椭圆 练习 新人教B版选修.2

第一课时2.2.1椭圆的标准方程练习
一、选择题
1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，a是常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　B
[解析]　若点P轨迹是椭圆，则一定有|P ( http: / / www.21cnjy.com )A|＋|PB|＝2a(a>0)，反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0)，点P的轨迹可能是线段，或不存在．
2．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF1的周长是(　　)
A．2　　 　 B．4　　 　
C.　　　 D．2
[答案]　B
[解析]　根据题意画出图形(如图所示)，
∵|AF1|＋|AF2|＝2，|BF1|＋|BF2|＝2，
∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4，
即|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4.
3．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)
A．－
C．－2[答案]　A
[解析]　因为点A在椭圆内部，故将点A的坐标代入＋应满足＋<1，所以a2<2，即－4．已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2是(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
[答案]　B
[解析]　由|MF1|－|MF2|＝1，且|MF1|＋|MF2|＝4，得|MF1|＝，|MF2|＝.
又|F1F2|＝2，显然△MF1F2为直角三角形．
5．已知A，B两点的坐标分别为(0，－5)和(0,5)，直线AM与MB的斜率之积为－，则点M的轨迹方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1(x≠±5)
C.＋＝1 D.＋＝1(x≠0)
[答案]　D
[解析]　设点M的坐标为(x，y)，则kMA＝，kBM＝，由题意，得·＝－(x≠0)，
整理得＋＝1(x≠0)．故选D.
6．设P是椭圆＋＝1上一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值是(　　)
A. B.
C．－ D．－
[答案]　D
[解析]　由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝ ①
又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
|F1F2|＝2，∴①式可化为cos∠F1PF2＝
＝－1.
∵|PF1|·|PF2|≤()2＝9.
当|PF1|＝|PF2|时，取等号，∴cos∠F1PF2≥－1＝－，当|PF1|＝|PF2|时取等号，
∴cos∠F1PF2的最小值为－.
二、填空题
7．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，M为椭圆上一点，且|MF1|＝2，N是线段MF1的中点，则|ON|为(O为坐标原点)________．
[答案]　4
[解析]　如图所示
∵|MF1|＋|MF2|＝10，|MF1|＝2，
∴|MF2|＝8，
又ON为△F1F2M的中位线，
∴|ON|＝|MF2|＝4.
8．已知F1、F2是椭圆＋＝1的左右焦 ( http: / / www.21cnjy.com )点，P为椭圆上一个点，且|PF1|︰|PF2|＝1︰2，则∠F1PF2＝______________.
[答案]　arccos
[解析]　由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6，又|PF1|︰|PF2|＝1︰2，则|PF1|＝2，|PF2|＝4，而|F1F2|＝4
由余弦定理得cos∠F1PF2＝，
∴∠F1PF2＝arccos.
三、解答题
9．求过点P(3,0)且与圆x2＋6x＋y2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．
[解析]　将点(3,0)代入x2＋6x＋y ( http: / / www.21cnjy.com )2－91＝－64<0，所以点P在圆内，圆方程配方整理得(x＋3)2＋y2＝102，圆心为C1(－3,0)，半径为R＝10.设所求动圆圆心为C(x，y)，半径为r，依题意有消去r得R－|PC|＝|CC1| |PC|＋|CC1|＝R，即|PC|＋|CC1|＝10.
又P(3,0)，C1(－3 ( http: / / www.21cnjy.com ),0)，且|PC1|＝6<10.可见C点是以P，C1为两焦点的椭圆，且c＝3,2a＝10，所以a＝5，从而b＝4，故所求的动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
一、选择题
1．已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[答案]　C
[解析]　由题意知|F1F2|＝2，
而|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项．
则2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|
即|PF1|＋|PF2|＝4>2
则P点的轨迹方程为椭圆，
则a＝2，c＝1.
∴椭圆方程为＋＝1.
2．已知方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是(　　)
A．k<1或k>3 B．1C．k>1 D．k<3
[答案]　B
[解析]　因为方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆．所以解得13．已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．2
[答案]　C
[解析]　设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)，
∴＋＝(－2x0，－2y0)，
∴|＋|＝＝2＝2.
∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，∴当y＝1时，|＋|取最小值为2.故选C.
