椭圆 导学案 （2课时）
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第一课时 2.2.1椭圆的标准方程
讲授新课:
1、 椭圆的定义：
[数学实验]请大家把课前准备好的一根绳子和两颗图钉拿出来，同桌合作在纸上画出椭圆的图形．
椭圆定义:在 内，与两个定点F1，F2的距离之和 的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1、F2叫做椭圆的 ，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的 。（应注意什么？）
[学生讨论]在绳长不变的情况下，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有何变化？当两个图钉重合在一起时，画出的图形是什么？当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？当两个图钉之间固定，能使绳长小于两个图钉之间的距离吗？2·1·c·n·j·y
2a > 2c 2a = 2c c = 0 2a < 2c
2c越小 2c越大 线段 圆 无轨迹
椭圆越______ 椭圆越_______
练面内两点F1、F2的距离为10，到这两定点F1、F2的距离之和为2a，则在下列条件下，M点的轨迹为 。21教育网
（1）2a=12 （2）2a=10 （3）2a=8
A、圆 B、椭圆 C、线段F1F2 D、不存在
注意：1、当2a>|F1F2|，__________________;2、当2a=|F1F2|，M点的轨迹为____________
3、当2a<|F1F2|，M点的轨迹______________________
二、椭圆的标准方程的推导：
已知椭圆的焦点为F1、F2，|F1F2| ( http: / / www.21cnjy.com )=2c，椭圆上任意一点到焦点F1、F2的距离之和等于常数2a，其中a>c>0，求它的方程。（如何建立坐标系？）21·cn·jy·com
问题1：回忆求圆的方程的一般步骤是什么？
问题2：本题中可以怎样建立直角坐标系？结合建立坐标系的一般原则—写出椭圆的标准方程的推导过程：
①焦点在x轴上椭圆的标准方程为： _______________
（如果所建立的坐标系是以过焦点F1、F2的直线为y轴线段F1、F2的中垂线为x轴，你会得到怎样的椭圆方程呢？）www.21-cn-jy.com
②焦点在y轴上椭圆的标准方程为： ___________________
（怎样区分焦点在x轴或y轴上的标准方程？）
根据所学知识完成下表
标准方程
不同点 图形 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
焦点坐标
相同点 定 义
a、b、c的关系
焦点位置的判断
快速反应： ⑴ ，则 , ； ⑵ ，则 , ；
⑶ ，则 , ；
试一试：据下列条件，写出椭圆的标准方程:（1）a= ,b=1,焦点在x轴上，椭圆的标准方程是_________（2）a=5,c=,焦点在y轴上，椭圆的标准方程是_________________21·世纪*教育网
三、例题讲解：
题型一：求椭圆的标准方程
例1、已知椭圆的焦点坐标是，，椭圆上的任意一点到、的距离之和是10，求椭圆的标准方程．
跟踪练习：1.已知椭圆的焦点坐标是，，椭圆上的任意一点到、的距离之和是8，求椭圆的标准方程．21世纪教育网版权所有
跟踪练习：2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别为（0，4），（0，－4），并且椭圆经过点，求椭圆的标准方程.2-1-c-n-j-y
跟踪练习：A.1
题型二：求椭圆的焦点坐标
例2、判断下列椭圆的焦点的位置，并求出焦距与焦点坐标．
⑴； ⑵； ⑶．
跟踪练习:A.3
题型三：求动点的轨迹方程
例3、已知B,C是两个定点，∣BC∣=8，且ΔABC的周长等于18，求这个三角形的顶点的轨迹方程.
跟踪练习：课本第38页练习B 1,2,
四、当堂检测：
1、求下列椭圆的焦点坐标：
①；_________ ②．_____________
2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
①，焦点在x轴上；
②，焦点在y轴上；
3.命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和∣PA∣+∣PB∣=2a(a>0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A,B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（ ）
A.a>3 B.a<-2 C. a>3或a<-2 D.a>3或-65.设M是椭圆上一点，F1,F2是椭圆焦点，如果点M到焦点F1的距离为4，则点M到焦点F2的距离为___________.www-2-1-cnjy-com
6.若F1、F2为椭圆两焦点，AB为椭圆过焦点F2的一条弦，则ΔAB F1的周长为______.
7.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是___________.
8.已知定点F1、F2，且∣F1F2∣=8，动点P满足∣PF1∣+∣PF2∣=8，则动点P的轨迹是______
9.椭圆的焦距是2，则m的值是__________.
10.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k的值为_________.
