抛物线的标准方程导学案
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文档简介
2.4.1抛物线的标准方程
学习目标
使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．
要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．
学习过程
一、【教材基础梳理】
1、抛物线的定义
平面内与一定点和一条定直线（不经过点）_________________的点的轨迹叫做抛物线.点叫抛物线的_______________，直线叫做抛物线的_____________.
注：（1）定点不在这条定直线
（2）定点在这条定直线，则点的轨迹是__________________
2、推导抛物线的标准方程：
如图所示，________________________建立平面直角坐标系，设KF=p(p>0),那么焦点F的坐标为____________,准线的方程为___________,设抛物线上的点M（x,y）, M（x,y）点具有的性质为__________________,坐标化得__________________,两边平方、化简方程得____________________.方程叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是________________，它的准线方程为__________
3、抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
______________ ______________ ______________
______________ ______________ ______________
______________ ______________ ______________
______________ ______________ ______________
二、【课前检测】
1.抛物线的焦点坐标为( )
A.（0，1） B.（0，） C.（0，） D.（0，）
2.若抛物线的准线方程为x=-7，则抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
三、【典例解析】
类型一 有关抛物线的定义
例1 若点P到F（3，0）的距离比它到直线的距离少1，求动点P的轨迹方程.
变式训练1、若动圆与圆外切，又与直线 x+1=0相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
类型二 求焦点或准线
已知抛物线方程为,求其焦点坐标和准线方程.
变式训练2、求的焦点坐标和准线方程.
类型三 抛物线标准方程的求法
例3 求适合下列条件的抛物线标准方程.
过点（-3，2）；
（2）焦点在直线上.
（3）过抛物线的焦点F做x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且|AB|=6
(4) 抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点到焦点的距离是6
类型四 抛物线中的简单最值问题
已知抛物线的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），
求｜PA｜+｜PF｜的最小值，并求出取最小值时P点坐标.
变式训练3、设定点M（3，）与抛物线上的点P之间的距离为d1，P到抛物线的准线的距离为d2,则d1+d2取最小值时，P点坐标为（ ）
A、（0，0） B、（1，） C、(2,2) D、
变式训练4：已知抛物线和点A（4,0），点M在此抛物线上运动，求点M与点A的距离的最小值，并指出此时点M的坐标。
类型五 抛物线的实际应用
例4：某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽8m，一木船
宽4m，高2m，载货后木船露在水面上的部分高为m，问水面上涨到与拱
桥相距多少时，木船开始不能通航？
四、【课堂达标练习】
1.抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
2.若点到直线的距离比它到点（0，3）的距离小2，则点的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
3.若直线经过抛物线的焦点，则实数___________.
五、【课后强化训练】
1.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）
A.—2 B.2 C.—4 D.4
2.若抛物线上一点到其焦点的距离为10，则点的坐标为（ ）
A.（8，8） B.（8，—8） C.（8，±8） D.（—8，±8）
3.焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知点是抛物线上的一个动点，则点到点（0，2）的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A. B.3 C. D.
5.已知抛物线的焦点为，点、、在抛物线上，且，则有（ ）
A. B.
C. D.·
二、填空题
6.抛物线形拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m后，则水面宽是______m.
7.已知圆与抛物线的准线相切，则=_________.
8.焦点在x轴的正半轴上，并且经过点M（2，-4）的抛物线的标准方程为________.
9.已知抛物线的焦点在x轴正半轴上，且准线与y轴这间的距离为6，则此抛物线的标准方程为__________.
三、解答题
10.已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于，求这条抛物线的方程.
11.抛物线的焦点在y轴上，抛物线上的点M（m,-3）到焦点的距离是5.
求抛物线方程和m值.（2）求抛物线的焦点和准线方程.
12.若抛物线上有一点，其横坐标为，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点的坐标.
13.已知点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程.
14.已知点M在抛物线y2=12x上，它与焦点的距离等于9，求点M的坐标.
2.4.2抛物线的几何性质
学习目标
（1）抛物线的几何性质、范围、对称性、定点、离心率。.
（2）抛物线的通径及画法。
（3）抛物线的焦半径公式。
过程
一、【教材基础梳理】
图形 标准方程 焦点坐标 顶点 准线方程 对称轴 开口方向
二、【课前检测】
1、抛物线的焦点坐标为（ ）
A、（0，） B、 C、 D、
2、抛物线上一点P到焦点的距离是2，则点P的坐标为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、设抛物线的准线与直线x=1的距离为3，则抛物线的方程为 .
三、【典例解析】
类型一 求抛物线的标准方程
例1抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程.
变式训练1.已知双曲线方程是，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.
2. 边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A、B的抛
物线方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
类型二 抛物线几何性质的简单应用
例2：正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长.
变式训练3.直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，且一直角边的方程是，斜边长是，求此抛物线方程.
