人教版2024-2025学年九年级数学上册21.3实际问题与一元二次方程拔高提升同步练习（附答案解析）

人教版2024-2025学年九年级数学上册 21.3 实际问题与一元二次方程 拔高提升同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________
一、单选题
1．小区一家快递店，星期一收快递件100件，星期三收144件，设该快递店收件平均每天增长率为x，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
2．某企业去年的年产值为42亿元，预计今年比去年增长，假设明年的增长率与今年相同，则明年的年产值可表示为（ ）亿元.
A．84x B．42(1+2x) C．42(1+x)2 D．42(1+x)
3．把一个正方形的一边增加，另一边增加，所得的长方形的面积比正方形面积增加14cm2，那么原来正方形的边长是（ ）
A．3cm B．5cm C．4cm D．6cm
4．演讲比赛前，每个同学都与其他同学握手一次，表示问好，如果有x名同学参加演讲，握手总次数为435次，根据题意，求人数x可列出方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．某公司第4月份投入1000万元科研经费,计划6月份投入科研经费比4月多500万元.设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x,则所列方程正确的为( )
A．1000(1+x)2=1000+500
B．1000(1+x)2=500
C．500(1+x)2=1000
D．1000(1+2x)=1000+500
6．为防治雾霾，保护环境，某市掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，这两年绿地面积的平均增长率是（ ）
A．12% B．30% C．10% D．22%
7．近几年我国物价一直上涨，已知原价为484元的新产品，经过连续两次涨价
﹪后，现售价为625元，则根据题意列方程，正确的是 （ ）
A．484（1+ a﹪）="625." B．484（1+ 2a﹪）=625
C．484（1- a﹪）=625. D．484（1+ a﹪）2 ="625"
8．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
9．2024年第一季度中，一件商品连续降价，且每次降低的百分数相同，设为．其中，3月份的售价是1月份的，则（ ）
A．等于 B．大于 C．小于 D．等于
10．空地上有一段长为a米的旧墙，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（　　）
A．若，则有一种围法
B．若，则有两种围法
C．若，则有两种围法
D．若，则有一种围法
二、填空题
11．为建设美丽句容，改造老旧小区，我市年投入资金万元，年投入资金万元，现假定每年投入资金的增长率相同．求我市改造老旧小区投入资金的年平均增长率 ．
12．某品牌新能源汽车的某款车型售价为万元，连续两次降价后售价为万元，假知每次平均降价的百分率都为，那么可列方程为 ．
13．如图，邻边不等的长方形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是5m．EF处开一门，宽度为1m，若长方形ABCD的面积为，则AB的长度是 m（可利用的围墙长度不超过3m）．
14．如图，四边形中，，点在上，连接、、，，，，若，则的长度是 ．
15．将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有 种．
三、解答题
16．列方程解应用题：
（1）正方形的边长增大5cm，面积增大．求原正方形的边长及面积．
（2）正方形的一边增加4厘米，邻边减少4厘米，所得的矩形面积与这个正方形的边长减少2厘米所得的正方形的面积相等，求原正方形的边长．
17．在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的元/平方米下降到12月份的元/平方米．
(1)求11、12两月平均每月降价的百分率是多少？
(2)如果房价继续回落，按此降价的白分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破元/平方米？请说明理由．
18．某产品5月份时每件200元，在6、7月进行了两次提价，且每次提价的百分率相同，此时售价为288元，后因产品销售问题，8月选择降价，降价的百分率与之前每次提价的百分率相同，求8月份该产品的售价？
19．小张经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果，经了解，一次性批发这种水果不得少于千克，超过千克时，所有这种水果的批发单价均为3.5元/千克，图中折线表示批发单价（元/千克）与质量（千克）的函数关系，
（1）求线段所在直线的函数解析式；
（2）小张用元一次可以批发这种水果的质量是多少千克？