11.已知定点F1，F2，且∣F1F2∣=8，动点P满足∣PF1∣+∣PF2∣=8,则动点P的轨迹是_____________.
第二课时§2.2.2 椭圆的几何性质
一、学习目标：理解椭圆的几何性质；
二、重点：椭圆的几何性质；
难点：利用椭圆的几何性质解决问题.
一、【教材基础梳理】
椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程 ____________ ____________
范围 ____________ ____________
顶点 ___________ ____________
轴长 短轴长=____________，长轴长=____________
焦点 ____________ ____________
焦距 ________________________
对称性 对称轴____________，对称中心____________
离心率 ________________________
当椭圆的离心率__________，则椭圆越扁；当椭圆的离心率_________，则椭圆趋近于圆。
【课前自测】
1、椭圆的长轴的端点坐标为（ ）
A、（-1，0）（1，0） B、（-6，0），（6，0） C、 D、
2、椭圆与椭圆有（ ）
A、相同短轴 B、相同长轴 C、相同离心率 D、以上都不对
3、已知椭圆的离心率，则m的值为 。
二、典例分析
类型一 已知椭圆方程研究其几何性质
求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
类型二 利用椭圆几何性质求其方程
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，-6）；
（2）过（3，0）点，离心率.
变式训练
1.求满足下列各条件的椭圆的标准方程
（1）长轴是短轴的3倍且经过点A（3，0）；
（2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
类型三 求椭圆的离心率
例3:已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标的长等于短半轴长的，
求椭圆的离心率。
变式训练 如图，已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，
P为椭圆上的点，当,PO//AB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.
( http: / / www.21cnjy.com )
四、课堂检测
1、椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、若椭圆C1与有相同离心率且经过点（2，），则椭圆C1的
标准方程为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6的椭圆
的标准方程为 。
4.已知椭圆的一个焦点坐标是(2,0)，则k的值为__________。
五、课后拓展
1.椭圆=225的长轴长、短轴长、离心率依次是（ ）
A.5、3、0.8 B.10、6、0.8 C.5、3、0.6 D.10、6、0.621cnjy.com
2.设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距
离为1，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.
3.椭圆和，具有（ ）
A.相同的顶点 B.相同的离心率 C.相同的焦点 D.相同的长轴和短轴
二、填空题
4.已知方程表示的曲线是椭圆，实数m的取
值范围是________.
5.已知，是椭圆的焦点，点P在椭圆上且，
求的面积.
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第一课时 2.2.1椭圆的标准方程
讲授新课:
1、 椭圆的定义：
[数学实验]请大家把课前准备好的一根绳子和两颗图钉拿出来，同桌合作在纸上画出椭圆的图形．
椭圆定义:在 内，与两个定点F1，F2的距离之和 的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1、F2叫做椭圆的 ，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的 。（应注意什么？）
[学生讨论]在绳长不变的情况下，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有何变化？当两个图钉重合在一起时，画出的图形是什么？当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？当两个图钉之间固定，能使绳长小于两个图钉之间的距离吗？2·1·c·n·j·y
2a > 2c 2a = 2c c = 0 2a < 2c
2c越小 2c越大 线段 圆 无轨迹
椭圆越______ 椭圆越_______
练面内两点F1、F2的距离为10，到这两定点F1、F2的距离之和为2a，则在下列条件下，M点的轨迹为 。21教育网
（1）2a=12 （2）2a=10 （3）2a=8
A、圆 B、椭圆 C、线段F1F2 D、不存在
注意：1、当2a>|F1F2|，__________________;2、当2a=|F1F2|，M点的轨迹为____________
3、当2a<|F1F2|，M点的轨迹______________________
二、椭圆的标准方程的推导：
已知椭圆的焦点为F1、F2，|F1F2| ( http: / / www.21cnjy.com )=2c，椭圆上任意一点到焦点F1、F2的距离之和等于常数2a，其中a>c>0，求它的方程。（如何建立坐标系？）21·cn·jy·com
问题1：回忆求圆的方程的一般步骤是什么？
问题2：本题中可以怎样建立直角坐标系？结合建立坐标系的一般原则—写出椭圆的标准方程的推导过程：
①焦点在x轴上椭圆的标准方程为： _______________
（如果所建立的坐标系是以过焦点F1、F2的直线为y轴线段F1、F2的中垂线为x轴，你会得到怎样的椭圆方程呢？）www.21-cn-jy.com
②焦点在y轴上椭圆的标准方程为： ___________________
（怎样区分焦点在x轴或y轴上的标准方程？）
根据所学知识完成下表
标准方程
不同点 图形 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
焦点坐标
相同点 定 义
a、b、c的关系
焦点位置的判断
快速反应： ⑴ ，则 , ； ⑵ ，则 , ；
⑶ ，则 , ；
试一试：据下列条件，写出椭圆的标准方程:（1）a= ,b=1,焦点在x轴上，椭圆的标准方程是_________（2）a=5,c=,焦点在y轴上，椭圆的标准方程是_________________21·世纪*教育网
三、例题讲解：
题型一：求椭圆的标准方程
例1、已知椭圆的焦点坐标是，，椭圆上的任意一点到、的距离之和是10，求椭圆的标准方程．
跟踪练习：1.已知椭圆的焦点坐标是，，椭圆上的任意一点到、的距离之和是8，求椭圆的标准方程．21世纪教育网版权所有
跟踪练习：2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别为（0，4），（0，－4），并且椭圆经过点，求椭圆的标准方程.2-1-c-n-j-y
跟踪练习：A.1
题型二：求椭圆的焦点坐标
例2、判断下列椭圆的焦点的位置，并求出焦距与焦点坐标．
⑴； ⑵； ⑶．
跟踪练习:A.3
题型三：求动点的轨迹方程
例3、已知B,C是两个定点，∣BC∣=8，且ΔABC的周长等于18，求这个三角形的顶点的轨迹方程.
