人教版2024-2025学年九年级数学上册21.2.2公式法拔高提升同步练习(附答案解析)

人教版2024-2025学年九年级数学上册 21.2.2公式法 拔高提升同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．无实数根
C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根
2．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
3．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
4．是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B． C． D．
5．已知方程的两根是等腰三角形的两条边长，则等腰三角形的周长是（ ）
A．15 B．12 C．9 D．12或15
6．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（ ）
A．3或 B．6或 C．1或3 D．27
7．，是一元二次方程的两个解，且，下列说法正确的是（ ）
A．小于，大于3 B．小于，大于3
C．，在-1和3之间 D．，都小于3
8．定义运算：，例如：，则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
9．设a，b为正数，并且一元二次方程，均有等根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，．函数在的图象如图所示，则在该范围内方程的解有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
当代数式的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B． C．2或4 D．2或
12．根据绝对值的定义可知，下列结论正确的个数有（ ）
①化简一共有8种不同的结果；
②的最大值是5；
③若，（为正整数），则当时，；
④若关于的方程有2个不同的解，其中为常数，则或
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
13．方程 的解是 ．
14．关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 ．
15．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则 0（填“>”，“<”或“=”）
16．一元二次方程，当 时，它的求根公式为：
17．如果关于 的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ．
三、解答题
18．用公式法解下列万程：
(1)． (2)．
(3)． (4)．
19．嘉淇在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示：
解方程
解： （第一步）
（第二步）
∴原方程无实数根 （第三步）
(1)嘉淇的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________；
(2)请你写出此题的正确的求解过程．
20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、．
(1)求a的取值范围；
(2)若，用公式法求该方程的解．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣m﹣1＝0．
（1）求证：不论m取任何实数，方程都有实数根；
（2）当m＝0时，用公式法解这个一元二次方程．
22．【综合与实践】
【问题情境】课堂上，老师让同学们复习一元二次方程（）的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下：
【操作判断】）（1）小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为的形式，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程或 ，进而得到原方程的根为， ．
【实践探究】（2）小文：分解因式法虽好，但是有些方程用这个方法不太方便，比如，这个方程利用公式法或者配方法可得：，，但我们能反过来利用这两个解帮助我们对进行因式分解得到，请你利用这个方法对进行因式分解．
【问题解决】（3）小彬：从特殊到一般，是否所有的代数式（）都能进行因式分解呢？请说明能进行因式分解的代数式中的a，b，c要满足什么条件，因式分解的结果是什么？
23．某商店如果将进价为20元的商品按每件32元售出，每天可销售100件，现在采取降低售价，增加销售量的方法增加利润，已知这种商品每降价1元，其销量增加10件．
(1)要使每天获得720元的利润，请你帮忙确定售价：
(2)该商店能否通过降价销售的方式保证每天获得1500元的利润？并说明理由．
24．如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的途度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区．当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离．，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离．

(1)如果这艘轮船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？
(2)如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？
(3)假设轮船航行速度和航向不变，轮船受到台风影响一共经历了多少小时？
25．阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
1．知识运用：
试用“分组分解法”分解因式：；
2．解决问题：
（1）已知a，b，c为△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状．
（2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且，同时成立．
①当k=1时，求a+c的值
②当k≠0时，用含有a的代数式分别表示b，c，d（直接写出答案即可）
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1．D
【分析】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是解题的关键．求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可．
【详解】解：
方程有两个不等的实数根．
故选：D．
2．D
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，掌握“一元二次方程有实数根，则”是解题的关键．
根据一元二次方程有实数根，则列出不等式，解不等式即可，需要注意．
【详解】解：由题意得，
解得：且，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴或，
∴．
故选B．
4．A
【分析】本题考查由公式法解一元二次方程．根据公式法解一元二次方程的步骤对各选项逐项判断即可．
【详解】A．方程的解为：，故符合题意；
B．方程的解为：，故不符合题意；
C．方程的解为：，故不符合题意；
D．方程的解为：，故不符合题意．
故选A．
5．A
