人教版2024-2025学年九年级数学上册21.2.1配方法拔高提升同步练习（附答案解析）

人教版2024-2025学年九年级数学上册 21.2.1 配方法 拔高提升同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用配方法解方程时，方程两边应同时（ ）
A．加9 B．减9 C．加36 D．减36
2．将方程降次转化为一元一次方程，得（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．将式子化为的形式，其结果为（ ）
A． B． C． D．
4．如果代数式3x2-6的值为21，则x的值为（ ）
A．3 B．±3 C．-3 D．±
5．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．方程的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A． B． C． D．
7．若用配方法解方程，通常要在此方程两边同时加上一个“适当”的数，则下面变形恰当的是（　　）
A． B．
C． D．
8．平面直角坐标系中，已知点，且实数，满足，则点到原点的距离的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
9．下列语句中：
①两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；
②在直径为的圆中，的圆心角所对的弧长为；
③用配方法解方程时，原方程应变形为；
④抛物线，当时，随的增大而减小．
不正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．如：a﹣1，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式a﹣1的和的形式，下列说法正确的有（ ）个．
①若x为整数，为负整数，则x＝﹣3；②69；③若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11（整式部分对应等于5m﹣11，真分式部分对应等于），则m2+n2+mn的最小值为27．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．设A＝a+3，B＝a2﹣a+5，则A与B的大小关系是A B（填“＞，＝，＜”之一）
12．代数式的最大值为 ．
13．关于的方程的两个实数根为，，则＝ ．
14．如图，已知，C为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点C，E，F在一条直线上，．P、Q分别是对角线，的中点，当点C在线段上移动时，点P，Q之间的距离最短为 （结果保留根号）．

15．若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数6149，因为，所以6149是“和方数”；又如：四位数3562，因为，所以3562不是“和方数”．最小的“和方数”为 ；已知为“和方数”，A去掉千位数字后所得的三位数记为，记，，在能被11整除的情况下，当取得最大值时，满足条件的“和方数”A等于 ．
三、解答题
16．解方程。
(1)． (2)．
(3)（用配方法）．
17．我们知道：若，则x=3或x=-3.因此，小南在解方程时，采用了以下的方法：解：移项得两边都加上1，得，所以；则或所以或.小南的这种解方程方法，在数学上称之为配方法.请用配方法解方程
18．已知菱形对角线的长分别为，且．
(1)求菱形的周长；
(2)求菱形的高．
19．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
20．如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为米的正方形狗屋．设米．
(1)请用含的代数式表示的长 （直接写出结果）；
(2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为平方米，请用含的代数式表示；（写出过程）
(3)求出山羊活动范围面积的最大值．
21．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），以OA为一边在第一象限内作矩形OABC，直线CD：交AB于点E，与y轴交于点D，．
(1)求点B的坐标．
(2)点P为线段CE上的一个动点，过点P作轴，交AB于点F，交x轴于点G，连接FD，设点p的横坐标为m，△DFP的面积为S，求S关于m的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，连接BP并延长与x轴交于点M，过点P作，与x轴交于点，当时，在直线CD上是否存在一点R，过点作轴交直线于点Q，得，若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，某小区有块长为米，宽为米的长方形地块，角上有 4个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分绿化，其中a b ．
（1）用含有a 和b 的式子表示绿化的总面积 S；（结果用最简形式表示）
（2）若a b 20 且，求 S 的大小；
（3）若a b 20 ，那么当a 米且 b= 　　　米时，有S 的最大值为： 当 S 取最大值时，若甲乙两个工程队一起实施绿化，且甲每小时可绿化 4 平方米，乙每小时可绿化 1 平方米，且乙的工作时间不低于甲的工作时间，则甲最多工作 　　　小时．
23．如图1，在平面直角坐标系中，射线轴，点A在y轴正半轴上，纵坐标为m，m是方程的解．
（1）求A点坐标；
（2）点P是x轴正半轴上的一个动点，点E在射线上，连接、，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式，不要求写出自变量t的取值范围；
（3）如图2，在（2）的条件下，点C在x轴的正半轴上，点D在上，连接与交于点F．且，点Q在上，当时，连接并延长与射线相交于点M，，，求的长．
24．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式最小值．
解：
∵无论x取何实数，总有．
∴，即的最小值是．
即无论x取何实数，的值总是不小于的实数．
问题：
(1)已知，求证y是正数；
(2)知识迁移：如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为t秒时S最大，请求出t和S的值，
1．A
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解题时要注意解题步骤的准确应用，在二次项系数为1的情况下，左右两边应该加上一次项系数一半的平方．
【详解】∵
故选：A．
2．C
【分析】利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
