2024-2025学年四川省巴中市恩阳中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省巴中市恩阳中学高二（上）开学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列一组数据，，，，，，，，，的分位数为( )
A. B. C. D.
3.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.已知偶函数在上单调递减，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知向量，则( )
A. B. C. D.
6.若，则下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
7.定义运算、若，，，则等于( )
A. B. C. D.
8.龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙线，故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台现有一龙洗盆高，盆口直径，盆底直径现往盆内注水，当水深为时，则盆内水的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列说法正确的是( )
A. B. 的虚部为
C. 在复平面内对应的点在第一象限 D. 的共轭复数为
10.在正方体中，点是线段上一动点，则下列各选项正确的是( )
A.
B. 平面
C. 三棱锥的体积是定值
D. 直线与平面所成角随长度变化先变小再变大
11.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学函数为，其中影响音的响度和音长，影响音的频率，响度与振幅有关，振幅越大，响度越大；音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉平时我们听到的音乐都是由许多音构成的复合音，假设我们听到的声音函数是则下列说法正确的有( )
A. 是偶函数
B. 的最小正周期可能为
C. 若声音甲的函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音的响度大
D. 若声音乙的函数近似为，则声音乙一定比纯音低沉
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.求值 ______．
13.设，为正实数，若，则的最小值是______．
14.在中，，，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量、，，，且与的夹角为．
求；
求；
若与垂直，求的值．
16.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求函数的解析式，判断并证明函数的单调性；
若存在实数，使成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
为了解某市今年高一年级学生的身体素质状况，从该市高一年级学生中抽取名学生进行“掷实心球”的项目测试经统计，成绩均在米到米之间，把获得的所有数据分成，，，，五组，得到频率分布直方图如图所示．
根据频率分布直方图，估计该市今年高一年级学生“掷实心球”成绩的平均数同一组中的数据以该组区间的中点值作代表；
已知这名学生中有女生名，男生名，这名女生“掷实心球”成绩的平均数和方差分别为和，这名男生“掷实心球”成绩的平均数和方差分别为和，求这名学生“掷实心球”成绩的方差．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，求的面积．
19.本小题分
如图，多面体中，四边形为平行四边形，，，四边形为梯形，，，，，，平面平面．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
参考答案
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14.
15.解：由，有，
；
；
因为与垂直，
所以，即，
，
．
16.解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则，解可得，
当时，，，为奇函数，符合题意；
故，
在上为减函数，证明如下：
设，则．
，故在上为减函数．
由可得在上为减函数．
则存在实数，使成立，
等价于存在实数，使成立，
存在实数，使成立，
时，函数的最小值为，
．
17.解：，
，
根据频率分布直方图，估计该市今年高一年级学生“掷实心球”成绩的平均数为：
；
由题意，名学生“掷实心球”成绩的平均数为，
则这名学生“掷实心球”成绩的方差为：
．
18.解：因为，由正弦定理有：，
在三角形中，，且，
可得，
又，
所以；
，又由知，
由余弦定理得：，
即，则，
．
所以的面积为．
19.解：证明：四边形是平行四边形，
，又平面，平面，
所以平面，
，平面，平面，
所以平面，
又，，平面，
平面平面，
又平面，
平面；
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
平面，
，
，
作于，分别连接，，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以直线与平面所成角为，
，，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为；
连接，设点到平面的距离为，
由得平面，又，
所以距离，
又由已知可得，
，，
所以．
所以点到平面的距离为．
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