标分别为，，，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与关于原点对称的图形，并写出点对应点的坐标．
20．（本题9分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知．

(1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是_____；
(2)若点与点关于原点对称，则点的坐标为______；
(3)已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标．
21．（本题9分）在的方格纸中，的三个顶点都在格点上．
（1）将图中的绕着点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的；
（2）如果C点的坐标是，每个小方格的边长为1，写出关于C点的对称图形的顶点坐标．
22．（本题11分）如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标；
(3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（本题10分）已知关于的二次函数．
(1)当，时，求该函数图象的对称轴及顶点坐标；
(2)在（1）的条件下，为该函数图象上的一点，若关于原点的对称点也落在该函数图象上，求的值；
(3)当该函数图象经过点时，若，是该函数图象上的两点，试比较与的大小．
24．（本题12分）已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点为．
(1)求抛物线的表达式及的顶点A的坐标；
(2)抛物线与关于原点成中心对称；的顶点记为，点P，分别在、，且两点为对应点（两点关于原点对称）．
①证明：四边形为平行四边形；
②当四边形成为菱形时，试求点的坐标．
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A A D B D D D A
1．A
【分析】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数．据此解答即可．
【详解】解：∵点与点的横纵坐标均互为相反数，
∴点与点的位置关系是关于原点对称．
故选A．
2．D
【详解】解：点M（1，﹣2）与点N关于原点对称，
点N的坐标为
故选D.
【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标特征：横坐标和纵坐标都互为相反数.
3．A
【分析】根据关于原点对称的两个点的横、纵坐标的特点求出的值，即可得出答案．
【详解】解： 与点关于原点对称，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标特点，熟知关于原点对称的两个点的横、纵坐标互为相反数是解本题的关键．
4．A
【分析】本题考查点的坐标规律探究、旋转性质、坐标与图形、勾股定理，找到每三个三角形为一个循环组依次循环是解答的关键．先根据勾股定理求得，再根据图形中前几个直角三角形的直角顶点的位置变化规律，以及横纵坐标的变化规律，进而可求解．
【详解】解：∵点，，
∴，，
∴，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为，
∵，
∴的直角顶点为第673个循环组的第一个直角三角形的顶点，
∵，
∴的直角顶点的坐标为，
故选：A．
5．D
【分析】根据等腰三角形性质得出点A在的垂直平分线上，求出，根据，得出，求出点B在第三象限即可．
【详解】解：∵是以为底边的等腰三角形，
∴点A在的垂直平分线上，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
则，
∴，
∴点B在第三象限，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平面直角坐标系中点的坐标特点，求不等式组的解集，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一，平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点．
6．B
【分析】根据三角形的面积，全等三角形的判定，关于原点对称的点的坐标特征，算术平方根的定义对各小题分析判断即可得解．
【详解】①有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故①错误；
②三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分，故②正确；
③若,则≥0，故③错误；
④点P(1,2)关于原点的对称点坐标为P(-1,-2)，故④正确.
其中真命题的是②、④.
故选B.
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．D
【详解】因为点P（-a2,-a+1）关于原点的对称点为P′,所以P′（a2,a-1）,
又因为a＜0,所以a-1＜0,a2＞0,所以P′在第四象限.故选D.
8．D
【分析】先求出原抛物线的顶点坐标为，然后再根据平移得出新的抛物线顶点坐标为，再根据关于原点对称的两个点的特点，列出关于k的方程，解方程即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为：，
将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后，新的抛物线的顶点坐标为：，
∵所得新抛物线的顶点与原抛物线的顶点关于原点对称，
∴，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了抛物线的平移，关于原点对称点的特点，解一元一次方程，熟练掌握抛物线的平移特点，得出平移后抛物线的顶点坐标为，是解题的关键．
9．D
【分析】本题主要考查了中心对称、菱形的性质、中心对称的性质等知识点，熟记相关性质是解题关键．
根据菱形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（横坐标与纵坐标互为相反数）确定m、n的值，最后求和即可．
【详解】解：∵四边形菱形且对角线交于原点O，
∴点D与点B关于原点成中心对称，
∴，
∴．
故选：D．
10．A
【分析】此题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“美好函数”，“美好点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
先根据题意求出m，n的取值，代入得到a，b，c的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解．
【详解】解：∵点是关于x的“美好函数”上的一对“美好点”，
∴关于原点对称，
∴，
∴，
代入
得 ，
∴，
∴①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧，
∴，
∴，即
当时，两边同乘a得：，无公共解集，舍去．
当时，两边同乘a得：，
∴，
∴③正确，符合题意，
∵，
∴，
∵
∴，
整合条件：
三式相加得：，
∴，即
∴④错误，不符合题意．
综上所述，结论正确的是①②③．
故选：A．
11． -5 -1
【详解】试题分析：点A（a，1）与点A′（5，b）是关于原点对称，可知，两点的横纵坐标均互为相反数．
所以有a=﹣5，b=﹣1．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
12．（3， 4）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为（3， 4），
故答案为：（3， 4）．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
13．8
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数列式求出、的值，代值计算即可解得．
【详解】解：点关于原点对称的点是，
，，
解得，，
所以，．
故答案为：8．
14． （3,5） （-3，-5） （-3,5）
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，关于y轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同，可得答案．
【详解】点M的坐标为（3， 5），则关于x轴对称的点的坐标为 （3，5），关于y轴对称的点的坐标为 （ 3， 5），关于原点对称的点的坐标为（ 3，5），
故答案为：（3， 5），（ 3， 5），（ 3，5）．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，关于y轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同．
15． （2，3） （﹣2，﹣3） （﹣2，3）
【详解】试题分析：根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
解：点P（2，﹣3）关于x轴的对称点是（2，3），
关于y轴的对称点是 （﹣2，﹣3），
关于原点的对称点是 （﹣2，3）．
故答案为（2，3）；（﹣2，﹣3）；（﹣2，3）．
考点：关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
16．(1)见解析
(2)，
【分析】本题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置，连线即可得出答案；
（2）根据关于原点对称的性质得出对应点坐标即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，

