直线与圆锥曲线同步练习 新人教B版选修

2.5直线与圆锥曲线 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_parent )
一、选择题
1．若不论k为何值，直线y＝k(x－2)＋b与曲线x2－y2＝1总有公共点，则b的取值范围是(　　)
A．(－，)　　　　　　　
B．[－，]
C．(－2,2)
D．[－2,2]
[答案]　B
[解析]　由题意可知，直线所过的定点(2，b)应在双曲线上或内部，即y2≤x2－1，∴b2≤3，∴－≤b≤.
2．过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为的弦AB，则|AB|的值为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　抛物线y2＝4x的焦点F为(1 ( http: / / www.21cnjy.com ),0)，过F且倾斜角为的直线方程为y＝(x－1)，联立得方程组得关于x的一元二次方程3x2－10x＋3＝0.①设交于A(x1，y1)B(x2，y2)两点．则x1x2是①的两根．有x1＋x2＝.|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝＋2＝.故选B.
3．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是(　　)
A.或 B.或
C.或 D.
[答案]　B
[解析]　由焦点弦长公式|AB|＝得
＝12，∴sinθ＝.
∴θ＝或π.故选B.
4．(2009·山东烟台4月)已知抛物线y2＝4x上一点P(x0，y0)，若y0∈[1,2]，则|PF|的范围是(　　)
A. B.
C．[1,2] D．[2,3]
[答案]　B
[解析]　∵y0∈[1,2]，∴x0∈，
由定义|PF|＝1＋x0∈.
故选B.
5．直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，则m的范围是(　　)
A．－5
C．m< D．－[答案]　D
[解析]　将y＝x＋m代入＋y2＝1，
有5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
Δ＝64m2－80(m2－1)>0，得m2<5，
∴－6．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是(　　)
A．(，) B．(，)
C．(－，) D．(－，－)
[答案]　C
[解析]　设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则，两式相减得
(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0
＝－＝k
∴－＝1，又y0＝x0＋1
∴x0＝－，y0＝.
7．以双曲线y2－＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是(　　)
A．(x－2)2＋y2＝4
B．x2＋(y－2)2＝2
C．(x－2)2＋y2＝2
D．x2＋(y－2)2＝4
[答案]　D
[解析]　双曲线焦点在y轴上，离心率e＝2，
∴圆心在y轴上，半径R＝2.故选D.
8．(2009·浙江)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若＝，则双曲线的离心率是(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
[答案]　C
[解析]　由已知，直线方程为x＋y－a＝0，
两渐近线为±＝0.
由得xB＝.
由得xC＝.
∵＝，∴2(xB－xA)＝xC－xB，
∴3xB＝2xA＋xC，
∴＝＋2a，解得b＝2a，
∴c2＝＝5，∴e＝.
故选C.
9．已知a>b>0，e1与e2分别为圆锥曲线＋＝1和－＝1的离心率，则lge1＋lge2的值(　　)
A．一定是正值 B．一定是零
C．一定是负值 D．符号不确定
[答案]　C
[解析]　∵e1＝，e2＝，
∴e1e2＝＝<1.
∴lge1＋lge2＝lg(e1·e2)<0.故选C.
10．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
[答案]　B
[解析]　椭圆离心率e＝，即＝ ＝，∴＝，则1＋＝.
∴双曲线的离心率为e′＝.故选B.
二、填空题
11．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－y2＝1的右焦点重合，则p的值等于______．
[答案]　4
[解析]　由已知F与F2(2,0)重合，
∴＝2，∴p＝4.
12．点M(5,3)到抛物线x2＝ay(a>0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是______．
[答案]　x2＝12y
[解析]　∵抛物线x2＝ay(a>0)的准线方程为y＝－，∴＋3＝6，∴a＝12，
∴抛物线方程为x2＝12y.
13．双曲线x2－y2＝9被直线x－2y＋1＝0截得的弦长为________．
[答案]　
[解析]　3y2－4y－8＝0
y1·y2＝－，y1＋y2＝.
l＝·＝·
＝.
14．(2008·全国Ⅰ)已知抛物线y＝ax2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．
[答案]　2
[解析]　把抛物线方程改写为
x2＝(y＋1)得顶点(0，－1)，又原点为焦点，
∴＝4，
∴抛物线x2＝4(y＋1)与x轴交于两点(2,0)，(－2,0)．
∴所求面积为×4×1＝2.
三、解答题
15．直线l：y＝2x＋1与抛物线y2＝12x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求线段AB的长．
[解析]　由得4x2－8x＋1＝0，
由韦达定理，得x1＋x2＝2，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝
＝＝.
16．过椭圆＋y2＝1的一个焦点F作直线l交椭圆于A，B两点，椭圆的中心为O，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程．
[解析]　过椭圆焦点F(1,0)的直线l垂直于x轴时，可知此时△AOB的面积等于.
当l不垂直x轴时，可设直线l的方程为y＝k ( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)．因为|OF|是定值1，所以△AOB的面积可以用×1×|y1－y2|(其中y1，y2是A，B的纵坐标)来计算．
将y＝kx－k代入＋y2＝1，消去x，得(1＋2k2)y2＋2ky－k2＝0.
由根与系数的关系可得
(y1－y2)2＝
＝2－<2.
可以看出|y1－y2|<，
此时△AOB的面积小于，所以直线l的方程为x＝1或x＝－1.
17．(2010·湖北文，20)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在正数m，对于 ( http: / / www.21cnjy.com )过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
[分析]　本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质等基础知识，同时考查推理运算的能力．
[解析]　(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：
－x＝1(x>0)
化简得y2＝4x(x>0)
(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
设l的方程为x＝ty＋m，由
得y2－4ty－4m＝0，
此时Δ＝16(t2＋m)>0.
于是①
又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)
·<0 (x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0②
又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－(＋)＋1<0 ＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1<0③
由①式，不等式③等价于m2－6m＋1<4t2④
对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1<0，
即3－2由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任意一直线，都有·<0，且m的取值范围是(3－2，3＋2)．
18．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)，(O为原点)
(1)求双曲线C的方程．
(2)若直线l1：y＝kx＋与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且·>2，求k的取值范围．
[解析]　(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝22，得b2＝1.
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1得
(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即k2≠且k2<1.①
设A(xA，yA)、B(xB，yB)，则
xA＋xB＝，xAxB＝，
由·>2得xAxB＋yAyB>2，而
xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)·＋k·＋2＝.
于是>2，即>0.
解此不等式得由①②得故k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．