福建省莆田十中2024-2025学年高三（上）模拟数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省莆田十中高三（上）模拟数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若随机变量服从正态分布，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，若，则的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D. 或
3.若抛物线的准线经过双曲线的右焦点，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列中，，为前项和，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，其中，均为正数若，则( )
A. B. C. D.
7.有一组样本数据：，，，，其平均数为，由这组样本数据得到新样本数据：，，，，，那么这两组样本数据一定有相同的( )
A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 极差
8.若曲线有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，，则( )
A. B. C. D.
10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点
的轨迹为圆，下列结论正确的是( )
A. 圆的方程是
B. 过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为
C. 圆与圆有四条公切线
D. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，该直线斜率为
11.已知函数的定义域为，，且，则( )
A. B.
C. 为奇函数 D. 在上具有单调性
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数的实部为，则 ______．
13.已知空间中有三点，，，则点到直线的距离为______．
14.已知若，求的最大值为______；若且，求的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务的项目有：米袋鼠跳、米、米、米、米、米接力．
志愿者小明同学可以在个项目中选择个项目参加服务，求小明在选择米袋鼠跳服务的条件下，选择米服务的概率；
为了调查志愿者选择服务项目的情况，从志愿者中抽取了名同学，其中有名首选米，名首选米接力现从这名同学中再选名同学做进一步调查将其中首选米接力的人数记作，求随机变量的分布列和数学期望．
16.本小题分
在如图所示的几何体中，平面，，四边形为平行四边形，，，，．
Ⅰ求证：直线平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ求平面与平面夹角的正弦值．
17.本小题分
三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研究，对三角学的现代化发展作出了巨大贡献，三倍角公式就是三角学中的重要公式之一，类似二倍角的展开，三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简．
证明：；
若，，求的值．
18.本小题分
已知为平面上的动点，记其轨迹为．
请从以下两个条件中选择一个，求对应的的方程已知点，直线：，动点到点的距离与到直线的距离之比为；设是圆：上的动点，过作直线垂直于轴，垂足为，且．
在的条件下，设曲线的左、右两个顶点分别为，，若过点的直线的斜率存在且不为，设直线交曲线于点，，直线过点且与轴垂直，直线交直线于点，直线交直线于点，则线段的比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19.本小题分
对于数列，数列称为数列的差数列或一阶差数列差数列的差数列，称为的二阶差数列一般地，的阶差数列的差数列，称为的阶差数列如果的阶差数列为常数列，而阶差数列不是常数列，那么就称为阶等差数列．
已知，，，，是一个阶等差数列的前项求的值及；
证明：二阶等差数列的通项公式为；
证明：若数列是阶等差数列，则的通项公式是的次多项式，即其中为常实数
参考答案
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15.解：记作事件为“选择米袋鼠跳服务”，事件为“米服务”，
则，，
所以，
即小明在选择米袋鼠跳服务的条件下，选择米服务的概率；
由题意可知，的所有可能取值为，，，，
则，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
16.Ⅰ证明：因为，平面，平面，
所以平面，
因为四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为，、平面，
所以平面平面，
又平面，所以直线平面．
Ⅱ解：因为，，，
所以，，
又平面，，，，
所以，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设直线与平面所成角为，则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
Ⅲ解：由Ⅱ知，平面的法向量为，
因为平面，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，，
所以，
故平面与平面夹角的正弦值为．
17.解：证明：；
由可知，，
即是方程的一个实根．
令，，
显然，
当时，，
所以在上单调递减，
又，，
由零点存在定理，可知，
故．
18.解：选，设，
由，
化简得，
即所求轨迹的方程为．
选，设，，
由，
得，
代入圆的方程：，
则，
整理得，
即所求轨迹的方程为．
设，，
已知直线的斜率存在且不为，
设过点的直线的方程为，
与方程联立得：，
，，
且，
直线的方程为，
．
同理，，
，
其中，
将代入可得，
，
．
19.解：由题意数列称为数列的差数列或一阶差数列．
差数列的差数列，称为的二阶差数列，
的阶差数列的差数列，称为的阶差数列．
可得的一阶差数列为，，，；
二阶差数列为，，；
三阶差数列为，，为常数列，故为三阶等差数列，即，
二阶差数列的第项为，一阶差数列的第项为，即，故；
证明：由题意可令，
是二阶等差数列，
，
，
由题意将可以写成
，故命题得证；
证明：先证一个引理：记，是的次多项式，
利用数学归纳法证明：
当时，是的次多项式，
假设是的次多项式，对，，，都成立，
由二项式定理，，
将取，，，，，由叠加法求和可得，
故是的次多项式，即引理得证．
由可知阶等差数列的通项是的次多项式，
假设阶等差数列的通项公式是的次多项式，
对于阶等差数列，它的差数列是阶等差数列，
即，故，
由引理，是的次多项式可知，此为的次多项式，故命题得证．
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