二、填空题
4．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0[答案]　x2＋y2＝1
[解析]　如图，由题意，A点横坐标为c，
∴c2＋＝1，
又b2＋c2＝1，∴y2＝b4，∴|AF2|＝b2，
又∵|AF1|＝3|BF1|，
∴B点坐标为(－c，－b2)，
代入椭圆方程得，
∴方程为x2＋y2＝1.
5．若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围是________．
[答案]　(2，)∪(，5)
[解析]　由方程＋＝1表示椭圆，
可得
解得2即当2方程＋＝1表示椭圆．
6．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上 ( http: / / www.21cnjy.com )，过点(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
[答案]　＋＝1
[解析]　本题主要考查圆的切线方程 ( http: / / www.21cnjy.com )以及椭圆的标准方程，点在圆外过点(1，)与圆相切的一条直线方程为x＝1，一个切点为(1,0)，设另一条的方程为y＝x＋m，由1＝得m＝，故另一条切线的方程为y＝－x＋代入圆的方程联立解得切点为，则直线AB的方程为y＝－2x＋2，故椭圆的上顶点坐标为(0,2)．因此c＝1，b＝2，a＝，所求椭圆方程为＋＝1.
7．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在 ( http: / / www.21cnjy.com )椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．
[答案]　2　120°
[解析]　考查椭圆定义及余弦定理．
由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝2，
cos∠F1PF2＝
＝＝－.
∴∠F1PF2＝120°.
三、解答题
8．如图所示，已知经过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点．
(1)求△ABF1的周长；
(2)若AB不垂直于x轴，则△AF1B的周长有变化吗？为什么？
[解析]　(1)由题意知A，B两点在椭圆＋＝1上，故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
∴△ABF1的周长＝|AF ( http: / / www.21cnjy.com )1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝10＋10＝20.
∴△ABF1的周长为20.
(2)若AB不垂直于x轴，则△ABF1的周长不变．
理由：|AF1|＋|BF ( http: / / www.21cnjy.com )1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a，这与AB是否与x轴垂直无关．
9．如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；
(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．
[解析]　(1)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S＝4|x0||y0|.
由＋y＝1得y＝1－，从而
xy＝x(1－)＝－(x－)2＋.
当x＝，y＝时，Smax＝6，从而
t＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.
(2)由A(x0，y0)，B(x0，－y0)，A1(－3,0)，A2(3,0)知直线AA1的方程为
y＝(x＋3)．　　 ①
直线A2B的方程为
y＝(x－3)．　　　 ②
由①②得
y2＝(x2－9)．　　　 ③
又点A(x0，y0)在椭圆C上，故
y＝1－.　　　 ④
将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0)．
因此点M的轨迹方程为
－y2＝1(x<－3，y<0)．
第2课时椭圆的几何性质练习
一、选择题
1．(2015·广东文，8)已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　　)
A．2　　 B．3　　
C．4　　 D．9
[答案]　B
[解析]　由题意得：m2＝25－42＝9，因为m＞0，所以m＝3，故选B.
2．已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m＝(　　)
A．4 B．5
C．7 D．8
[答案]　D
[解析]　因为焦点在y轴上，
所以 6又焦距为4，所以m－2－10＋m＝4 m＝8.
3．已知椭圆的焦距为2，椭圆上一点到两焦点的距离的和为8，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
[答案]　D
[解析]　∵2c＝2，∴c＝，∵2a＝8，∴a＝4.
又∵焦点不知在哪个轴上，∴标准方程有两个，故选D.
4．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　由题意知b＝c，∴a＝b，∴e＝＝.
5．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、 ( http: / / www.21cnjy.com )右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.－2
[答案]　B
[解析]　本题考查椭圆方程，等比数列知识、离心率等．
∵A、B分别在左右顶点，F1、F2分别 ( http: / / www.21cnjy.com )为左右焦点，∴|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c，又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列得(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝.
6．我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设＋＝1(a>b>0)是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则∠ABF等于(　　)
A．60°　　　 B．75°
C．90°　　　 D．120°
[答案]　C
[解析]　cos∠ABF＝
＝＝
＝＝0，
∴∠ABF＝90°，选C.
二、填空题
7．一椭圆的短半轴长是2，离心率是，焦点为F1，F2，弦AB过F1，则△ABF2的周长为____________．
[答案]　12
[解析]　∵离心率是，∴a＝3c，
又有a2－c2＝b2＝8，
∴(3c)2－c2＝8∴c2＝1，
∴a2＝9，易知△ABF2的周长为4a，
∴周长为12.
