陕西省宝鸡市金台区2024-2025学年高三（上）第一次质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省宝鸡市金台区高三（上）第一次质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
4.若，且，则( )
A. B. C. D.
5.蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为，轴截面过圆锥旋转轴的截面是面积为的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为( )
A. B. C. D.
6.已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
8.定义在上的 函数满足，，，且当时，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A. 数据，，，，，，，的第百分位数为
B. 已知随机变量服从正态分布，，则
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则
D. 若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
10.已知函数，则( )
A. 有两个极值点 B. 有一个零点
C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线
11.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线，则下列结论正确的是( )
A. 曲线与轴的交点为和
B. 曲线关于轴、轴对称，不关于原点对称
C. 点的横坐标的范围是
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中常数项是______用数字作答
13.若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ．
14.九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在个小格子中填上至中不重复的整数，小明通过推理已经得到了个小格子中的准确数字，，，，，这个数字未知，且，为奇数，则的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，，求周长．
16.本小题分
已知椭圆：的一个焦点为，且离心率为．
求椭圆的方程；
直线：与椭圆交于，两点，若面积为，求直线的方程．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
证明：当时，．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，，为线段的中点，平面底面．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
中国女排是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一，曾是世界上第一个“五连冠”得主，并十度成为世界冠军，年在杭州第届亚运会上女排再度获得冠军她们那种团结协作、顽强拼搏的精神极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在新征程上奋进提供了强大的精神力量如今，女排精神广为传颂，家喻户晓，各行各业的人们在女排精神的激励下，为中华民族的腾飞顽强拼搏某中学也因此掀起了排球运动的热潮，在一次排球训练课上，体育老师安排人一组进行传接球训练，其中甲、乙、丙、丁四人刚好围成一个矩形如图，已知当某人控球时，传给其相邻同学的概率为，传给对角线上的同学的概率为，由甲开始传球．
求第次传球是由乙传给甲的概率；
求第次传球后排球传到丙手中的概率；
若随机变量服从两点分布，且，，，，，则，记前次即从第次到第次传球中排球传到乙手中的次数为，求．
参考答案
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15.解：，
，
又，
由正弦定理可知
结合得
，而，
由得
则的周长为
16.解：由焦点为得，又离心率，得到，
所以，所以椭圆的方程为．
设，，
联立，消得，
，得到，
由韦达定理得，，，
又因为，
又原点到直线的距离为，
所以，
所以，所以，即，满足，
所以直线的方程为．
17.解：，
当时，在单调递减，
当时，，在单调递减，
当时，令，，时，，单调递减．
时，单调递增，
故当时在单调递减，
当时，在区间单调递减，在区间单调递增．
由知当时，在区间单调递减，在区间单调递增故，
令，
，令，因为，故，在区间单调递减，在区间单调递增，，即恒成立，即，即当时，．

18.证明：因为底面为正方形，所以，
因为平面底面，平面底面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，为线段的中点，所以，
又，、平面，
所以平面．
解：设点在底面上的投影点为，取的中点，连接，，
则与底面所成角为，
设，，则，，，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
由知平面，
所以，
所以，解得，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设直线与平面所成角为，则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：设第次传球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分别为，
则．
第次传球到乙手中的概率，
所以第次传球是由乙传给甲的概率为．
根据已知条件可得，当时，
联立则有，
所以是首项为，公比为的等比数列，故．
因为，所以，
代入式得，
将代入得，，
则，
其中，
故，
，
，
，
，
由累加法可得，
所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
故第次传球后排球传到丙手中的概率为．
随机变量服从两点分布，设第次未传到乙手中的概率为，
则排球第次传到乙手中的概率为，，，，，
则．
由知
，
其中，
所以．
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