2024-2025学年江苏省宿迁市泗阳县王集中学文化班高三（上）第一次调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年泗阳县王集中学文化班高三（上）第一次调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若，则实数的取值集合为( )
A. B. C. D.
2.若，，则一定有( )
A. B. C. D.
3.已知命题：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知是定义在上的奇函数且满足为偶函数，当时，且若，则( )
A. B. C. D.
6.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.设，，，则( )
A. B. C. D.
8.“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”某地区二氧化碳的排放量达到峰值亿吨后开始下降，其二氧化碳的排放量亿吨与时间年满足函数关系式，若经过年，二氧化碳的排放量为亿吨已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为亿吨，则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？参考数据：( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为正实数，且，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.已知函数，的定义域均为，函数为奇函数，为偶函数，为奇函数，，则下列说法正确的是( )
A. 函数的一个周期是
B. 函数的一个周期是
C. 若，则
D. 若当时，，则当时，
11.已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是( )
A. 当，有个零点 B. 当时，有个零点
C. 当，有个零点 D. 当时，有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的定义域是，则实数的值为______．
13.已知函数为奇函数，则函数在区间上的最大值为 ．
14.已知，为实数，若不等式对任意恒成立，则的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：
；
．
16.本小题分
已知函数是定义域为的偶函数．
求实数的值；
若对任意，都有成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，且只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线如图所示选择适当的坐标系后，悬链线对应的函数近似是一个双曲余弦函数，其解析式可以为，其中，是常数．
当时，判断的奇偶性；
当，时，若的最小值为，求的最小值．
18.本小题分
已知函数且．
Ⅰ当时，求的单调增区间；
Ⅱ是否存在，，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围；若不存在，试说明理由．
19.本小题分
已知函数．
求证：函数是上的减函数；
已知函数的图像存在对称中心的充要条件是的图像关于原点中心对称，判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由；
若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值．
参考答案
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15.解：
．
．
16.解：由偶函数定义知：，
即，
对成立，．
由得：；
，，
当且仅当即时等号成立，
，
，即，解得：或 ，
综上，实数的取值范围为．
17.解：当时，函数的定义域为，关于原点对称，
因为对任意的，都有，且，所以为偶函数．
因为当，时，的最小值为，
所以，当且仅当时等号成立，
此时，
所以，即，
所以，，
则
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为．
18.解：Ⅰ时，，定义域为：，
由复合函数的点调性可得：的单调递增区间与函数在定义域上单调递增性一致，
所以的单调增区间为：．
Ⅱ令，则在上单调递减，
当，且在区间上的值域是，
即在区间上的值域是．
故必须，即，是的在的两个不等实根．
而与在上只有一个交点，不符合舍，
当，且在区间上的值域是，
即在区间上的值域是．
故必须，即，
由得，得，代入得：
，同理，
令，
则在有两个零点，即，
得到，
，
的范围为：
19.证明：设，则，
所以，
所以在上单调递减；
解：假设函数的图像存在对称中心，
则的图象关于原点对称，
则恒成立，
整理得恒成立，
所以，
解得，，
故函数的对称中心为；
解：因为对任意，都存在及实数，使得，
所以，
即，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，即，
所以，
所以，即的最大值为．
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