黑龙江省齐齐哈尔市多校2025届高三第一次联考（月考）数学试题（含答案）

黑龙江省齐齐哈尔市多校2025届高三第一次联考（月考）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则集合的真子集的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知，，则“，”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间小时的关系为为最初污染物数量，且如果前个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
4.若函数的值域为，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若关于的不等式的解集为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.设函数，的零点分别为、，则
A. B. C. D.
8.已知，，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 函数与是相同的函数
B. 函数的最小值为
C. 若函数在定义域上为奇函数，则
D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
10.若，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若在上单调递增，则的取值范围是
B. 点为曲线的对称中心
C. 若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是
D. 若存在极值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式的解集为 当时，的最大值为 ．
14.设函数，若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知全集，集合，．
若，求和
若，求的取值范围．
16.（15分）已知关于的不等式的解集为．
求，的值
若，，且，求的最小值．
17.（15分）已知函数．
讨论的单调性；
若对任意的恒成立，求的取值范围．
18.（17分）已知函数是定义在上的奇函数．
求的值，并证明：在上单调递增
求不等式的解集
若在区间上的最小值为，求的值．
19.（17分）已知函数．
若，求的图象在处的切线方程
若恰有两个极值点，
(ⅰ)求的取值范围
(ⅱ)证明：
参考答案
1.
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14.
15.解：由题意知，
若，则，
所以，．
因为，所以，
当时，此时，符合题意
当时，此时，所以，
又，所以，
解得．
综上，的取值范围是
16.解：因为关于的不等式的解集为，
所以和是关于的方程的两个实数根，且，
所以解得，．
由知，
所以
，
当且仅当，
即，时等号成立，
所以的最小值为．
17.
，
当时，恒成立，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得或，
则当，即时，恒成立，即在上单调递增；
当，即时，
当时，，当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减；
当，即时，
当时，，当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在、上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在、上单调递增，在上单调递减；
由题意可得对任意的恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意的恒成立，
令，，则，
当时，恒成立，
故在上单调递增，则，符合要求；
当时，令，解得，
即当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
即，则有，
令，即，令，，
则，即在上单调递减，
即，即当时，恒成立，不符合要求；
综上所述，．

18.解：证明：因为是定义在上的奇函数，
所以，解得，
所以，此时，满足题意，
所以，
任取，所以，
又，所以，即，
又，所以，即，
所以在上单调递增．
因为，所以，
又是定义在上的奇函数，
所以，
又在上单调递增，
所以，
解得或，
即不等式的解集为；
由题意知，
令，，
所以，
所以，，
当时，在上单调递增，
所以，
解得，符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得或舍．
综上，的值为或．
19.【解答】解：若，则，所以，所以，又，
所以的图象在处的切线方程为，即．
解：由题意知，又函数恰有两个极值点，，
所以在上有两个不等实根，
令，所以 ，解得，即的取值范围是．
(ⅱ)证明：由知，，，且，
所以
，
要证，即证，只需证．
令，，所以，
令，所以，所以即在上单调递减，
又，，所以，使得，即，
所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
令，，所以，所以在上单调递增，
所以，所以，即，得证．
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