类型三 与抛物线有关的最值问题
例3 抛物线上的点到直线的距离最短，则该点坐标是什么？
变式训练4.求抛物线上一点到直线的最短距离.
四、【课堂达标练习】
1.过抛物线的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则·的值是
（ ）
A.12 B.—12 C.3 D.—3
2.设抛物线上一点到轴的距离为12，则点与焦点的距离｜PF｜=________.
3.根据下列条件，求抛物线的方程：
（1）顶点在原点，对称轴为轴，且过点，抛物线的方程为________________；
（2）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点抛物线的方程为________________.
4.一个动点到点的距离比到直线的距离多于1，这个动点的轨迹方程为______。
5.求下列方程表示的抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）。
6.抛物线上的一点和焦点的距离等于9，点的坐标为________.
7.抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是此双曲线的左顶点，抛物线的方程为_______.
8.设O为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上一点，若·=，求点的坐标.
五、【课后强化训练】
一、选择题
1.（2010年高考福建卷）以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.抛物线的准线方程是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3.抛物线的顶点在坐标原点，轴为对称轴，其焦点与双曲线的左焦点重合，则这条抛物线的方程是（ ）
A. B. C. D.
4.已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛线于、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
5.动点到点的距离和到直线的距离相等，动点的轨迹方程______________.
6.垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，且。直线的方程为______.
7.如图所示，斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点、，则该线段的长为_____________.
8.抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，其上有一点（4，），其到准线的距离为6，则=_________.
9.顶点为原点，焦点在轴正半轴上且通径长为6的抛物线方程是____________.
10.已知抛物线的对称轴是轴，且它经过直线与圆的交点，此抛物线的标准方程为_________.
三、解答题
11.已知抛物线以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线上，求抛物线的方程.
12.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且·=16.求此抛物线的方程.
13.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，其上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程及的值.
14.过抛物线的焦点的一条直线与它交于,两点，过点和此抛物线顶点的直线与准线交于点.求证直线平行于此抛物线的对称轴.
15.如图是一座抛物线型拱桥示意图，桥拱 ( http: / / www.21cnjy.com )是抛物线部分且以抛物线的轴为对称轴。已知顶点距水面4m时，量得水面宽12m，那么当水位升高1m时水面的宽多少（精确到0.1m）？
16.已知抛物线，是抛物线上一点： 设为焦点，一个定点为，求的最小值，并指出此时点的坐标；
学习目标
使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．
要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．
学习过程
一、【教材基础梳理】
1、抛物线的定义
平面内与一定点和一条定直线（不经过点）_________________的点的轨迹叫做抛物线.点叫抛物线的_______________，直线叫做抛物线的_____________.
注：（1）定点不在这条定直线
（2）定点在这条定直线，则点的轨迹是__________________
2、推导抛物线的标准方程：
如图所示，________________________建立平面直角坐标系，设KF=p(p>0),那么焦点F的坐标为____________,准线的方程为___________,设抛物线上的点M（x,y）, M（x,y）点具有的性质为__________________,坐标化得__________________,两边平方、化简方程得____________________.方程叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是________________，它的准线方程为__________
3、抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
______________ ______________ ______________
______________ ______________ ______________
______________ ______________ ______________
______________ ______________ ______________
二、【课前检测】
1.抛物线的焦点坐标为( )
A.（0，1） B.（0，） C.（0，） D.（0，）
2.若抛物线的准线方程为x=-7，则抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
三、【典例解析】
类型一 有关抛物线的定义
例1 若点P到F（3，0）的距离比它到直线的距离少1，求动点P的轨迹方程.
变式训练1、若动圆与圆外切，又与直线 x+1=0相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
类型二 求焦点或准线
已知抛物线方程为,求其焦点坐标和准线方程.
变式训练2、求的焦点坐标和准线方程.
类型三 抛物线标准方程的求法
例3 求适合下列条件的抛物线标准方程.
过点（-3，2）；
（2）焦点在直线上.
（3）过抛物线的焦点F做x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且|AB|=6
(4) 抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点到焦点的距离是6
类型四 抛物线中的简单最值问题
已知抛物线的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），
求｜PA｜+｜PF｜的最小值，并求出取最小值时P点坐标.
变式训练3、设定点M（3，）与抛物线上的点P之间的距离为d1，P到抛物线的准线的距离为d2,则d1+d2取最小值时，P点坐标为（ ）
A、（0，0） B、（1，） C、(2,2) D、
变式训练4：已知抛物线和点A（4,0），点M在此抛物线上运动，求点M与点A的距离的最小值，并指出此时点M的坐标。
类型五 抛物线的实际应用
例4：某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽8m，一木船
宽4m，高2m，载货后木船露在水面上的部分高为m，问水面上涨到与拱
桥相距多少时，木船开始不能通航？
四、【课堂达标练习】
1.抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
2.若点到直线的距离比它到点（0，3）的距离小2，则点的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
3.若直线经过抛物线的焦点，则实数___________.
