人教版2024-2025学年九年级数学上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系拔高提升同步练习（附答案解析）

人教版2024-2025学年九年级数学上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系拔高提升同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________
一、单选题
1．若m、n是的两根，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知x1，x2是方程x2＋3x－1＝0的两个实数根，那么下列结论正确的是(　　)
A．x1＋x2＝－1 B．x1＋x2＝－3 C．x1x2＝1 D．x1x2＝3
4．关于x的一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是（ ）
A． B．2 C．3 D．
6．对于一元二次方程，下列说法不正确的是（ ）
A．根的判别式 B．两根之和为
C．两根之积为 D．方程的解，
7．在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（ ）
A． B． C． D．
8．已知a，b分别为方程的两个不相等的实数根，则值为（ ）
A． B． C．2 D．4
9．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于x的一元二次方程，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为，且，则；③若两个根为，则；④若（p为常数），则代数式的值为一个完全平方数（整数的平方），其中正确的结论是（ ）．
A．②④ B．①③ C．①②③ D．①③④
二、填空题
11．若4是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个实数根等于 ；
12．设一元二次方程的两个实数根分别是和，则 ， ．
13．定义运算：a b=a（1-b）．若a，b是方程的两根，则b b-a a的值为 ．
14．设x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2= ，x1x2= ．
15．设是方程所有根的绝对值之和，则的值为 ．
三、解答题
16．已知二次函数．
(1)若该二次函数图象经过点，求二次函数的解析式；
(2)若该二次函数图象与轴的两个交点的距离为5，求的值．
17．已知关于x的方程有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
18．利用判别式判断下列方程的根的情况：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
19．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，求的值．
20．已知关于x的一元二次方程．
(1)试判断此一元二次方程根的存在情况；
(2)若方程有两个实数根x1和x2，且满足，求的值．
21．设关于x的方程的两根为a,b，请构造一个以和为根的一元二次方程
22．在平面直角坐标系中，点分别在轴、轴上，线段的长（）是关于的方程的两个实数根，是线段的中点，，在线段上，．
(1)求的长；
(2)求直线的解析式；
(3)是直线上的点，在平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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1．B
【分析】由方程根的含义结合根与系数的关系可得：，，，再整体代入代数式求值即可.
【详解】解：∵m、n是的两根，
∴，，，
∴
故选：B
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的含义，掌握“一元二次方程根与系数的关系”是解本题的关键.
2．A
【分析】先根据一元二次方程根与系数关系得到，，再化简分式代值求解即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，，
∴
，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系、分式的化简求值，解答的关键是正确化简分式，熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．
3．B
【详解】由根与系数关系知，x1＋x2＝－3，故选B.
4．D
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解．熟练掌握、是的两根，则是解题的关键．
先根据题意得到一元二次方程的解为，再根据根与系数关系得到，从而可对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根，
∴一元二次方程的解为，
∴，
∴，
∴，
∴，，，故A、B、C正确，不符合题意；
∵，故D错误，符合题意；
故选：D．
5．C
【分析】设方程的一个根，另一个根为，再根据根与系数的关系进行解答即可．
【详解】解：设方程的一个根，另一个根为，
根据题意得：，即，
，方程的另一个根是3，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记若一元二次方程有两个实数根，，则，是解题的关键．
6．D
【分析】此题主要考查了一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，是解本题的关键．
由已知方程，写出根的判别式，根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，解一元二次方程，逐一判断，即得．
【详解】解：A、∵一元二次方程根的判别式为，
，
∴A正确；
B、设一元二次方程的两根分别为，
则，
∴B正确；
C、设一元二次方程的两根分别为，
则，
∴C正确；
D、解方程，
，
∴，
∴，
∴D不正确．
故选：D．
7．D
【分析】设原方程为，两个根为和．新方程为，两个根为2和．则可得，，．将①②联立可解得．则可得或，再与联立可得a、b、c之间的关系．由根与系数的关系可求出与的值，进而可求出的值．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，推导出a、b、c之间的关系是解题的关键．
【详解】解：设原方程为，两个根为和．
新方程为，两个根为2和．
则，，，
得，
由题意得，
∴，
∴，
∴．
当时，，
联立，得，
则，，
则．
当时，，
联立，得，
则，，
则．
综上，原方程两根的平方和是．
故选：D．
8．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，完全平方公式，先由根与系数的关系得到，再根据分式的混合计算法则求出所求式子的化简结果，最后利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵a，b分别为方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴
，
故选：B．
9．A
【分析】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程，当方程有解，即时，设方程两根分别为，则有，将原题第二个等式左右两边同时除以，变形后与第一个等式比较，得到与为方程的两个解，利用一元二次方程根与系数的关系即可求出所求式子的值．
【详解】解：当时，，
∴，
将变形得：，
又，
与为方程的两个解，
∴．
故选：A．
10．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程解的定义，把原方程化为一般式，求出，据此可判断①；由根与系数的关系得到，据此可得当，则，据此可判断②；根据根与系数的关系得到，，则可证明，据此可判断③；求出，当p为奇数时，不是整数，此时不是一个完全平方数，据此可判断④．
【详解】解：把原方程化为一般式为，
∴，
∴方程总有两个不等的实数根，故①正确；
若两个根为，则，
故当，则，故②错误；
若两个根为，则，，
∴，
，
∴，故③正确；
∵，
∴
，
当p为奇数时，不是整数，此时不是一个完全平方数，故④错误；
故选：B．
11．-3
【分析】根据根与系数的关系，x1 x2 =,x1 +x1=即可求出另一个根.