20．重百商场有A、B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台．
(1)求每台B款电器的售价为多少元？
(2)经统计，商场每月卖出A款电器100台，每台A款电器的利润为100元．为了尽快减少库存，重百商场决定采取适当的降价措施，调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台，重百商场要想每月销售A款电器的利润达到10800元，每台A款电器应降价多少元？
21．已知，如图：在直角坐标系中，正方形AOBC的边长为4，点D，E分别是线段AO，BO上的动点，D点由A点向O点运动，速度为每秒1个单位，E点由B点向O点运动，速度为每秒2个单位，当一个点停上运动时，另一个点也随之停止，设运动时间为t（秒）
(1)如图1，当t为何值时，△DOE的面积为6；
(2)如图2，连接CD，与AE交于一点，当t为何值时，CD⊥AE；
(3)如图3，过点D作DGOB，交BC于点G，连接EG，当D，E在运动过程中，使得点D，E，G三点构成等腰三角形，求出此时t的值
22．如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求：

(1)当x为何值时，为等腰三角形；
(2)当x为何值时，的面积为；
(3)当x为何值时，为等腰三角形．
23．如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．
（1）求AB与BC的长；
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值；
（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．

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1．A
【分析】此题考查一元二次方程的应用，确定等量关系是解决本题的突破点．平均增长率为x，关系式为：第三天收快递件＝第一天收快递件×（1＋平均增长率），把相关数值代入即可．
【详解】解：由题意得：星期一收快递件100件，星期三收144件，
∴可列方程为：，
故选：A．
2．C
【分析】根据等量关系：去年的年产值×（1+x）2=明年的年产值列出代数式即可．
【详解】解：由题意得：明年的年产值可表示为42（1+x）2，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．
3．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．
此题的等量关系：所得的长方形的面积＝原正方形面积＋14，设未知数，列方程求解即可．
【详解】解：设原来正方形的边长为．
根据题意，可列方程为，
经解和检验后得．
即：原来正方形的边长为4cm．
故答案为：C．
4．D
【分析】这x位同学，每位同学都要与除自己之外的名同学握手一次，共握手次，由于两人握手是相互的，应只算一次，所以去掉重复的次数，共握手次，据此可得方程．
【详解】解：设九年级（1）班有x名同学，根据题意得：
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
5．A
【分析】设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x，5月份投放科研经费为1000（1+x），6月份投放科研经费为1000（1+x）（1+x），即可得答案.
【详解】设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x，
则6月份投放科研经费1000（1+x）2=1000+500，
故选A.
【点睛】考查一元二次方程的应用，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
6．C
【分析】设出绿地面积的参数为a，利用原有绿地面积×（1+平均每年绿地面积的增长率）2=现在的绿地面积，列方程解答即可.
【详解】解：设绿地面积为a，这两年平均每年绿地面积的增长率是x，
根据题意列方程得：a（1+x）2=a（1+21%），
解得x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去）；
故选C
【点睛】此题考查一元二次方程的应用中最基本的数量关系：原有绿地面积x（1+平均每年绿地面积的增长率）2=现在的绿地面积
7．D
【详解】试题分析：可先表示出第一次涨价后的价格，那么第一次涨价后的价格×（1+涨价的百分率）=625，把相应数值代入即可求解．
第一次涨价后的价格为484×（1+x），两次连续涨价后售价在第一次涨价后的价格的基础上涨a%，
故484×（1+a%）×（1+a%），
则列出的方程是484×（1+a%）2=625．
故选D
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
8．B
【详解】试题解析：设这个微信群共有x人，
依题意有x（x-1）=90，
解得：x=-9（舍去）或x=10，
∴这个微信群共有10人．
故选B.