跟踪练习：课本第38页练习B 1,2,
四、当堂检测：
1、求下列椭圆的焦点坐标：
①；_________ ②．_____________
2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
①，焦点在x轴上；
②，焦点在y轴上；
3.命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和∣PA∣+∣PB∣=2a(a>0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A,B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（ ）
A.a>3 B.a<-2 C. a>3或a<-2 D.a>3或-6
6.若F1、F2为椭圆两焦点，AB为椭圆过焦点F2的一条弦，则ΔAB F1的周长为______.
7.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是___________.
8.已知定点F1、F2，且∣F1F2∣=8，动点P满足∣PF1∣+∣PF2∣=8，则动点P的轨迹是______
9.椭圆的焦距是2，则m的值是__________.
10.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k的值为_________.
11.已知定点F1，F2，且∣F1F2∣=8，动点P满足∣PF1∣+∣PF2∣=8,则动点P的轨迹是_____________.
第二课时§2.2.2 椭圆的几何性质
一、学习目标：理解椭圆的几何性质；
二、重点：椭圆的几何性质；
难点：利用椭圆的几何性质解决问题.
一、【教材基础梳理】
椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程 ____________ ____________
范围 ____________ ____________
顶点 ___________ ____________
轴长 短轴长=____________，长轴长=____________
焦点 ____________ ____________
焦距 ________________________
对称性 对称轴____________，对称中心____________
离心率 ________________________
当椭圆的离心率__________，则椭圆越扁；当椭圆的离心率_________，则椭圆趋近于圆。
【课前自测】
1、椭圆的长轴的端点坐标为（ ）
A、（-1，0）（1，0） B、（-6，0），（6，0） C、 D、
2、椭圆与椭圆有（ ）
A、相同短轴 B、相同长轴 C、相同离心率 D、以上都不对
3、已知椭圆的离心率，则m的值为 。
二、典例分析
类型一 已知椭圆方程研究其几何性质
求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
类型二 利用椭圆几何性质求其方程
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，-6）；
（2）过（3，0）点，离心率.
变式训练
1.求满足下列各条件的椭圆的标准方程
（1）长轴是短轴的3倍且经过点A（3，0）；
（2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
类型三 求椭圆的离心率
例3:已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标的长等于短半轴长的，
求椭圆的离心率。
变式训练 如图，已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，
P为椭圆上的点，当,PO//AB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.
( http: / / www.21cnjy.com )
四、课堂检测
1、椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、若椭圆C1与有相同离心率且经过点（2，），则椭圆C1的
标准方程为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6的椭圆
的标准方程为 。
4.已知椭圆的一个焦点坐标是(2,0)，则k的值为__________。
五、课后拓展
1.椭圆=225的长轴长、短轴长、离心率依次是（ ）
A.5、3、0.8 B.10、6、0.8 C.5、3、0.6 D.10、6、0.621cnjy.com
2.设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距
离为1，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.
3.椭圆和，具有（ ）
A.相同的顶点 B.相同的离心率 C.相同的焦点 D.相同的长轴和短轴
二、填空题
4.已知方程表示的曲线是椭圆，实数m的取
值范围是________.
5.已知，是椭圆的焦点，点P在椭圆上且，
求的面积.
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