【详解】设方程的另一个为x1，
则x1+4=﹣，即x1=﹣3.
故答案为﹣3.
12． 5 3
【分析】本题考查了根与系数的关系，若，是方程的两根时，则，，先根据一元二次方程的两个实数根分别是和，求出，，即可．
【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别是和，
，；
故答案为：5,3．
13．0
【分析】由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b b-a a=b（1-b）-a（1-a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．
【详解】∵a，b是方程的两根，
∴a+b=1，
∴b★b-a★a=b（1-b）-a（1-a）=b（a+b-b）-a（a+b-a）=ab-ab=0．
故答案为0
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b=1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．
14．
【详解】试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1 x2=，由x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=-，x1x2=﹣ ．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题时灵活运用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2=-，x1 x2=，然后求解即可.
15．383
【分析】采用序列化方法，设，，，，，猜它们都相等并说明，得到，化为一元二次方程，即可求出结果.
【详解】解：设，，，，，
猜想它们都相等，
而，
，
，
，
∴，
若，由知，，
由知，，
由知，，
由知，，
由知，，与矛盾，
同理若，则可推出，
则猜想成立，即 ,
∴，
∴，
∴==383.
故答案为：383.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是根据方程的形式理解题意.
16．(1)
(2)
【分析】（1）通过二次函数图象经过某一点来求函数解析式，可将点的坐标代入，算出的值．
（2）设，是二次函数图象与轴的两个交点的横坐标，根据根与系数的关系得到，，由两个交点的距离为5，即可得出即，解得．
【详解】（1）该二次函数图象经过点（2,1），
，
，
二次函数解析式为．
（2）设，是二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标，
，，
两个交点的距离为5，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，注意函数与轴的交点的横坐标就是方程的根．
17．（1）m＜1；（2）不存在；理由见解析．
【分析】（1）由题意根的判别式大于0即可求解；
（2）根据互为相反数的两数和等于0得方程，求解并判断即可．
【详解】解：（1）∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=（m-2）2- ＞0
即：4-4m＞0
m＜1
（2）由题意，x1+x2= =4m-8，
若方程两实数根互为相反数，则4m-8=0，
解得，m =2，
因为m＜1，
所以m=2时，原方程没有实数根，
所以不存在实数，使方程两实数根互为相反数．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系．（2）易错，只关注求m的值而忽略m的范围．
18．（1）方程有两个不等实根；（2）方程有两个相等实根；（3）方程无实根；（4）方程有两个不等实根．
【分析】（1）（2）（3）求出，通过根与判别式的关系，判断出方程的根的情况；
（4）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再求出，通过根与判别式的关系，判断出方程的根的情况．
【详解】解：（1）＝（－3）2－4×2×（－）＝21＞0，
∴方程有两个不等实根．
（2）＝（－24）2－4×16×9＝0，
∴方程有两个相等实根．
（3）＝（－）2－9×4＝－4＜0，
∴方程无实根．
（4）原方程化为x2－8x＋10＝0，
＝（－8）2－4×1×10＝24＞0，
∴方程有两个不等实根．
【点睛】本题主要查考一元二次方程根的情况的判断，属于基础题，记住根的判别式以及根与判别式的关系是解题关键．
19．m的值为1．
【分析】先根据一元二次方程有两个不相等的实数根确定m的取值范围，再根据根与系数的关系和得到关于m的方程，解方程，舍去不合题意的即可求解．
【详解】解：根据题意得，
解得．
∴的取值范围是．
根据根与系数的关系得，
，
整理，得
解得（舍去），，
的值为1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知两个知识点是解题关键，注意在讨论一元二次方程根与系数的关系时首先要注意确保方程有实根．
20．(1)有两个不相等的实数根
(2)
【分析】（1）计算一元二次方程的根的判别式，判断其符号，即可求解，
（2）根据一元二次方程根与系数关系，代入，即可求解，
本题考查了，一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解题的关键是：熟练掌握相关熟练掌握相关知识点．
【详解】（1）解：，
有两个不相等的实数根；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可知：，，
，
，解得：．
21．
【分析】利用根与系数的关系求得和的值，再利用立方和公式求得，，再写出方程即可.
【详解】关于x的方程的两根为a,b
则，
以和为根的一元二次方程为(答案不唯一)
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关键，难度大，还涉及了立方和公式，熟练掌握根与系数的关系是解题关键.
22．(1)，；
(2)直线的解析式是；
(3)点的坐标为或 或或．
【分析】（）求出，根据，，得出方程，求出的值，代入方程，求出方程的解即可；
（）过作于，过作于，求出的坐标，设直线的解析式是，把的坐标代入求出即可；
（）求出，根据题意画出图形，根据菱形的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，即方程为，
∴，，
∵，
∴，；
（2）过作于，过作于，
∵，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设直线的解析式是，
∵，
代入得：，
解得：，
∴直线的解析式是；
（3）存在，
理由如下：∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，
当四边形为菱形时，，
∴点的坐标为，
当四边形为菱形时，，
∴点的坐标为，直线与轴的交点的坐标为，
∴，
当四边形为菱形时，点的坐标为，
当四边形是以为对角线的菱形时，点的坐标为，
综上所述，以为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或 或或．
【点睛】本题考查了菱形的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，平行线分线段成比例定理，一元二次方程解法，根与系数的关系，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
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