9．B
【分析】此题考查一元二次方程的实际应用——百分率问题，正确理解题意，掌握百分率问题的公式，其中a表示前量，b表示后量，增长率是加号，降价百分率是减号．
设这个百分数是x，根据某商品的价格经过两次降价后，3月份的售价是1月份的，可列方程求解．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，原件为a元，由题意得
，
解得（不合题意，舍去），
∵，
∴，
故选：B．
10．A
【分析】分两种情况讨论：，图2围法，设矩形菜园垂直于墙的边为x米，分别表示矩形的长，再利用矩形面积列方程，解方程，注意检验x的范围，从而可得答案．
【详解】解：设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，
解得：
此时都不符合题意，
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验不符合题意，
综上：若，，则没有围法，故A符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，
解得： 经检验符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验符合题意，
综上：若，则有两种围法，故B不符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，
解得： 经检验都符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验都不符合题意，
若，则有两种围法，C不符合题意，
设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，
解得： 经检验符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验都不符合题意，
综上所述，若，则有一种围法，D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键．
11．
【分析】设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，利用年投入资金金额＝2020年投入资金金额×，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
12．
【分析】设每次平均降价的百分率都为，根据题意列出一元二次方程．
【详解】解：设每次平均降价的百分率都为，那么可列方程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题列出一元二次方程是解题的关键．
13．2
【分析】设垂直墙的篱笆的长为xm，那么平行墙的篱笆长为(5+1 2x)m，(5+1 2x)和x就是长方形花圃的长和宽．然后用面积做等量关系可列方程求解．
【详解】解：设AB长为xm，则BC长为(5+1 2x) m．
依题意得x(5+1 2x)=4，
整理得，
解方程得，，
所以当x=1时，6 2x=4>3（舍去）；
当x=2时，6 2x=2．
∴AB的长为2m．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
14．3
【分析】设，过点作于点，首先证明四边形为矩形，易得，再结合等腰三角形“三线合一”的性质可得，证明为等腰三角形，可得，进而可得，在中，由勾股定理可得，代入数值并求解，即可获得答案．
【详解】解：设，
如下图，过点作于点，
则，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，
整理可得，
解得，（舍去），
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，证明为等腰三角形是解题关键．
15．3
【分析】
本题考查对题干“完美分割”的理解，一元二次方程的应用，根据“分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和”推出相乘的这一组数只能有2个或3个或4个数，再根据其个数分别运用列举法分析找出符合条件的分割，即可解题．
【详解】解：，
一组数的积要小于，
，，
相乘的这一组数最多只能有个，
，
相乘的这一组数最少有2个，
①若这一组数有2个，
当两个数连续时，设较小的数为，则另一个为，
分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，
，整理得，解得，（不合题意，舍去），
符合条件的完美分割为和；
当两个数不连续时，
，
两个数的乘积不小于，分别讨论、、、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和，
当两个数不连续时，没有符合条件的完美分割，
②若这一组数有3个，
当三个数连续时，设中间的数为，则另两个为，，
，整理得，即，
为1到10的整数，
没有符合条件的，
当三个数不连续时，设其中最大的数为，分别讨论、、）其中始终大于组合内第二个数、以及、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和，
其中符合条件的完美分割有和；
③若这一组数有4个，
当四个数连续时，、均不符合，后面的皆不符合，
当四个数不连续时，设其中最大的数为，，
，解得，
、、均不符合，后面的皆不符合；
可得符合条件的完美分割就是题干中的完美分割，
则在这十个数的所有分割中，完美分割共有3种，
故答案为：3．
16．（1）边长5cm;面积25cm2;(2)5cm.
【分析】（1）设原正方形的边长为x，根据题意可列出方程，即可进行求解.
（2）设原正方形的边长为y，根据题意可列出方程，即可进行求解.
【详解】（1）设原正方形的边长为x，
依题意得：（x+5）2-x2=75,
解得x=5，故面积为面积25cm2
（2）设原正方形的边长为y，
依题意得(y+4)(y-4)=(y-2)2
解得y=5
故原正方形的边长为5cm.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程.
17．(1)
(2)会跌破元/平方米，理由见解析
【分析】（1）设11、12两月平均每月降价的百分率是x，那么11月份的房价为，12月份的房价为，然后根据12月份的元/平方米即可列出方程解决问题；
（2）根据（1）的结果可以计算出今年2月份商品房成交均价，然后和元进行比较即可作出判断．
此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．
【详解】（1）设11、12两月平均每月降价的百分率是x，
则11月份的成交价是：，
12月份的成交价是：，
∴，
∴，
∴（不合题意，舍去）
答：11、12两月平均每月降价的百分率是；
（2）会跌破元/平方米，理由如下：