8．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
[答案]　＋＝1
[解析]　考查椭圆的定义与标准方程．
设椭圆G的标准方程为＋＝1　(a>b>0)，半焦距为c，则
，∴，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9，
∴椭圆G的方程为＋＝1.
三、解答题
9．设椭圆方程为＋＝1(a>b>0) ( http: / / www.21cnjy.com )，短轴的一个顶点B与两焦点F1、F2组成的三角形的周长为4＋2，且∠F1BF2＝π，求椭圆方程．
[解析]　由题意知

∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.
一、选择题
1．设椭圆＋＝1(a>b>0)的 ( http: / / www.21cnjy.com )离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)的位置(　　)
A．必在圆x2＋y2＝2内 B．必在圆x2＋y2＝2上
C．必在圆x2＋y2＝2外 D．以上三种情形都有可能
[答案]　A
[解析]　由e＝知＝，a＝2c. ( http: / / www.21cnjy.com )由a2＝b2＋c2得b＝c，代入ax2＋bx－c＝0，得2cx2＋cx－c＝0，即2x2＋x－1＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝<2.
2．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
[答案]　A
[解析]　如图，△ABF2为正三角形，
∴|AF2|＝2|AF1|，|AF2|＋|AF1|＝2a，
|AF1|＝|F1F2|.
∴|AF1|＝a，又|F1F2|＝2c，
∴＝ .∴＝.故选A.
3．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　由题意，得F1(－，0)，F2(，0)．
设M(x，y)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，
整理得x2＋y2＝3. ①
又因为点M在椭圆上，故＋y2＝1，
即y2＝1－. ②
将②代入①，得x2＝2，解得x＝±.
故点M到y轴的距离为.
4．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．[，1) B．[，]
C．[，] D．(0，]
[答案]　C
[解析]　设P(m，n)，·＝c2＝(－c－m，－n)·(c－m，－n)＝m2－c2＋n2，
∴m2＋n2＝2c2,2c2－m2＝n2①，
把P(m，n)代入椭圆＋＝1，得b2m2＋a2n2＝a2b2②，
把①代入②得m2＝≥0，
∴a2b2≤2a2c2，∴b2≤2c2，∴a2≤3c2，∴e＝≥.
又m2＝≤a2，
∴a2≥2c2，∴e＝≤.
综上知此椭圆离心率的取值范围是[，]，故选C.
二、填空题
5．已知椭圆的长轴长为20，离心率为，则该椭圆的标准方程为________．
[答案]　＋＝1或＋＝1
[解析]　因为2a＝20，e＝ ( http: / / www.21cnjy.com )＝，所以a＝10，c＝6，b2＝a2－c2＝64.由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
6．以正方形ABCD的相对顶点A，C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为________．
[答案]　
[解析]　连接CE，设AD＝1，则AC＝，即c＝，CE＝＝，
∴2a＝AE＋CE＝＋，
∴a＝＋，
∴e＝＝＝.
三、解答题
7. 设P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2＝90°，求证：椭圆的圆心率e≥.
[证明]　证法一：∵P是椭圆上的点，F1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a， ①
在Rt△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，
由①2，得|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，
∴|PF1|·|PF2|＝2(a2－c2)， ②
由①和②，知|PF1|，|PF2|是方程z2－2az＋2(a2－c2)＝0的两根，且两根均在(a－c，a＋c)之间．
令f(z)＝z2－2az＋2(a2－c2)则可得()2≥，即e≥.
证法二：由题意知c≥b，∴c2≥b2＝a2－c2，
∴≥，故e≥.
8．过椭圆＋＝1内一点M(2,1) ( http: / / www.21cnjy.com )的一条直线与椭圆交于A，B两点，如果弦AB被M点平分，那么这样的直线是否存在？若存在，求其方程；若不存在，说明理由．
[解析]　设所求直线存在，方程y－1＝k( ( http: / / www.21cnjy.com )x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k2－1)2－16＝0①.设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，所以x1＋x2＝.又M为AB的中点，所以＝＝2，解得k＝－.又k＝－时，使得①式Δ>0，故这样的直线存在，直线方程为x＋2y－4＝0.
9．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．
[解析]　解法一：若椭圆的焦点在x轴上，由题意得∴椭圆方程为＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，
由题意得
∴椭圆方程为＋＝1.
综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
解法二：设椭圆方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，
由题意得或
解得或
∴椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.