陕西省西安市经开一中2023-2024学年高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年陕西省西安市经开一中高二（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题3.5分，共28分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题：，则；，则；，则；，则，其中正确命题的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
3.如图是函数的大致图象，则( )
A.
B.
C.
D.
4.阅读课上，名同学分别从种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是( )
A. B. C. D.
5.设，则曲线在点处的切线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
6.已知定义在上的函数，其导函数满足：对任意都有，则下列各式恒成立的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
7.定义域为的函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则称函数为“函数”，现给出如下函数：
；
；
；
．
其中为“函数”的有( )
A. B. C. D.
8.若不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于函数极值的说法正确的是( )
A. 导数值为的点一定是函数的极值点
B. 函数的极小值可能大于它的极大值
C. 函数在定义域内必有一个极小值和一个极大值
D. 若在区间上有极值，则在区间上不单调
10.设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有，，，条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是( )
A. 从东面上山有种走法 B. 从西面上山有种走法
C. 从南面上山有种走法 D. 从北面上山有种走法
11.函数在区间上存在极值点，则整数的值为( )
A. B. C. D.
12.不动点定理是拓扑学中一个非常重要的定理，其应用非常广泛对于函数，定义方程的根称为的不动点已知有唯一的不动点，则( )
A. B. 的不动点为
C. 极大值为 D. 极小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.某汽车启动阶段的路程函数为，则秒时，汽车的加速度是______．
14.已知函数，则的值为______．
15.函数在区间上的最大值是______．
16.已知，，若存在，使得成立，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算；
解方程．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求函数的单调区间和极值；
Ⅱ若函数在上单调递减，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数为常数的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为．
求的值并求该切线方程；
当时，证明：．
20.本小题分
喀什二中拟在高二年段举行手工制作书柜比赛，现有一边长为的正方形硬纸板，纸板的四角截去四个边长为的小正方形，然后做成一个无盖方柜．
Ⅰ试把方柜的容积表示为的函数？
Ⅱ多大时，方柜的容积最大？并求最在容积．
21.本小题分
已知函数．
若且仅存在两个整数，使得，求的取值范围；
讨论零点的个数．
参考答案
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17.解：，
，
，
，
舍去或
故方程的解为．
18.解：Ⅰ，
，
令，得，，
，，的变化如下：
极小值 极大值
函数的单减区间是，，单增区间是；
所以当时，函数取得极小值；
当时，函数取得极大值．
Ⅱ因为函数在上单调递减，
则，在上恒成立，
，
，
，
，
实数的取值范围．
19.解：由得．
又因为，解得，
所以，，则，
可知该切线方程为．
证明：令，，则，
由可知：，
当时，；当时，；
可知在上单调递减，在上单调递增，
则，
即在上恒成立，
故在上单调递增，则，
所以当时，有．
20.解：Ⅰ由题意可得方柜的底面边长为，高，
所以，；
Ⅱ因为，，
所以，
令，得，舍，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以当时，取最大值为：．
21.解：令，其中，
则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
且当时，；当时，．
由可得，
作出函数，的图象如下图所示：
因为有且只有两个整数，使得，，
则满足不等式的整数只有两个，
所以，
解得，
的取值范围为；
考查当直线与函数相切时，实数的值，
设切点坐标为，则切线斜率为，
所求切线方程为，
即，所以，
解得或，
当时，；当时，．
当时，直线与函数的图象只有一个公共点；
当或时，直线与函数的图象有个公共点；
当或时，直线与函数的图象只有个公共点；
当时，直线与函数的图象无公共点；
综上所述，当时，函数无零点；
当或或时，函数有个零点；
当或时，函数有个零点．
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