如果按此降价的百分率继续回落，估计今年2月份该市的商品房成交均价为：
，
由此可知今年2月份该市的商品房成交均价会跌破元/平方米．
18．230.4元
【分析】设每次提价的百分率为x，由连续两次提价，且每次提价的百分率相同，此时售价为288元，列一元二次方程200（1﹣x）2＝288，再由直接开平方解答．
【详解】解：设每次提价的百分率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝288，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝2.2（不合题意，舍去），
∴288×（1﹣20%）＝230.4（元）．
答：8月份该产品的售价为230.4元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
19．（1）；（2）千克
【分析】（1）将两点的坐标代入一次函数解析式，用待定系数法求解析式即可；
（2）先分析800元能购买水果质量的范围，再根据题意列出方程，解方程即可
【详解】解：（1）由题意，设线段所在直线的函数解析式为．
，在此函数图像上，
解得，．
．
（2）当，时，总共花费元>元，
小张用元一次可以批发这种木果的质量的范围在到之间．
由题意，得：，
得，（不合题意，舍去）．
答：小张用元一次可以批发这种水果的质量是千克．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的应用，数形结合和找等量关系是解题的关键．
20．(1)每台B款电器的售价为240元
(2)每台A款电器应降价40元
【分析】（1）设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价是元，根据用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台，列出方程求解即可；
（2）设每台A款电器应降价a元，则每台A款电器的利润为元，销售数量为台，根据总利润=缍台利润×销售数量，列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设每台B款电器的售价为x元，由题意得：
解得：，
经检验：是原方程的根且符合题意，
答：每台B款电器的售价为240元
（2）解：设每台A款电器应降价a元，由题意得：
解得：，，
为了尽快减少库存，
∴，
答：每台A款电器应降价40元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程．
21．(1)
(2)
(3)0， 1.6， 0.8， 1
【分析】（1）先表示出OE，OE，利用△DOE的面积为6建立方程求解即可得出结论；
（2）先判断出∠ACD=∠OAE，进而利用AAS判断出△AOE≌△CAD，得出AD=OE建立方程求解即可得出结论；
（3）分DG=DE，GE=DE，DG=EG三种情况进行分类讨论．
【详解】（1）由题意知，AD=t，BE=2t，OA=4,
∴OD=4-t，OE=4-2t，
∴，
∴，
∴或＞2（舍），
即当t为3-秒时，△DOE的面积为6；
（2）如图2，当CD⊥AE时，此时，∠ACD+∠CAF=90°，
∵∠CAF+∠OAE=90°，
∴∠ACD=∠OAE，
∵∠AOE=∠CAD=90°，OA=AC，
∴△AOE≌△CAD（AAS），
∴AD=OE，
∴t=4-2t，
∴t=；
即所求t值为；
（3）∵四边形OACB是正方形，，
∴可得四边形OBGD是矩形，
∴OB=DG=4，OD=BG=4-t，
①如图3，当EG=DG=4时，
在Rt△BEG中，，
∴，
∴，
∴t=0或t=1.6；
②如图4，当DE=DG=4时，
在Rt△ODE中，，
∴，
∴t=0.8或t=4＞2（舍），
如图5，当DE=GE时，
∵OD=BG，∠DOE=∠GBE=90°，
∴△ODE≌△BGE，
∴OE=BE，
∴2t=2，
∴t=1，
综上所述t的值为：0、1.6、0.8、1．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的面积公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
22．(1)当时，是等腰三角形
(2)x为1或5时，的面积为
(3)x为或时，是等腰三角形
【分析】（1）由题意得，得，当为等腰三角形时，，得出方程，解方程即可；
（2）由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可；
（3）根据题意，分两种情况：①当时，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当时，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
根据题意得：，
∴，
当为等腰三角形时，，
∴，
解得：，
即当时，是等腰三角形；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，
答：当x为1或5时，的面积为；
（3）解：根据题意，分两种情况：
①当时，如图1所示：

在和中，由勾股定理得：，，
∴，
解得：或（不合题意舍去），
∴；
②当时，如图2所示：

在和中，，，
∴，
解得：或（不合题意舍去），
∴．
综上所述，当x为或时，是等腰三角形．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法、勾股定理、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
23．(1) AB＝3，BC＝4；(2) t＝4；(3) t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形．
【分析】（1）解一元二次方程即可求得边长；
（2）结合图形，利用勾股定理求解即可；
（3）根据题意，分为：PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三种情况分别可求解.
【详解】解：(1)∵x2－7x＋12＝0，
∴(x－3)(x－4)＝0，
∴＝3或＝4，
则AB＝3，BC＝4，
(2)由题意得，
∴，(舍去)，
则t＝4时，AP＝．
(3)存在点P，使△CDP是等腰三角形．
①当PC＝PD＝3时， t＝ ＝10(秒) ．
②当PD＝PC(即P为对角线AC中点)时，AB＝3，BC＝4．
∴AC＝ ＝5，CP1＝ AC＝2.5，
∴t＝ ＝9.5(秒)．
③当PD＝CD＝3时，作DQ⊥AC于Q，
，，
∴PC＝2PQ＝，
∴(秒)，
可知当t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形．
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