抛物线的标准方程课后 检测 新人教B版选修2-1
文档属性
| 名称 | 抛物线的标准方程课后 检测 新人教B版选修2-1 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 78.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-06 21:43:51 | ||
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文档简介
第一课时2.4.1 抛物线的标准方程课后 检测 新人教B版选修2-1
一、选择题
1．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解】 抛物线准线y＝－1，由抛物线定义知，点A到焦点的距离等于到准线的距离为5.
【答案】 D
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为
( )
A. B．1
C．2 D．4
【解析】 由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－.
∵准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，
∴3＋＝4，∴p＝2.
【答案】 C
3．(2013·海口高二检测)焦点在y轴上，且抛物线上一点A(m,3)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝8x B．x2＝8y
C．y2＝－8x D．x2＝－8y
【解析】 设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，∵A(m,3)到焦点的距离为5，∴＋3＝5，∴p＝4，∴抛物线为x2＝8y.
【答案】 B
4．(2013·济南高二期末)设抛物线y ( http: / / www.21cnjy.com )2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8
C．8 D．16
【解析】 由抛物线定义得|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－可知，∠PAF＝60°，
所以△PAF是等边三角形，
即|PF|＝|AF|＝＝8.
【答案】 B
5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D.
【解析】 如图，设AB中点为P，分别为A，B，P向准线x＝－作垂线，垂足分别为A′，B′，P′.
则|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
于是|PP′|＝＝＝.
故P到y轴的距离为|PP′|－＝－＝.
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·金乡高二检测)抛物线y＝x2(a≠0)的焦点坐标为________．
【解析】 抛物线y＝x2的标准形式为x2＝ay，故焦点在y轴上，坐标为(0，)．
【答案】 (0，)
7．(2013·三明高二检测)以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为________．
【解析】 由－＝1知a2＝4，b2＝5，
∴c2＝a2＋b2＝9，双曲线右焦点为(3,0)，
依题意，抛物线的焦点F(3,0)，＝3，∴p＝6，
∴抛物线方程为y2＝12x.
【答案】 y2＝12x
8．对标准形式的抛物线，给出下列条件；
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
【解析】 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上 ( http: / / www.21cnjy.com )，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为(，0)，过该焦点的直线方程为y＝k(x－)，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
【答案】 ②④
三、解答题
9．求焦点在x轴上，且焦点在双曲线－＝1上的抛物线的标准方程．
【解】 由题意可设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
则焦点为(，0)．
∵焦点在双曲线－＝1上，
∴＝1，求得m＝±4.
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
图2－4－3
10．某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成 ( http: / / www.21cnjy.com )，尺寸如图2－4－3所示，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，问此车能否通过此隧道？说明理由．
【解】 建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(－3，－3)，A(3，－3)．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，
将B点的坐标代入，得
9＝－2p·(－3)，
∴p＝，∴抛物线方程为x2＝－3y(－3≤y≤0)．
∵车与箱共高4.5 m，
∴集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m.
设抛物线上点D的坐标为(x0，－0.5)，D′的坐标为(－x0，－0.5)，
则x＝－3×(－0.5)，解得x0＝±＝±.
∴|DD′|＝2|x0|＝＜3，故此时车不能通过隧道．
11．在抛物线y＝－x2上求一点M，使M点到焦点F的距离与到点A(1，－2)的距离之和最小．
【解】 由题
意知A在抛物线内部，如图， ( http: / / www.21cnjy.com )设M是抛物线上任意一点，l是抛物线的准线，过M作MM1⊥l，垂足为M1，过A作AA1⊥l，垂足为A1，且交抛物线于点P，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|≥|AA1|＝|PA|＋|PA1|＝|PF|＋|PA|.
即P点为所求，把x＝1代入得：y＝－1，故P(1，－1).
第二课时 2.4.2 抛物线的几何特性课后 检测 新人教B版选修2-1
一、选择题
1．顶点在原点，焦点是F(0,5)的抛物线方程是( )
A．y2＝20x B．x2＝20y
C．y2＝x D．x2＝y
【解析】 由题意＝5，∴p＝10，且焦点在y轴的正半轴上，顶点为原点，故抛物线的方程x2＝20y.
【答案】 B
2．(2013·佛山高二检测)P为抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有( )
A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1|
B．|PP1|＝|AB|
C．|PP1|＞|AB|
D．|PP1|＜|AB|
【解析】 如图所示，根据题意，PP′恰巧是梯形AA′B′B的中位线，故|PP1|＝|AB|.
【答案】 B
3．抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于( )
A. B.
C. D．1
【解析】 由
消y得ax2－x＋1＝0.
