福建省龙岩二中2024-2025学年高二（上）开学质检数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年福建省龙岩二中高二（上）开学质检数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知在等比数列中，，则的值是( )
A. B. C. D.
2.已知是递增数列，则的通项公式可能为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列，其前项和为，，则( )
A. B. C. D.
4.在数列中，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知数列是公差不为的等差数列，且，，为等比数列的连续三项，则的值为( )
A. B. C. D.
6.在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列的前项和为，且，，则当取得最大值时，( )
A. B. C. D.
8.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法已知正数数列是公比不等于的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲同学通过数列，，，，，的前项，得到该数列的一个通项公式为，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是( )
A. B. C. 该数列为递增数列 D.
10.已知数列，满足是的前项和，下列说法正确的
是( )
A. 若，则 B. 若，则为等差数列
C. 若，则为等差数列 D. 若，则
11.已知正项数列满足，则下列结论一定正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则的值有种情况
C. 若数列满足，则 D. 若为奇数，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是公比为的等比数列，若，则的值为______．
13.已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，则 ______．
14.已知数列的各项都是正数，，若数列为严格增数列，则首项的取值范围是______，当时，记，若，则整数______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是等差数列，是等比数列，且，，．
求数列与的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上．
求数列的通项公式；
设，，求数列的通项公式．
17.本小题分
已知等差数列的前项和为，且．
求；
求数列的前项和．
18.本小题分
已知数列满足，．
求证：数列是等比数列；
设求的前项和．
19.本小题分
如果数列满足：且，则称为阶“归化”数列．
若某阶“归化”数列是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；
若某阶“归化”数列是等差数列，求该数列的通项公式；
若为阶“归化”数列，求证．
参考答案
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15.解：设数列的公差为，数列的公比为，
由，，可得，
解得，所以；
由，，得，
解得，所以；
因为，
所以
．
16.解：因为点都在函数，
所以，
当时，，
当时，，时，也满足此式．
所以，；
由可得，
由，
所以，
当时，，满足此式，
所以．
17.解：已知等差数列的前项和为，且，
因为，
所以当时，，
得：，整理得：，
所以；
由知，
所以，
则数列的前项和为．
18.解：证明：因为，
所以，即，
又因为，
所以，，
所以，
故数列是以首项为，公比为的等比数列．
由可知，，即，
所以．
所以
，
由，得，
所以．
故的前项和为．
19.解：设，，成公差为的等差数列，显然，
则由得，
所以，
所以，
所以，，
由得，解得，
所以数列为所求阶“归化”数列．
设等差数列，，，，的公差为，
因为，所以，所以，即．
当时，此时，
与归化数列的条件相矛盾．
当时，由，
故，又，
联立解得，
所以．
当时，由，，同理解得，
所以．
综上，当时，；
当时，．
由已知可得：必有，也必有，，
设，，，为中所有大于的数，，，，为中所有小于的数，
由已知得，
所以．
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