2024-2025学年贵州省铜仁市铜仁一中高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年贵州省铜仁一中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.设，是实数，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是( )
A. 抛一枚硬币，出现正面朝上
B. 掷一个正方体的骰子，出现点朝上
C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D. 从一个装有个红球个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
6.已知一个圆锥的高为，底面半径为，现在用一个过两条母线的平面去截圆锥，得到一个三角形，则这个三角形面积的最大值为( )
A. B. C. D.
7.设集合，，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的所有可能值为( )
A. B. C. 和 D. 和
8.如图，在中，，，是边的中点，过点作于点，延长交于点，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，给出的下列四个选项中，正确的是( )
A. 函数的最小正周期是
B. 函数在区间上是减函数
C. 函数的图象关于点对称
D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到
10.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B. 甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
C. 甲的成绩的第百分位数等于乙的成绩的第百分位数
D. 甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差
11.如图，已知棱长为的正方体中，点在线段上运动，现给出下列结论：则正确的选项为( )
A. 直线与直线所成角的大小不变
B. 平面平面
C. 点到平面的距离为定值
D. 存在一点，使得直线与平面所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知样本数据，，，的平均数为，方差为，由这组数据得到新样本数据，，，，其中，则得到的新样本数据的平均数和方差分别是______和______．
13.若，则的最小值是______．
14.印章是我国传统文化之一，根据遗物和历史记载，至少在春秋战国时期就已出现，其形状多为长方体、圆柱体等，陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印章如图，该形状称为“半正多面体”由两种或两种以上的正多边形所围成的多面体，每个正方形面上均刻有不同的印章图中为多面体的面上的部分印章图是一个由个正方形和个正三角形围成的“半正多面体”其各顶点均在一个正方体的面上，若该多面体的棱长均为，且各个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试，并从中随机抽取了名学生的成绩，被抽取的成绩全部介于分到分之间，将统计结果按照如下方式分成六组：第一组，第二组，，第六组，画出频率分布直方图如图所示．
求频率分布直方图中的值；
求该样本的中位数；
为进一步了解学生的学习情况，从分数位于的学生中，按照第二组，第三组，第四组分层抽样人，再从人中任取人，求此人分数不在同一组内的概率．
16.本小题分
已知四棱锥，，，平面，，，直线与平面所成角的大小为，是线段的中点．
若，求证：平面．
求点到平面的距离．
17.本小题分
请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
；
；
．
在中，内角，，的对边分别是，，，若_____．
求角；
若，求周长的取值范围．
18.本小题分
为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投个球先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜经过抽签决定，甲先开始投篮已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰．
求甲、乙投篮总次数不超过次时，乙获胜的概率；
求比赛结束时，甲恰好投了次篮的概率．
19.本小题分
克罗狄斯、托勒密所著的天文集中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四边形所有内角都小于的四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．
已知圆是凸四边形的外接圆，其中．
若圆的半径为，且，
求的大小；
求的取值范围用表示．
若，，，求线段长度的最大值．
参考答案
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15.解；由频率分布直方图可得：
，
得；
设中位数为该样本的中位数为，
因为，
，
所以中位数在第四组，
所以，得分；
由分层抽样知，第二组中抽人，记作，第三组中抽人，记作，，第四组中抽人，记作，，，
这人中抽取人有，，，，，
，，，，，，
，，，，共个样本点；
人来自同一组的有，，，共个样本点，
所以人来自不同组的的概率．
16.证明：连接，因为，，，
所以，且，
所以为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．
解：因为平面，，所以平面，
所以在平面内的射影，所以与的夹角为，
记上靠近点的三等分点为，连接，，，
则，且，所以为平行四边形，所以，
所以，
又平面，平面，，平面，
所以，
因为，，所以，
所以，
，
所以，所以，
所以，
因为平面，平面，所以平面平面，
又为的中点，，所以，
因为平面平面 ，平面，
所以平面，
易知为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
所以点和点到平面的距离相等，记为，
由得，
即，解得．

17.解：选择，，
由正弦定理，，即，
由余弦定理，，
因为，故；
选择，，因为，
则，整理得，，
因为，，故，因为，
故；
选择，由可得，，
由正弦定理得，，
因为，，故，
因为，故；
由正弦定理，，
故，，
于是的周长为，
因为，
所以，则，
故，即周长的取值范围为．
18.解：根据题意，总次数为时，乙获胜的概率为，
总次数为时，乙获胜的概率为；
所以甲、乙投篮总次数不超过次时，乙获胜的概率为．
比赛结束时，甲恰好投了次篮的概率为．
19.解：因为，
所以，
又因为，所以，
所以．
因为，所以，
所以，所以是圆的直径．由可得，
设，则，
所以
，
又，所以，
所以．
设，因为，
所以，由余弦定理得
，
在中，，
由余弦定理知，
代入整理得，
解得．
由托勒密定理知，
代入得．
设，
则其中，
设，则其中，
因为在区间上单调递增，
所以，当，即时，取得最大值．
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