五、【课后强化训练】
1.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）
A.—2 B.2 C.—4 D.4
2.若抛物线上一点到其焦点的距离为10，则点的坐标为（ ）
A.（8，8） B.（8，—8） C.（8，±8） D.（—8，±8）
3.焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知点是抛物线上的一个动点，则点到点（0，2）的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A. B.3 C. D.
5.已知抛物线的焦点为，点、、在抛物线上，且，则有（ ）
A. B.
C. D.·
二、填空题
6.抛物线形拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m后，则水面宽是______m.
7.已知圆与抛物线的准线相切，则=_________.
8.焦点在x轴的正半轴上，并且经过点M（2，-4）的抛物线的标准方程为________.
9.已知抛物线的焦点在x轴正半轴上，且准线与y轴这间的距离为6，则此抛物线的标准方程为__________.
三、解答题
10.已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于，求这条抛物线的方程.
11.抛物线的焦点在y轴上，抛物线上的点M（m,-3）到焦点的距离是5.
求抛物线方程和m值.（2）求抛物线的焦点和准线方程.
12.若抛物线上有一点，其横坐标为，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点的坐标.
13.已知点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程.
14.已知点M在抛物线y2=12x上，它与焦点的距离等于9，求点M的坐标.
2.4.2抛物线的几何性质
学习目标
（1）抛物线的几何性质、范围、对称性、定点、离心率。.
（2）抛物线的通径及画法。
（3）抛物线的焦半径公式。
过程
一、【教材基础梳理】
图形 标准方程 焦点坐标 顶点 准线方程 对称轴 开口方向
二、【课前检测】
1、抛物线的焦点坐标为（ ）
A、（0，） B、 C、 D、
2、抛物线上一点P到焦点的距离是2，则点P的坐标为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、设抛物线的准线与直线x=1的距离为3，则抛物线的方程为 .
三、【典例解析】
类型一 求抛物线的标准方程
例1抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程.
变式训练1.已知双曲线方程是，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.
2. 边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A、B的抛
物线方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
类型二 抛物线几何性质的简单应用
例2：正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长.
变式训练3.直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，且一直角边的方程是，斜边长是，求此抛物线方程.
类型三 与抛物线有关的最值问题
例3 抛物线上的点到直线的距离最短，则该点坐标是什么？
变式训练4.求抛物线上一点到直线的最短距离.
四、【课堂达标练习】
1.过抛物线的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则·的值是
（ ）
A.12 B.—12 C.3 D.—3
2.设抛物线上一点到轴的距离为12，则点与焦点的距离｜PF｜=________.
3.根据下列条件，求抛物线的方程：
（1）顶点在原点，对称轴为轴，且过点，抛物线的方程为________________；
（2）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点抛物线的方程为________________.
4.一个动点到点的距离比到直线的距离多于1，这个动点的轨迹方程为______。
5.求下列方程表示的抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）。
6.抛物线上的一点和焦点的距离等于9，点的坐标为________.
7.抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是此双曲线的左顶点，抛物线的方程为_______.
8.设O为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上一点，若·=，求点的坐标.
五、【课后强化训练】
一、选择题
1.（2010年高考福建卷）以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.抛物线的准线方程是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3.抛物线的顶点在坐标原点，轴为对称轴，其焦点与双曲线的左焦点重合，则这条抛物线的方程是（ ）
A. B. C. D.
4.已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛线于、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
5.动点到点的距离和到直线的距离相等，动点的轨迹方程______________.
6.垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，且。直线的方程为______.
7.如图所示，斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点、，则该线段的长为_____________.
8.抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，其上有一点（4，），其到准线的距离为6，则=_________.
9.顶点为原点，焦点在轴正半轴上且通径长为6的抛物线方程是____________.
10.已知抛物线的对称轴是轴，且它经过直线与圆的交点，此抛物线的标准方程为_________.
三、解答题
11.已知抛物线以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线上，求抛物线的方程.
12.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且·=16.求此抛物线的方程.
13.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，其上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程及的值.
14.过抛物线的焦点的一条直线与它交于,两点，过点和此抛物线顶点的直线与准线交于点.求证直线平行于此抛物线的对称轴.
15.如图是一座抛物线型拱桥示意图，桥拱 ( http: / / www.21cnjy.com )是抛物线部分且以抛物线的轴为对称轴。已知顶点距水面4m时，量得水面宽12m，那么当水位升高1m时水面的宽多少（精确到0.1m）？
16.已知抛物线，是抛物线上一点： 设为焦点，一个定点为，求的最小值，并指出此时点的坐标；