天津二十中2024-2025学年高三（上）第一次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津二十中高三（上）第一次段考数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则集合为( )
A. B. C. D.
2.在中，若条件：，条件：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.如图，个数据，去掉后，下列说法错误的是( )
A. 相关系数变大 B. 残差平方和变大
C. 相关指数变大 D. 解释变量与预报变量的相关性变强
4.已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.从一副不含大小王的张扑克牌中，每次从中随机抽取张扑克牌，抽出的牌不再放回在第一次抽到牌的条件下，第二次抽到牌的概率为( )
A. B. C. D.
7.定义运算、若，，，则等于( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，，，则的周长的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知函数，有下列命题：
为函数图象的一条对称轴
将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为
在上有个零点，则实数的取值范围是
函数在上单调递增
其中错误的命题个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.是虚数单位，则复数 ______．
11.在的展开式中，的系数是 ．
12.已知随机变量，且，则______．
13.从，，，，，六个数字中任取三个组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为______．
14.正数，满足，则的最小值为 ．
15.设，函数，若在区间内恰有个零点，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，，．
求；
求；
求．
17.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
Ⅰ求的解析式及对称中心坐标；
Ⅱ先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，最后将图象向上平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间和最值．
18.本小题分
如图，在四棱台中，，，四边形和都是正方形，平面，点为棱的中点．
求证：平面；
求平面与平面所成角的余弦值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若时，的图象恒在轴上方，求的范围；
若存在不相等的实数，，使得，证明：．
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在处的切线斜率；
Ⅱ当时，求证：；
Ⅲ证明：．
参考答案
1.
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16.解：在中，，，
设，则，，
，
解得，
；
由得，，，
由正弦定理得，即，
解得．
，，是锐角，且，
，
，
．
17.解：Ⅰ根据函数的部分图象，
可得，，．
再根据五点法作图，，，故有
根据图象可得，是的图象的一个对称中心，
故函数的对称中心为，．
Ⅱ先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，可得的图象，
再向右平移个单位，得到的图象，
最后将图象向上平移个单位后得到的图象．
令，求得，可得的减区间为，，
结合，可得的单调减区为
，故当时，取得最大值为；
当时，取得最小值为．
18.证明：连接，
为的中点，，而，
四边形为平行四边形，可得，
而平面，平面，
平面B.
又，平面，平面，
平面B.
又，平面平面，
而平面，则平面；
解：连接，可得，
在中，过作，垂足为，连接，
平面，平面，，
又，平面，可得，
则为平面与平面所成二面角的平面角，
在中，由，得，
在中，有，
，即平面与平面所成角的余弦值为；
解：平面，平面，，
又，，平面，而平面，
，取中点，连接，则，
在中，求得，可得，
又，设点到平面的距离为，
由，得，解得．
点到平面的距离为．
19.解：函数的定义域为，
当时，，所以在上单调递增；
当时，由得，所以在上单调递增；
由得，所以在上单调递减；
故时，所以在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
由的图象恒在轴上方，可得，
因为且，不等式两边同时除以，可得，
设可得，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时取得最大值，，
所以只需，即，解得，
所以的范围是；
证明：，
由可知，当时，在上是增函数，
故不存在不相等的实数，，使得，所以．
由得，即，
不妨设，则，则，
要证，只需证，
即证，只需证，
令，则只需证，即证，
令，则，
所以在上是增函数，所以，
从而，故．
20.解：Ⅰ对函数求导，可得，
则曲线在处的切线斜率为；
Ⅱ证明：当时，，即，即，
而在上单调递增，
因此，原不等式得证；
Ⅲ证明：设数列的前项和，
则；
当时，，
由，，
故，不等式右边得证；
要证，只需证：对任意的，，
令，则，
当时，，函数在上单调递减，
则，即，
则，
因此当时，，
当时，累加得
，
又，，
故，即得证．
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