2024-2025学年湖南省常德市石门一中高三（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省常德市石门一中高三（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若中恰有两个元素，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是( )
A. B. 或 C. D.
3.已知，，，，，成等差数列，，，，成等比数列，则的最小值是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，若，则的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
5.若，设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数例如：，，若函数，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在定义域上是单调函数，若对任意都有，则( )
A. B. C. D.
8.设，记在区间上的最大值为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，下列命题为真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，且，则
D. 若，则
10.已知定义在上的偶函数满足：，且当时，单调递减，下列结论正确的是( )
A.
B. 为函数图象的一条对称轴
C. 在单调递增
D. 若方程在上的两根为、，则
11.若关于的不等式的解集是，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“，”为假命题，测实数的取值范围为______．
13.已知定义在上的函数同时满足以下两个条件：
对任意，都有；
对任意，且，都有．
则不等式的解集为______．
14.设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
Ⅰ若且，求实数，的值；
Ⅱ若是的子集，且，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
若，求不等式的解集；
若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围．
17.本小题分
为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在“跑步分钟”和“跳绳分钟”中选择一项进行锻炼在不下雪的时候，他跑步的概率为，跳绳的概率为，在下雪天他跑步的概率为，跳绳的概率为若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为已知寒假第一天不下雪，跑步分钟大约消耗能量卡路里，跳绳分钟大约消耗能量卡路里记寒假第天不下雪的概率为．
求、、的值，并求；
设小王寒假第天通过运动消耗的能量为，求的数学期望．
18.本小题分
已知函数，．
求的最小值；
记为的导函数，设函数有且只有一个零点，求的取值范围．
19.本小题分
对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的“位差奇函数”．
若是位差值为的位差奇函数，求的值；
已知，，若存在，使得是位差值为的“位差奇函数”．
求实数的取值范围；
设直线，与函数的图象分别交于、两点，直线，与函数的图象分别交于、两点，若存在，且，，使得，求实数的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：Ⅰ，
，
，
，
，
，．
Ⅱ，
，
是的子集，
且，
解得．
16.解：，
，
恒成立，
，
原不等式的解集为；
方程有两个不同的实数根，
有两个不同的实数根，
令，则在有两个不同的实数根，
令，
由已知得，解得．
17.解：依题意，，，，
依题意，
整理得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
即，
所以；
由题的取值为，，
则，
，
所以
．
18.解：，
时，，函数单调递增；
时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增．
时，；时，函数的最小值为．
由题意，可得，
则，
时，，函数在单调递增．
又，函数有且只有一个零点，满足题意．
时，令，，
函数在单调递增．
又时，；时，．
存在唯一实数，使得，即，
时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增．
是函数的最小值点，又，
当函数有且只有一个零点时，，即．
综上，的取值范围是．
19.解：
，
又是位差值为的位差奇函数，
即为上的奇函数，
易知为上的奇函数，
为上的偶函数，
可知，则，
解得；
，
由题意可知：对任意的，均存在成立，
，
整理可得，
又由基本不等可得，当且仅当，即时，等号成立，
则，即，
实数的取值范围为；
由可知：，
则，，
设，，，，
则，
，
，
且，即，
两边同时除以，
得，
即，
令，
则，且，，，
结合在上连续不断，可知在内不单调，
令，则，
且，在内均为单调递增函数，
在内单调递增，
当时，；当，；
即，
可得在内不单调，
又的图象开口向上，对称轴，
则，解得，
实数的取值范围为．
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