四川省成都市玉林中学2024-2025学年高三（上）诊断数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年四川省成都市玉林中学高三（上）诊断
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若复数满足，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
5.设，，，若，则实数的值等于( )
A. B. C. D.
6.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 是偶函数 B. 是增函数
C. 是周期函数 D. 的值域为
8.盒中放有个乒乓球，其中个是新的，第一次比赛时从中任取个来使用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从中任取个球，则第二次取出的球都是新球的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是( )
A. 变量，之间呈现负相关关系 B.
C. 可以预测，当时，约为 D. 由表格数据知，该回归直线必过点
10.已知等差数列的公差为，前项和为，且，，，成等比数列，则( )
A. B.
C. 当时，是的最大值 D. 当时，是的最小值
11.已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域是 ．
13.的展开式中的系数为______．
14.设为坐标原点，直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，若的面积为，则的焦距的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求；
若存在正实数，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数的取值范围．
16.本小题分
在四棱锥中，底面，，，，．
证明：；
求与平面所成的角的正弦值．
17.本小题分
电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，其中女性有名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”．
根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷 体育迷 合计
男
女
合计
将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．
附：．
18.本小题分
已知椭圆：，
求椭圆的离心率
设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论．
19.本小题分
已知函数为常数，是自然对数的底数，曲线在点处的切线与轴平行．
求的值；
求的单调区间；
设，其中为的导函数，证明：对任意，．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：依题意，，
当时，，
所以．
由知，，，
解不等式，得，即，
因为“”是“”成立的充分不必要条件，则有，
于是得或
解得或，即有，
所以正实数的取值范围是．
16.解：证明：底面，面，
，
取中点，连接，
，，
，又，
，，
为直角三角形，且为斜边，
，
又，面，面，
面，
又面，
；
由知，，，两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
，
则，
，
设平面的一个法向量为，则，则可取，
设与平面所成的角为，则，
与平面所成的角的正弦值为．
17.解：由频率分布直方图可知，在抽取的人中，“体育迷”有人，从而列联表如下：
非体育迷 体育迷 合计
男
女
合计
将列联表中的数据代入公式计算，得．
因为，所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．
由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率．
由题意知，从而的分布列为
．
18.解：由，得椭圆的标准方程为．
，，从而．
因此，．
故椭圆的离心率；
直线与圆相切．
证明如下：
设点，的坐标分别为，，其中．
，
，即，解得．
当时，，代入椭圆的方程，得．
故直线的方程为，圆心到直线的距离．
此时直线与圆相切．
当时，直线的方程为，
即．
圆心到直线的距离．
又，．
故．
此时直线与圆相切．
19.解由 得：，．
由于曲线在处的切线与轴平行，
所以，因此分
解由得 ，．
令 ，，
当时，；当时，．
又，所以当时，；
当时，．
因此的单调递增区间为，单调递减区间为分
证明因为 ，
所以 ，．
因此，对任意，
等价于
由知 ，，
所以 ，．
因此，当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以的最大值为．
故 分
设因为，
所以当时，，单调递增，，
故当时，，即．
所以
因此对任意，分
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