【分析】题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论是解题的关键．
【详解】解：解方程得，
因为，
所以等腰三角形的两腰为6、6，底边长为3，
所以三角形周长．
故选A．
6．B
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据流程图可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
解得或，
故选：B．
7．A
【分析】此题主要考查了直接开平方法解方程以及估计无理数的大小，求出两根是解题关键．利用直接开平方法解方程得出两根进而估计无理数的大小得出答案．
【详解】解：、是一元二次方程的两个解，且，
，
，，
故选：A
8．A
【分析】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解题的关键．利用新定义得到，然后利用可判断方程根的情况即可．
【详解】解：由新定义得：，
即，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
9．A
【分析】根据的意义得到，即①；，即②，①②可消去得关于的方程，求出的正数解为，易得到，再计算结果．
【详解】解：一元二次方程，均有等根，
，即，①
，即，②
①②得，，，
解得，，
为正数，
，
把代入②得，，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则，；以，为根的一元二次方程是．也考查了一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的解．
10．B
【分析】根据新定义和函数图象讨论：当时，则；当时，则；当时，则，然后分别解关于的一元二次方程即可．
【详解】解：当时，，解得，（舍去）；
当时，，解得；
当时，，方程没有实数解；
所以在该范围内方程的解有两个：，．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的图象，根据新定义和函数图象讨论是解题的关键．也考查了实数的大小比较．
11．C
【分析】由规律可得：，令，，可得，再解方程即可．
【详解】解：由规律可得：，
令，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
故选：C．
【点睛】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键．
12．C
【分析】由、、的结果分别有2种，则的结果共有种，可判断①；根据的取值，化简运算即可判断②；根据
【详解】解：、、的结果分别有2种，
的结果共有种，
故①正确；
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故②错误；
是正整数，
，
，
，，
当时，，
故③正确；
，
当或时，，
，
方程有2个不同的解，
，
解得：，
当时，，
，
方程有2个不同的解，
，
解得：，
故④错误；
综上，正确的有①③，
故选：C．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，绝对值的性质，一元二次方程的判别式，熟练掌握知识点是解题的关键．
13．
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，直接利用开平方法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：
14．
【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，理解平方的非负性是解题关键．根据直接开平方法可得关于m的不等式，进而求解可得．
【详解】解：可以用直接开平方法求解，
，
．
故答案为．
15．>
【分析】本题考查了根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程根的情况的关系是解题的关键．一元二次方程()的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，即得解．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
故答案为：>
16．
【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，然后写出求根公式即可．
【详解】解：当 时，它的求根公式为，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解分式方程，利用一元二次方程根的判别式，得到关于的一元一次不等式，解之得到的取值范围，解分式方程得到分式方程的解，再由分式方程有正整数解得到的值，结合取值范围确定符合条件的所有整数，将其相加即可求解，由一元二次方程和分式方程得到符合条件的所有整数是解题的关键．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程有实数根，
∴，
解得，
解分式方程得，，
∵关于的分式方程有正整数解，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴符合条件的整数有，
∴为，
故答案为：．
18．(1)，
(2)方程无解
(3)，
(4)，
【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式，，先确定 的值，判断方程是否有根，最后求得根即可．
（1）运用公式法解一元二次方程即可；
（2）运用公式法解一元二次方程即可；
（3）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可；
（4）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可；
【详解】（1）解：
，
，
∴，
解得，；
（2）
，
，
方程无解；
（3）
，
，
∴，
解得，；
（4）
，
，
∴，
解得，．
19．(1)一，原方程没有化成一般形式
(2)见解析
【分析】（1）运用公式法的前提是将一元二次方程化成一般形式；
（2）将一元二次方程化成一般形式，即可代入公式法求解．
【详解】（1）解：确定各项系数时，应将一元二次方程化成一般形式
故答案为：一；原方程没有化成一般形式；
（2）解：原方程化成一般形式是：
∵，，
∴
∴
即，
【点睛】本题考查利用公式法求解一元二次方程．注意求解过程中的易错点：未将一元二次方程化成一般形式，直接使用公式法．
20．(1)且；
(2)，．
【分析】本题主要考查一元二次方程及其解，解答本题的关键在于熟练掌握一元二次方程有关知识点和解法．方程有两个不相等的实数根用根的判别式即可求出a的取值范围，根据公式法即可求解方程．
【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
，且
即，
解得，，
∴a的取值范围：且．
（2）当时，原方程，
，即，
；
．
∴方程的解，．
21．（1）答案见解析；（2）
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）根据用公式法解一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】（1）△＝（2m﹣1）2﹣4（﹣m﹣1）＝4m2+5，
∵m2≥0，
∴△＝4m2+5＞0，
∴不论m取任何实数，方程都有实数根；
（2）将m＝0代入原方程，得
又∵由（1）可知△＝4m2+5＝0+5＝5，
∴方程有两个不相等的实数根
∴x＝
∴
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和公式法解一元二次方程，熟练掌握解题步骤及正确计算是本题的解题关键.