∵直线y＝x与抛物线y＝ax2＋1相切，
∴方程ax2－x＋1＝0有两相等实根．
∴判别式Δ＝(－1)2－4a＝0，∴a＝.
【答案】 B
4．(2013·莆田高二检测)已知 ( http: / / www.21cnjy.com )抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得：，①－②得
(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)．
又∵y1＋y2＝4，∴＝＝＝k＝1，∴p＝2.
∴所求抛物线的准线方程为x＝－1.
【答案】 B
5．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为( )
A．18 B．24
C．36 D．48
【解析】 不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，依题意，l⊥x轴，且焦点F(，0)，∵当x＝时，|y|＝p，
∴|AB|＝2p＝12，∴p＝6，
又点P到直线AB的距离为＋＝p＝6，
故S△ABP＝|AB|·p＝×12×6＝36.
【答案】 C
二、填空题
6．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．
【解析】 设抛物线上点的坐标为(x ( http: / / www.21cnjy.com )，±)，此点到准线的距离为：x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝，∴此点坐标为(，±)．
【答案】 (，±)
7．(2013·天津高考)已知抛物线y2＝8 ( http: / / www.21cnjy.com )x的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
【解析】 由题意可知抛物线的准线方程为x＝－2，
∴双曲线的半焦距c＝2.又双曲线的离心率为2，
∴a＝1，b＝，∴双曲线的方程为x2－＝1.
【答案】 x2－＝1
8．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋＝0的距离为________．
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，
∴x1＋x2＝4－＝，
∴中点C(x0，y0)到直线x＋＝0的距离为x0＋＝＋＝＋＝.
【答案】
三、解答题
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
【解】 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，
设A(x0，y0)，由题知M(0，－)．
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，
∵|AM|＝，
∴x＋(y0＋)2＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0得，
8＝2p(3－)，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．已知点A(0，－2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足·＝y2－8.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证：OC⊥OD(O为坐标原点)．
【解】 (1)由题意可得
·＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)＝y2－8.
化简得x2＝2y.
(2)证明 将y＝x＋2代 ( http: / / www.21cnjy.com )入x2＝2y中，得x2＝2(x＋2)，整理得x2－2x－4＝0，可知Δ＝4＋16＝20＞0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝－4.因为y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，所以y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4.因为·＝x1x2＋y1y2＝0，所以OC⊥OD.
11．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
【解】 (1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝.又F(，0)，所以直线l的方程为y＝(x－)．
联立，
消去y得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，
所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离为3＋＝.
一、选择题
1．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解】 抛物线准线y＝－1，由抛物线定义知，点A到焦点的距离等于到准线的距离为5.
【答案】 D
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为
( )
A. B．1
C．2 D．4
【解析】 由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－.
∵准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，
∴3＋＝4，∴p＝2.
【答案】 C
3．(2013·海口高二检测)焦点在y轴上，且抛物线上一点A(m,3)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝8x B．x2＝8y
C．y2＝－8x D．x2＝－8y
【解析】 设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，∵A(m,3)到焦点的距离为5，∴＋3＝5，∴p＝4，∴抛物线为x2＝8y.
【答案】 B
4．(2013·济南高二期末)设抛物线y ( http: / / www.21cnjy.com )2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8
C．8 D．16
【解析】 由抛物线定义得|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－可知，∠PAF＝60°，
所以△PAF是等边三角形，
即|PF|＝|AF|＝＝8.
【答案】 B
5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D.
【解析】 如图，设AB中点为P，分别为A，B，P向准线x＝－作垂线，垂足分别为A′，B′，P′.
则|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
于是|PP′|＝＝＝.
故P到y轴的距离为|PP′|－＝－＝.
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·金乡高二检测)抛物线y＝x2(a≠0)的焦点坐标为________．
【解析】 抛物线y＝x2的标准形式为x2＝ay，故焦点在y轴上，坐标为(0，)．
【答案】 (0，)
7．(2013·三明高二检测)以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为________．
【解析】 由－＝1知a2＝4，b2＝5，
∴c2＝a2＋b2＝9，双曲线右焦点为(3,0)，
依题意，抛物线的焦点F(3,0)，＝3，∴p＝6，
∴抛物线方程为y2＝12x.
【答案】 y2＝12x
8．对标准形式的抛物线，给出下列条件；
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
【解析】 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上 ( http: / / www.21cnjy.com )，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为(，0)，过该焦点的直线方程为y＝k(x－)，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
【答案】 ②④
三、解答题
9．求焦点在x轴上，且焦点在双曲线－＝1上的抛物线的标准方程．
【解】 由题意可设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
则焦点为(，0)．
∵焦点在双曲线－＝1上，
∴＝1，求得m＝±4.
