安徽省合肥市第四中学2025届高三上学期教学诊断检测（一）数学试题（含答案）

安徽省合肥市第四中学2025届高三上学期教学诊断检测（一）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.函数在区间的大致图像为( )
A. B.
C. D.
5.已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是( )
函数的图象关于直线对称 函数的图象关于点中心对称
函数的周期为
A. B. C. D.
6.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.设函数，若，则的最小值为 ．
A. B. C. D.
8.设，，，则下列大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 与表示同一个函数
C. 关于的不等式的解集为，，若，则
D. 若，，则的取值范围为
10.已知，，，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值是 B. 的最小值是
C. 的最小值是 D. 的最小值是
11.已知，分别是函数和的零点，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的图象关于点成中心对称图形，，则实数的取值范围是 ．
13.已知函数，点为曲线在点处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为 ．
14.已知函数关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的极小值为，其导函数的图象经过，两点．
求的解析式
若曲线恰有三条过点的切线，求实数的取值范围．
16.本小题分
随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品已知生产该产品的年固定成本为万元，年最大产能为台每生产台，需另投入成本万元，且╔╔G(x)= \ begin{cases}2x^{2}+80x,0
写出年利润万元关于年产量台的函数解析式利润销售收入成本
当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大最大利润是多少
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间与极值；
已知函数与函数的图象关于直线对称证明：当时，不等式恒成立．
18.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
已知函数有两个零点，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
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4.
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13.
14.
15.解：，
因为，且的图象经过，两点．
所以当时，，单调递增
当时，，单调递减
当时，，单调递增．
所以在处取得极小值，
所以，
又因为，，
所以，，
解得，，，
所以．
设切点为，则，
因为，所以，
所以切线方程为，
将代入上式，得．
因为曲线恰有三条过点的切线，
所以方程有三个不同实数解．
记，则导函数，
令，得或．
列表
单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增
所以的极大值为，的极小值为，
所以
解得．
故的取值范围是．
16.解：当时，
当时，，
所以
若，，
当时，万元．
若，，
当且仅当时，即时，万元．
则该产品的年产量为台时，公司所获利润最大，最大利润是万元．
17.解：由可得：，故当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为，
且当时，函数的极大值为，无极小值．
因为函数与函数的图象关于直线对称，所以则．
令，则
则当时，，故函数单调递增，
于是，当时，，故当时，不等式恒成立．

18.解：函数 的定义域为 ， ．
当 时，由 可得 ，由 可得 ，
此时函数 的减区间为 ，增区间为 ；
当 时，由 可得 ，由 可得 ，
此时，函数 的增区间为 ，减区间为 ．
综上所述，当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 ；
当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 ．
函数 的定义域为 ，
因为函数 在 上有两个零点，即 有两个不同的正实数根，
即 有两个不同的正实数解，
即 有两个不同的正实数解，
令 ，则 ，可得 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递增，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，函数 的值域为 ，所以， ，
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
且当 时， ；当 时， ，
因为函数 有两个不同的零点，则直线 与函数 的图象有两个交点，如下图所示：
由图可知，当 时，即当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
因此，实数 的取值范围是 ．

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