22．（1）（2）（3）要满足，
【分析】
本题考查解一元二次方程和因式分解：
（1）根据两数之积为0，则其中一个因数为0，作答即可；
（2）配方法求出的两个根，再进行因式分解即可；
（3）根据公式法解一元二次方程，再进行因式分解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴或，
∴，；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）当有实数根时，，
此时的根为：，
∴当时，代数式（）都能进行因式分解，
∴．
23．(1)要使每天获得720元的利润，售价应定为24元/件
(2)该商店不能通过降价销售的方式保证每天获得1500元的利润
【分析】（1）设每件降价x元，则每件的销售利润为元，每天的销量为件，利用每天销售该商品获得的利润每件的销售利润每天的销量，可得出关于x的一元二次方程，解之可得出x值，取符合题意的值即可；
（2）该商店不能通过降价销售的方式保证每天获得1500元的利润，设每件降价m元，则每件的销售利润为元，每天的销量为件，利用每天销售该商品获得的利润每件的销售利润每天的销量，可得出关于m的一元二次方程，由根的判别式判断通过降价销售的方式每天获得1500元时的方程有没有实数根即可．
【详解】（1）解：每件降价x元，则每件的销售利润为元，每天的销量为件，根据题意得：
，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴．
答：要使每天获得720元的利润，售价应定为24元/件；
（2）解：该商店不能通过降价销售的方式保证每天获得1500元的利润，理由如下：
设每件降价m元，则每件的销售利润为元，每天的销量为件，根据题意得：，
整理得：，
，
∴所列一元二次方程没有实数根，
答：该商店不能通过降价销售的方式保证每天获得1500元的利润．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据各数量之间的关系正确列出一元二次方程；牢记方程判别式判断方程实数根的情况．
24．(1)会进入台风影响区
(2)8.3小时
(3)轮船受到台风影响一共经历了11小时
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识；根据题意得出关于的方程是解决问题的关键．
（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区；
（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可；
（3）根据（2）中的值即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：
∵，
∴
当台风到A点时，时间为
则船行驶的路程为
∵
∴轮船不改变航向，轮船会进入台风影响区；

（2）解：如图所示：
设小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：
千米，千米，
，，
，
，，
，
即，
解得：，，
轮船经8.3小时就进入台风影响区；
（3）解：由（2）知，从8.3小时到19.3小时轮船受到台风影响，
轮船受台风影响的时间（小时），
答：轮船受到台风影响一共经历了11小时．

25．知识运用：；解决问题：（1）等腰三角形，理由见解析；（2）①；②，，
【分析】知识运用：用公式法因式分解，提取公因式，再提取两者的公因式；
解决问题：（1）将写成，等式左边因式分解，得，证明，是等腰三角形；
（2）①由得到和，推出，就可以算出a和c的值，再算；
②同①可得，根据，利用因式分解得到，同理由，得，从而可以用a表示出b、c、d．
【详解】解：知识运用
原式
；
解决问题
（1）
，
∵，
∴，即，
∴是等腰三角形；
（2）①当时，
，即，
，即，
若 则，
把它代入，得，解得，
当时，，则，
当时，，则，
综上：的值为6或；
②当，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理由，得，
由，，
若，则，，，则此时k就等于0了，矛盾，不合题意，
若，则，，，
综上：，，．
【点睛】本题考查因式分解的拓展运用，解题的关键是灵活掌握因式分解的方法．
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