2024-2025学年广西柳州高级中学高三（上）段考数学试卷（二）（含答案）

2024-2025学年广西柳州高级中学高三（上）段考数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，命题：，，则( )
A. 和均为真命题 B. 和均为真命题
C. 和均为真命题 D. 和均为真命题
3.已知，，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择名志愿者，对其身高和臂展进行测量单位：厘米，左图为选取的名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为，以下结论中不正确的为( )
A. 名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B. 名志愿者身高和臂展成正相关关系
C. 可估计身高为厘米的人臂展大约为厘米
D. 身高相差厘米的两人臂展都相差厘米
5.长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
6.若正三棱台的各顶点都在表面积为的球的表面上，且，则正三棱台的高为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.已知函数的图象和函数的图象有唯一交点，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
8.已知函数，，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 关于直线对称
B. 的最大值为
C. 在上不单调
D. 在，方程为常数最多有个解
10.已知随机事件，满足，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知抛物线：的准线与圆：相切，为上的动点，是圆上的动点，过作的垂线，垂足为，的焦点为，则下列结论正确的是( )
A. 点的坐标为
B. 的最小值为
C. 存在两个点，使得
D. 若为正三角形，则圆与直线相交
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设等比数列的前项和是已知，，则 ______．
13.已知，且，则的最大值为______．
14.在三棱锥中，且记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，的长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知锐角的内角，，的对边分别为，，且．
求角；
如图，边的垂直平分线交于，交边于，，求长．
16.本小题分
如图，已知四边形为矩形，，，为的中点，将沿进行翻折，使点与点重合，且．
证明：；
求平面与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求的极值；
若曲线与曲线存在条公切线，求的取值范围．
18.本小题分
箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为：现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过次，以表示取球结束时已取到白球的次数．
Ⅰ求的分布列；
Ⅱ求的数学期望．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，对于点、直线：，我们称为点到直线：的方向距离．
设双曲线上的任意一点到直线：，：的方向距离分别为，，求的值；
设点、，直线：的方向距离分别为，，试问是否存在实数，对任意的都有成立？说明理由；
已知直线：和椭圆，设椭圆的两个焦点，到直线的方向距离分别为、满足，且直线与轴的交点为，与轴的交点为，试比较的长与的大小．
参考答案
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15.解：由，根据正弦定理得，
结合，可得，
整理得结合，可得，
所以，即，可得，
因为，，所以，可得；
连接，因为且为中点，
所以，即是等腰三角形，且是一个底角．
所以，在中，，
根据正弦定理得，可得，
所以在中，，可得．
16.解：证明：由题知，
所以，
所以为直角三角形，，
因为，，，
所以，
所以为直角三角形，，
因为，
所以平面，因为平面，
所以．
由题知以为原点建立如图空间直角坐标系，
取中点，由题知，所以，
由知平面，所以，
因为，所以平面，
，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，
，，令，则，
所以，
由知平面，
所以是平面的一个法向量，，
设平面与平面所成角为，
所以，
所以．
17.解：当时，，，
，由，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在取得极大值，无极小值．
设曲线上的切点为，
则切线斜率为，方程为，
依题意，切线与曲线相切，
于是方程有两个相等的实根，
而，则，且，即有，
由公切线有两条，得关于的方程：有两个不同的实数解，
令，则与的图象有两个交点，
由，求导得，由，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因此，函数的图象如图，
观察图象知，当，即时，直线与函数的图象有两个交点，
所以的取值范围是．
18.解：的可能取值为：，，，
的分布列为


的数学希望为
得．
19.解：由题，设，
所以，
所以，
又因为，
所以；
假设存在实数满足条件，由题，
，
，
所以，
所以，即，
故存在满足条件；
设，的坐标分别为、，，
则，，
于是，化简得：，
又，，即，
又，
当且仅当时取等号，
所以．
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