山东省七校2025届高三上学期九月联考数学试题（含答案）

山东省七校2025届高三上学期九月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，已知矩形表示全集，、是的两个子集，则阴影部分可表示为( )
A. B. C. D.
2.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为( )
A. B. C. D.
3.已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为，且到轴的距离为，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
4.圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为( )
A. B. C. D.
5.将数字随机填入的正方形格子中，则每一横行每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为( )
A. B. C. D.
6.定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（ ）
A. B. C. D.
7.在的展开式中，含的项的系数是，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，且满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.欧拉公式为虚数单位，是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A. 的虚部为 B.
C. D. 的共轭复数为
10.对于随机事件，，若，，，则( )
A. B. C. D.
11.如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过作垂直于的平面，记平面与正方体的截面多边形含三角形的周长为，面积为，，下面关于函数和的描述正确的是( )
A. 最大值为；
B. 在时取得极大值；
C. 在上单调递增，在上单调递减；
D. 在上单调递增，在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.易经是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则 ．
13.已知数列满足，，，且，则 ．
14.已知函数，若存在实数且，使得，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知锐角中，角，，的对边分别为，，，若．
证明：；
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，四边形为菱形，平面．

证明：平面平面；
若，二面角的大小为，求与所成角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点．
求的方程
直线与交于，两点，
(ⅰ)求面积的最大值
(ⅱ)设，试证明点在定直线上，并求出定直线方程．
19.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
若函数存在正零点，
求的取值范围；
记为的极值点，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.B
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，由正弦定理得，
所以，
所以，
而，则或，
即或舍去，故．
因为是锐角三角形，所以，解得，
所以的取值范围是，
由正弦定理可得：，则，
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是．

16.解：由，则当时
两式相减得，所以．
将代入得，，
所以对于，故是首项为，公比为的等比数列，
所以．
．
，
因为当时，当时，
所以当时，，
当时，．
故．

17.解：平面且平面
，
在菱形中，，且平面，
平面
又平面
平面平面．
平面且平面，平面
，，即二面角是，
，
取与交点为，设，
则，
，，
以为坐标原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，
，
．
所以所成角的余弦值为．


18.解：设焦距为，
依题意，解得
又，所以，
所以的方程为．
设，，
因为，所以，
，解得，
所以，，
，
点到直线的距离，
的面积
，
当且仅当，即时，面积的最大值为．
设，由，
有，即，
因为，所以，
故，于是有，
所以点在定直线
19.解：由已知可得的定义域为，
且，
因此当时，，从而，
所以的单减区间是，无单增区间；
由知，，
令，
当时，单调递减．
当时，可知在内单调递减，
又，故当时，，所以不存在正零点；
当时，，
在单调递减，故当时，，函数不存在正零点；
当时，，此时，
所以存在满足，
所以在内单调递增，在内单调递减．
令，则当时，，
故在内单调递增，在内单调递减，
从而当时，，即，
所以，
又因为，所以，
因此，此时存在正零点；
综上，实数的取值范围为；
(ⅱ)由题意，，即
从而，即，
由(ⅰ)知当时，，即，有，
又，故，
两边取对数，得，
于是，整理得．

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