两边都加4得：，
∴，
∴或，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程是解本题的关键．
3．C
【分析】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤求解即可．
【详解】解：
故选C
4．B
【详解】解：根据题意得：3x2﹣6=21，即x2=9，解得：x=±3，故选B．
点睛：此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．
5．C
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果．
【详解】解：对于丙的化简，应该是等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，
应该为，即
故选C
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
6．D
【分析】根据配方法，将式子变为，由此即可直接配方为：，由此即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程中的配方法，关键在于熟练掌握其公式．
7．C
【分析】把原方程变形为，将2x看成未知数，方程两边都加上一次项系数一半的平方即可．
【详解】解：方程变形为，
∴
故选：C
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．
8．D
【分析】根据题意，可以先表示出，然后根据和非负数的性质，可以得到的最小值．
【详解】解：点，点，
，
，
，
，
，
，
即的最小值是，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的最小值．
9．A
【分析】根据相似三角形的判定，弧长公式，配方法及二次函数的性质可得出答案．本题考查了相似三角形的判定，弧长公式，配方法，二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形不一定相似，
∴错误；
∵在直径为的圆中，的圆心角所对的弧长为，
∴正确；
∵，
∴原方程应变形为，
∴正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴时随的增大而减小，
∴当时，随的增大而减小，
∴正确；
∴错误的个数为个，
故选：．
10．D
【分析】利用题干中的方法将分式拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，利用整数或整式的性质对每个结论进行判断即可．
【详解】解：∵为负整数，
为负整数，
故①的结论正确；
∵，
又，
∴，且有最小值2，
∴有最大值3，
∴，
∴②的结论正确；
∵，
∴m＝x＋2，n 6＝ （x＋2），
∴m＝x＋2，n＝4 x．
∴m2＋n2＋mn
＝(m＋n)2 mn
＝36 （ x2＋2x＋8）
＝x2 2x＋28
＝(x 1)2＋27，
∵(x 1)2≥0，
∴m2＋n2＋mn有最小值为27，
∴③的结论正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的加减法，整式的加减法，本题是阅读型题目，理解并熟练应用题干中的方法是解题的关键．
11．＜
【分析】通过作差法和配方法比较A与B的大小．
【详解】解：∵A＝a+3，B＝a2﹣a+5，
∴B﹣A＝a2﹣a+5﹣a﹣3＝a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1
∵（a﹣1）2≥0．
∴（a﹣1）2+1＞0．
∴B＞A，即A＜B．
故答案是：＜．
【点睛】考查了配方法的应用，非负数的性质以及整式的加减，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
12．4
【分析】本题考查了配方法，非负数的性质．利用配方法将原式配方成，再利用非负数的性质解答即可．
【详解】解：
，
当，时，代数式的最大值为4．
故答案为：4．
13．3
【分析】解一元二次方程，再分类讨论即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
两边开平方可得，
，即，，
①当，时，
，
②当，时，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查解一元二次方程及分类讨论思想，解题的关键是解出两根后分类讨论．
14．
【分析】连接、，首先证明，设，则，，，得出，利用配方法即可解决问题．
【详解】解：连接、，

∵四边形，四边形是菱形，，
∴，，
∵P，Q分别是对角线，的中点，
∴，，，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∴，
∴当时，点P，Q之间的距离最短，最短距离是，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、配方法的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练应用相关知识．
15． 1425 2781
【分析】本题考查了实数的新定义运算，因式分解，解一元二次方程，根据“和方数”的定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键．设为“和方数”，可知 ，，即，要使得越小，只需，，，越小即可，再根据定义即可求解；由题意可知，则，由能被11整除，得能被33整除，结合定义可知，进而求得，可知 ，，由，可知当时，取得最大值，此时，即可求解．
【详解】解：设为“和方数”，
则 ，，即，
要使得越小，只需，，，越小即可，
当时，
若时，，不符合题意，
若，此时，则，不符合题意，
若，此时，，则，，
即：最小的“和方数”为1425；
∵为“和方数”，则，
∴，
则，
∵能被11整除，即：能被33整除，
∴能被33整除，
∵，
∴，
令，则为33的倍数，，则，
当时，解得，不符合题意；
当时，解得，不符合题意；
当时，解得，符合题意（不符合题意，舍去）；
∴，，
∴，，
则，
当时，取得最大值，此时，
则此时“和方数”等于2781，
故答案为：1425，2781．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用分解因式法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：移项，得，
提公因式，得，即，
则，
解得；
（2）解：，
，
则，
即；
（3）解：移项，得，
二次项系数化为，得
配方，得即，
，
，
即．
【点睛】本题考查解一元二次方程，选择合适的方法正确解方程是解题的关键．
17．或
【详解】解：移项，得x2-4x=5：
两边都加上4，得x2-4x+4=5+4，所以(x-2) 2=9
