海南省海口市海南省农垦中学2025届高三上学期第一次月考数学试题（含答案）

海南省农垦中学2025届高三上学期第一次月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，则( )
A. B. C. D.
2.若 是幂函数，且满足，则 等于( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
4.攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为，高为，则该屋顶的面积约为( )
A. B. C. D.
5.如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是( )
A. B.
C. D.
6.李明开发的小程序经过天后，用户人数，其中为常数已知小程序发布经过天后有名用户，则用户超过名至少经过的天数为 取
A. B. C. D.
7.已知函数，，，则，，的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
8.若函数定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”为备战年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：，，，，，，，，，，则这组数据的( )
A. 众数为 B. 平均数为
C. 中位数为 D. 第百分位数为
10.下列说法正确的是( )
A. 函数且的图象恒过定点
B. 若命题“”为真命题，则实数的取值范围是
C. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象
D. 的零点所在的一个区间为
11.已知函数，对任意的都有，且，则下列说法正确的是( )
A. B. 是奇函数
C. 是上的增函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数的实部为，且为纯虚数，则复数 ．
13.在中，内角，，的对边分别为，，，，，且的面积，若的平分线交于点，则 ．
14.已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，平面四边形内接于一个圆，且，，为钝角，．
求；
若，求的面积．
16.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求的解析式；
求当时，函数的值域．
17.本小题分
已知数列满足：，．
证明：数列是等比数列并求数列的前项和为．
设，求数列的前项和．
18.本小题分
如图，三棱锥中，正三角形所在平面与平面垂直，为的中点，是的重心，且，到平面的距离为，．
证明：平面；
证明：是直角三角形；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知函数．
求曲线在处的切线方程．
讨论函数的单调性；
设函数证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.
因为为钝角，，所以，
由余弦定理得，
整理得，解得负根舍去，
由正弦定理得．
由于圆的内接四边形对角互补，所以且为锐角，则，
在三角形中，由余弦定理得：
，，
解得负根舍去，
所以三角形的面积为．

16.
由函数是上的奇函数，则有，解得，即，
，，
即，，解得，经验证得，时，是奇函数，
所以．
由知，，
当时，，因此当时，，当时，，
所以所求值域为．

17.证明：因为，
所以，即，
，
所以数列是以为首项为公比的等比数列，
则，故，
所以
；
解：，
则

得：


所以．

18.解：连接并延长交于，连接、，
因为为的重心，所以为的中点，
又因为是中点，则，
又平面，平面，
所以平面．
因为是正三角形，是的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又，又，平面，，所以平面，
又平面，
所以．
又由知，所以，所以是直角三角形．
过作于，同可证平面
因为为的重心，且到平面的距离为，
所以到平面的距离为，即，
在中，，所以，
所以在中，
以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，
建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，．
设平面的法向量为，
所以，即
令，则，，则
设平面的法向量为，所以，即
令，则，，则，
所以，，即平面与平面夹角的余弦值为
19.
切点为．
因为，所以切线的斜率为，
所以曲线在处的切线方程为，
化简得；
由题意可知，则的定义域为，
，，
当时，，则在上单调递减；
当时，令，即，解得，
若，；
若，，
则上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
证明：函数，
函数的定义域为．
若存在，使得曲线关于直线对称，
则关于直线对称，所以
由
．
可知曲线关于直线对称．

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