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
图2－4－3
10．某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成 ( http: / / www.21cnjy.com )，尺寸如图2－4－3所示，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，问此车能否通过此隧道？说明理由．
【解】 建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(－3，－3)，A(3，－3)．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，
将B点的坐标代入，得
9＝－2p·(－3)，
∴p＝，∴抛物线方程为x2＝－3y(－3≤y≤0)．
∵车与箱共高4.5 m，
∴集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m.
设抛物线上点D的坐标为(x0，－0.5)，D′的坐标为(－x0，－0.5)，
则x＝－3×(－0.5)，解得x0＝±＝±.
∴|DD′|＝2|x0|＝＜3，故此时车不能通过隧道．
11．在抛物线y＝－x2上求一点M，使M点到焦点F的距离与到点A(1，－2)的距离之和最小．
【解】 由题
意知A在抛物线内部，如图， ( http: / / www.21cnjy.com )设M是抛物线上任意一点，l是抛物线的准线，过M作MM1⊥l，垂足为M1，过A作AA1⊥l，垂足为A1，且交抛物线于点P，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|≥|AA1|＝|PA|＋|PA1|＝|PF|＋|PA|.
即P点为所求，把x＝1代入得：y＝－1，故P(1，－1).
第二课时 2.4.2 抛物线的几何特性课后 检测 新人教B版选修2-1
一、选择题
1．顶点在原点，焦点是F(0,5)的抛物线方程是( )
A．y2＝20x B．x2＝20y
C．y2＝x D．x2＝y
【解析】 由题意＝5，∴p＝10，且焦点在y轴的正半轴上，顶点为原点，故抛物线的方程x2＝20y.
【答案】 B
2．(2013·佛山高二检测)P为抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有( )
A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1|
B．|PP1|＝|AB|
C．|PP1|＞|AB|
D．|PP1|＜|AB|
【解析】 如图所示，根据题意，PP′恰巧是梯形AA′B′B的中位线，故|PP1|＝|AB|.
【答案】 B
3．抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于( )
A. B.
C. D．1
【解析】 由
消y得ax2－x＋1＝0.
∵直线y＝x与抛物线y＝ax2＋1相切，
∴方程ax2－x＋1＝0有两相等实根．
∴判别式Δ＝(－1)2－4a＝0，∴a＝.
【答案】 B
4．(2013·莆田高二检测)已知 ( http: / / www.21cnjy.com )抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得：，①－②得
(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)．
又∵y1＋y2＝4，∴＝＝＝k＝1，∴p＝2.
∴所求抛物线的准线方程为x＝－1.
【答案】 B
5．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为( )
A．18 B．24
C．36 D．48
【解析】 不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，依题意，l⊥x轴，且焦点F(，0)，∵当x＝时，|y|＝p，
∴|AB|＝2p＝12，∴p＝6，
又点P到直线AB的距离为＋＝p＝6，
故S△ABP＝|AB|·p＝×12×6＝36.
【答案】 C
二、填空题
6．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．
【解析】 设抛物线上点的坐标为(x ( http: / / www.21cnjy.com )，±)，此点到准线的距离为：x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝，∴此点坐标为(，±)．
【答案】 (，±)
7．(2013·天津高考)已知抛物线y2＝8 ( http: / / www.21cnjy.com )x的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
【解析】 由题意可知抛物线的准线方程为x＝－2，
∴双曲线的半焦距c＝2.又双曲线的离心率为2，
∴a＝1，b＝，∴双曲线的方程为x2－＝1.
【答案】 x2－＝1
8．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋＝0的距离为________．
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，
∴x1＋x2＝4－＝，
∴中点C(x0，y0)到直线x＋＝0的距离为x0＋＝＋＝＋＝.
【答案】
三、解答题
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
【解】 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，
设A(x0，y0)，由题知M(0，－)．
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，
∵|AM|＝，
∴x＋(y0＋)2＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0得，
8＝2p(3－)，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．已知点A(0，－2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足·＝y2－8.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证：OC⊥OD(O为坐标原点)．
【解】 (1)由题意可得
·＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)＝y2－8.
化简得x2＝2y.
(2)证明 将y＝x＋2代 ( http: / / www.21cnjy.com )入x2＝2y中，得x2＝2(x＋2)，整理得x2－2x－4＝0，可知Δ＝4＋16＝20＞0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝－4.因为y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，所以y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4.因为·＝x1x2＋y1y2＝0，所以OC⊥OD.
11．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
【解】 (1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝.又F(，0)，所以直线l的方程为y＝(x－)．
联立，
消去y得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，
所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离为3＋＝.