则x-2=3或x-2=－3：
所以x=5或x=－1．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据步骤解方程即可．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由非负式和为零的条件，求出，再由菱形性质，由勾股定理得到菱形边长为，即可得到答案；
（2）由（1）中数据，结合等面积法列式求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，即，
菱形对角线的长分别为，
菱形边长为，
菱形的周长为；
（2）解：根据菱形面积可得，
由（1）可知，则，解得，
菱形的高为．
【点睛】本题考查菱形综合，涉及非负式和为零的条件、菱形性质、勾股定理、菱形周长、菱形面积公式及二次根式运算等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键．
19．(1)节后每千克A粽子的进价为10元
(2)节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元
【分析】（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得：
，
解得：，，
经检验，都是原方程的解，但不符合实际舍去，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最大值，且最大值为：，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．
20．(1)；
(2)；
(3)山羊活动范围面积的最大值是平方米．
【分析】（）根据得到，整理即可得到答案；
（）根据列出代数式即可；
（）先得到 ，再根据题中的方法即可得到答案；
此题考查了配方法的应用，列代数式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意得，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：依题意得：，
∴，
∴；
（3）解：
，
又因为，，
∴，
∴，
∴山羊活动范围面积的最大值是平方米．
21．(1)
(2)
(3)存在；或
【分析】（1）先求出直线CD的解析式即可解决问题；
（2）用M表示PF的长，利用三角形的面积公式计算即可；
（3）由题意可知：，整理得：，解得或（舍去），则，根据，，，可证，则，，则，根据直线解析式为：，结合，可知直线的解析式为：，则，当点再点上方时，设，则，根据，则，进而可知，故，根据对称性可知，也满足条件，由此可得到结果．
【详解】（1）解：由题意知，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线，
当时，，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，
∵，F（m，4），
∴，
∴；
（3）解：如图2所示：
由题意可知：，
整理得：，
解得或（舍去），
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵直线解析式为：，
∵，
∴直线的解析式为：，
∴，
当点再点上方时，设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据对称性可知，也满足条件，
∴或．
【点睛】本题考查一次函数综合题，矩形的性质，平行线分段成比例定理，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决本题的关键．
22．（1）；（2）475；（3），，，
【分析】（1）用长乘以宽表示出长方形地块面积，再减去4个小正方形的面积即可；
（2）由得，结合求出a和b的值，再代入（1）中的结果求出S的值；
（3）由得，则，利用配方法求出最值，以及取最值时a和b的值，设甲工作时间为，乙工作时间为，用x表示出y，然后列不等式求出x的最大值．
【详解】解：（1）
；
（2）∵，
∴，
解方程组，解得，
则；
（3）∵，
∴，
∴，
，
当时，，S有最大值，最大值是，
设甲工作时间为，乙工作时间为，
列方程：，则，
∵乙的工作时间不低于甲的工作时间，
∴，解得，
∴甲最多工作小时，
故答案是：，，，．
【点睛】本题考查列代数式和代数式求值，不等式的应用，配方法求最值，解题的关键是掌握这些知识点进行计算求解．
23．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）解方程求出纵坐标m即可；
（2）根据三角形面积公式列出关系式即可；
（3）作ON∥ED，可得N是DC中点，由，可得FE=FD，根据平行得出FN=FO，进而求出OE=，求出点E坐标，再根据，作PK⊥AB于K，PI⊥PQ交直线AO于I，PH⊥OE于G，交AO于H，连接QH，求出QK长，勾股定理即可求出的长．
【详解】解：（1）解方程得，，则A点坐标为（0，3）；
（2）∵，点P的横坐标为t，
∴；
（3）作ON∥ED，交DC于N，作PK⊥AB于K，PI⊥PQ交直线AO于I，PH⊥OE于G，交AO于H，连接QH，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DF=EF，
∵ON∥ED，
∴，
∴OF=FN，
∴OE=DN，
∵，
∴，
∴，
∴ON=NC，
∵，
∴，
∴ON=DN，
∵，
∴，
，
当时，，，P点坐标为（3，0），可得K点坐标为（3，3）；∠KPO=∠QPI=90°，
∴∠KPQ=∠OPI，
∵∠PKQ=∠POI=90°，PK=PO=3，
∴△PKQ≌△POI，
∴PQ=PI，QK=OI，
∵PH⊥OE于G，，
∴，
∵PQ⊥PI，
∴，
∵PH=PH，
∴△PQH≌△PIH，
∴QH=IH，
∵IH=OH+OI=OH+QK，
∴OH+QK=QH，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，OA=OP，
∴△AEO≌△OHP，
∴OH=AE=1，AH=OA-OH=2，
设QK为x，则QH=1+x，AQ=3-x，
，解得，，即QK=1.5，
．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，解题关键是通过已知条件，恰当作辅助线，依据全等三角形，得出线段之间的数量关系，根据勾股定理列出方程．
24．(1)见解析
(2)t=，S最大值=
【分析】（1）仿照例题，利用配方求解即可．
（2）先求s，再利用配方求最值即可．
【详解】（1）证明：（1）
．
∵．
∴．
∴．
∴y是正数．
（2）解：∵，，．
∴
．
∵．
∴当时，S有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键．
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