四川省自贡一中2024-2025学年高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省自贡一中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的坐标为( )
A. B. C. D.
2.体育老师记录了班上名同学分钟内的跳绳次数，得到如下数据：，，，，，，，，，这组数据的分位数是( )
A. B. C. D.
3.若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则( )
A. B. C. D. 或
4.如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知两个平面，，两条直线，，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，，则
D. 若，是异面直线，，，，，则
6.在中，，，分别是内角，，所对的边，若，，，则边( )
A. B. 或 C. 或 D.
7.在空间直角坐标系中，点，，，则( )
A. B.
C. D.
8.已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面四个结论正确的是( )
A. 向量，若，则
B. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线
C. 已知向量，，若，则
D. 任意向量，满足
10.设，为两个随机事件，若，，则下列结论中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则，相互独立
C. 若与相互独立，则
D. 若与相互独立，则
11.如图，在正方体中，为线段上的一个动点，下列结论中正确的是( )
A.
B. 平面平面
C. 存在唯一的点，使得为
D. 当点为中点时，取得最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.为空间任意一点，若，若四点共面，则 ______．
13.在平面四边形中，，，，若，则的面积为 ．
14.如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则的重心到直线的距离为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间三点，，，设，．
若与互相垂直，求实数的值；
若，，求．
16.本小题分
某公司为了解员工对食堂的满意程度，对全体名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，分成段，并得到如图所示频率分布直方图．
估计这名员工打分的众数和中位数保留一位小数；
现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取个人，求这组抽取的人数．
17.本小题分
在中国共产主义青年团成立周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得分，答错得分．假设甲队中人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响．
分别求甲队总得分为分和分的概率；
求活动结束后，甲、乙两队共得分的概率．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的余弦值．
19.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，满足．
求；
若，，求的面积；
求的取值范围．
参考答案
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15.解：，，
，，
与互相垂直，
则，解得或；
，，
则可设，
，
则，解得，
故或．
16.解：由题意可得，众数为，
的频率为，
的频率为，
设中位数为，
，
分．
的人数，的人数，的人数，抽样比，
故从抽取的人数．
17.解：设甲队总得分为分为事件，甲队总得分为分为事件，
则．
．
所以甲队总得分为分的概率为，分的概率为．
依题意甲队总得分为分，即道题全部错误的概率为
．
得分的概率为，得分的概率为，得分的概率为；
乙队总得分为分的概率为，得分的概率为，
得分的概率为，得分的概率为．
则活动结束后，甲、乙两队共得分的概率
．
18.证明：建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
所以，
因为是直棱柱，
所以平面，
因此平面的一个法向量为，
计算，所以，
又平面，所以平面；
解：因为，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以．
19.解：因为，
由正弦定理可得：，
整理可得：，
由余弦定理可得，
而，
可得；
因为，，，
由余弦定理可得：，
即，
解得或舍，
可得；
由知，
所以
，
令，因为，所以，
所以，
所以当时，取得最小值，且最小值为，
又因为，
所以当时，取得最大值，且最大值为．
所以的取值范围是．
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