2024-2025学年海南省文昌中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年海南省文昌中学高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数是纯虚数，则实数( )
A. B. C. D.
3.“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
4.已知，则等于( )
A. B. C. D.
5.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
6.将甲、乙等名同学分配到个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于人，则不同的安排方法有( )
A. B. C. D.
7.已知等边的边长为，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等式一定成立的有( )
A. B.
C. D.
10.在前项和为的正项等比数列中，，，，则( )
A. B.
C. D. 数列中的最大项为
11.四棱锥的底面为正方形，与底面垂直，，，动点在线段上，则( )
A. 不存在点，使得
B. 的最小值为
C. 四棱锥的外接球表面积为
D. 点到直线的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为______．
13.设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 ______．
14.已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知、，分别是内角，，的对边，，．
求；
若的面积为，求．
16.本小题分
如图，四棱锥的底面为直角梯形，底面，，，，为棱上一点．
证明：平面平面；
若，求平面与平面所成二面角的平面角的正弦值．
17.本小题分
已知椭圆方程为，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．
求椭圆的方程；
对于，是否存在实数，使得直线分别交椭圆于点，，且，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知函数．
求曲线在处的切线方程．
讨论函数的单调性；
设函数证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．
19.本小题分
若有穷数列，是正整数，满足，，，，即是正整数，且，就称该数列为“对称数列”．
已知数列是项数为的对称数列，且，，，成等差数列，，，试写出的每一项．
已知是项数为其中，且的对称数列，且，构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得，，，，成为数列中的连续项：当时，并分别求出所有对称数列的前项和．
参考答案
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15.解：由及正弦定理可得，，
所以，
即，
所以，
所以，
因为，
所以，
由余弦定理可得，，
由知，
因为的面积为，所以，解可得，
则
16.证明：由题意可知，
底面，平面，
，，，平面，平面，
平面，平面平面．
解：由题意可知为等边三角形，且，
连接，作于，连接，
则有，且平面，
，，
，为的中点，
以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面的一个法向量，平面的一个法向量，
，，，，
则，取，得，
，取，得，
，
平面与平面所成二面角的平面角的正弦值为：
．
17.解：因为过点，的直线倾斜角为，
所以，
即，
则过点，的直线方程为，
因为原点到该直线的距离为，
所以，
解得，
联立，解得，
则椭圆的方程为；
不妨设，，
联立，消去并整理得，
易知，
解得或，
设的中点为，
此时，，
因为，
所以，
此时，
即，
解得或，
因为或，
所以当或时，其均使方程没有两不等实根，
故满足条件的不存在．
18.解：切点为．
因为，所以切线的斜率为，
所以曲线在处的切线方程为，
化简得；
由题意可知，则的定义域为，
，，
当时，，则在上单调递减；
当时，令，即，解得，
若，；
若，，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
证明：函数，
函数的定义域为．
若存在，使得曲线关于直线对称，
则关于直线对称，所以，
由
．
可知曲线关于直线对称．
19.因为，，，成等差数列，，，
设前项的公差为，所以，
所以，，又数列是项数为的对称数列，
所以，，，
所以的项依次为，，，，，，，．
因为 ，，，构成首项为，公差为的等差数列，
所以，
又，，，，
所以，
所以当时取得最大值，且．
因为，，，，成为数列中的连续项，且该对称数列的项数为，
所以这样的对称数列有：
，，，，，，，，，；
，，，，，，，，
因为，
对于，当时，；
当时，
所以，
对于，当的；
当时，
所以．
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