（2）解：关于点O成中心对称的，，，
，．
17．见解析
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征进行判断．
【详解】解：点和点关于原点对称；
点与关于原点对称；
点与关于原点对称；
点与关于原点对称；
点与关于原点对称．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是．
18．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）3
【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线MN的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出三个顶点关于点O的对称点，再首尾顺次连接即可；
（3）分别作出点A、C绕点B逆时针旋转90°所得对应点，再与点B首尾顺次连接即可；
（4）结合图形，利用三角形的面积公式列式计算即可．
【详解】（1）如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求；
（3）如图所示：即为所求；
（4）的面积．
【点睛】本题主要考查作图—轴对称变换和旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及三角形的面积公式．
19．画图见解析，点对应点
【分析】根据题意作出与关于原点对称的对称点，顺次连接得到，根据关于原点对称的点的坐标的关系即可求点对应点．
【详解】解：如图所示，即为所求，
点对应点
【点睛】本题考查了画中心对称图形，掌握关于原点对称的点的坐标的关系是解题的关键．
20．(1)作图见解析，4
(2)
(3)点坐标为或
【分析】（1）利用描点法在平面直角坐标系中描出即可得到，在网格中求出三角形面积即可得到答案；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征即可得到答案；
（3）根据网格中三角形面积的求法，列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：在平面直角坐标系中描点，如图所示：

将放在矩形中求面积，如图所示：
；
故答案为：4；
（2）解：点与点关于原点对称，如图所示：
，
点坐标为，
故答案为：；
（3）解：如图所示：

∵为轴上一点，若的面积为4，
∴
，
设，则，即或，
∴点的横坐标为：或，
P点坐标为：或．
【点睛】本题考查网格中作三角形、网格中求三角形面积、点关于原点对称、由网格中三角形面积求点的坐标等知识，熟练掌握网格中三角形面积的求法是解决问题的关键．
21．（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕着点C按顺时针方向旋转90°后的对应点的位置，再与点C顺次连接即可；
（2）根据中心对称的性质画出△ABC关于C点的对称图形△A2B2C2图形，写出的顶点坐标即可．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
则
【点睛】本题考查 旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．(1)；
(2)最大值为2，的坐标为；
(3)存在，或．
【分析】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用了三角形的面积得出关于n的方程，以防遗漏；
（1）根据对称轴，利用待定系数法即可求解；
（2）根据对称轴得出点坐标，由点、的坐标得直线的解析式为，设点，则点，进而求解；
（3）根据三角形的面积，可得关于的方程，根据解方程，可得答案；
【详解】（1）点的坐标为
．
抛物线过点，对称轴是直线，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）抛物线对称轴为直线，点的坐标为，
点的坐标为．
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为．
设点，
则点，
．
，
当时，线段的值最大，最大值为2，此时点的坐标为；
（3）存在．
设点，
如图，过点作于点，连接．
，
，
．
，
．
由的面积，得，
即化简，得，
解得（不符合题意，舍去），
．
设点与点关于原点对称，则，
．
综上所述，点的坐标为或．
23．(1)，对称轴为直线
(2)
(3)当时，；当时，
【分析】（1）将的值代入函数解析式即可；
（2）根据（1）中的结论，即可求得的值；
（3）根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的数学思想即可求得与的大小．
【详解】（1）解：当，时，
，
该函数图象的顶点坐标是，对称轴为直线；
（2）解：点关于原点对称的点的坐标是，
则，
解得：；
（3）解：函数的图象经过点，
，
，
，
函数的对称轴为直线，
当时，，
，，是该函数图象上的两点，
，
当时，，
，，该函数图象上的两点，
，
综上所述：当时，；当时，．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、关于原点对称的点的坐标，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
24．(1)；
(2)①见解析；②或
【分析】(1)根据题意，得，解方程组即可．
(2) ①利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．
②根据，，抛物线与关于原点成中心对称得到，，根据对角线互相垂直且平分线的四边形是菱形，得到
是线段的垂直平分线，设，根据确定直线的解析式，联立直线的解析式，构成方程组，解之即可．
【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点为，
∴，
解得，
故抛物线的表达式为；
∵，
∴的顶点A的坐标为．
（2）①∵抛物线与关于原点成中心对称；的顶点记为，点P，分别在、，且两点为对应点（两点关于原点对称），
∴，
∴四边形为平行四边形．
②∵，抛物线与关于原点成中心对称得到，
∴，
设，则，
∵点P是抛物线的点，
∴
∴，
故抛物线的解析式为，
∵对角线互相垂直且平分线的四边形是菱形，
∴是线段的垂直平分线，
设，
∴，
∴，
解得，
故直线的解析式为，
根据题意，得，
解方程组，得，
故或．
【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，抛物线的顶点，原点对称，平行四边形的判定，菱形的性质，两点间的距离公式，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握待定系数法，平行四边形的判定，菱形的性质是解题的关键．
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