四川省巴中市2025届高三上学期“零诊”考试数学试题（含答案）

四川省巴中市2025届高三上学期“零诊”考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.设，，均为直线，其中，在平面内，“”是“且”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
4.已知是等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
5.设函数；若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.有名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从人中任选两人参加服务，则恰有人连续参加两天服务的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象与直线有两个交点，则( )
A. B. C. D.
8.已知是椭圆的左，右焦点，，是椭圆上的两点．若，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设离散型随机变量的分布列如下表
若离散型随机变量满足，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数的图象关于对称，下列结论中正确的是( )
A. 是奇函数
B.
C. 若在上单调递增，则
D. 的图象与直线有三个交点
11.已知，为双曲线的左，右顶点，分别为双曲线的左，右焦点．下列命题中正确的是( )
A. 若为双曲线上一点，且，则
B. 到双曲线的渐近线的距离为
C. 若为双曲线上非顶点的任意一点，则直线的斜率之积为
D. 双曲线上存在不同两点关于点对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数是 ．
13.正四棱台高为，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是 ．
14.已知向量满足，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的首项，且满足．
证明：数列为等比数列；
若，求满足条件的最大整数．
16.本小题分
在直三棱柱中，在上，且．

证明：；
当四棱锥的体积为时，求平面与平面所成二面角的正弦值．
17.本小题分
已知锐角中，角，，的对边分别为，，，若．
证明：；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知动圆经过点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
设过点且斜率为正的直线交曲线于两点点在点的上方，的中点为，
过作直线的垂线，垂足分别为，试证明：；
设线段的垂直平分线交轴于点，若的面积为，求直线的方程．
19.本小题分
设函数．
若曲线在点处的切线方程为，求的值；
当时恒成立，求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
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15.解：由得，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
由得，
所以
，
数列是单调递增数列，
当时，，
当时，，
所以满足条件的最大整数为．

16.解：因为三棱柱是直三棱柱，且，所以两两垂直，故可以为原点，建立如图空间直角坐标系：

设，则，，，，．
所以，．
因为，
所以故．
因为梯形的面积：
，
，所以．
所以，，所以．
设平面的法向量为，
则，取．
取平面的法向量为：，
设平面与平面所成的二面角为，
则，所以．

17.解：因为，由正弦定理得，
所以，
所以，
而，则或，
即或舍去，故．
因为是锐角三角形，所以，解得，
所以的取值范围是，
由正弦定理可得：，则，
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是．

18.解：依题意可得圆心到定点的距离等于到定直线的距离相等，
所以的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
又到直线的距离为，所心抛物线的方程为；
设直线的方程为，，
则的中点，由可知，，
联立方程组，消去可得，
所以，，
所以，
又，所以，所以；
由可得，代入，可得中点的横坐标为，
所以，又线段的垂直平分线的斜率为，
所以线段的垂直平分线方程为，
令，可得，所以，
所以，
所以，
又的面积为，所以，所以，
解得，所以直线的主程为，即．

19.解：，由题意曲线在点处的切线方程为，
则，解得；
，，
，令，则，
当，即时，，即是上的增函数，因此，
是增函数，所以，不合题意，舍去；
当即时，，即是上的减函数，所以，
所以是上的减函数，从而恒成立，
当即时，，
时，，在递增，时，，在递减，
又，所以时，恒成立，即恒成立，此时在上递增，因此，与题意不合，舍去，
综上．
由知时，，即，从而，
所以，又，
所以，
此不等式中分别令得
，，，，
将这个不等式相加得．

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