2024-2025学年 高中数学必修一第三、四章检测题（含答案）

高中数学必修一第三、四章
一、单选题
1．设 为偶函数；则实数m的值为（　　）
A．8 B．4 C．2 D．0
2．设函数的定义域为A，函数的定义域为B，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知 ，且 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．6
4．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域为（　　）
A． B．
C． D．
5．已知函数f（x）= 在R上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．0＜a≤3 B．a≥2
C．2≤a≤3 D．0＜a≤2或a≥3
6．如果奇函数 在区间 上是增函数且最大值为5，那么 在区间 上是（　　）
A．增函数且最小值是-5 B．增函数且最大值是-5
C．减函数且最大值是-5 D．减函数且最小值是-5
7．定义在R上的偶函数满足，当时，若在区间内，函数有个5零点，则实数m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．设定义域为R的函数 满足下列条件：①对任意 ；②对任意 ，当 时，有 ,下列不等式不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列函数中，值域为的是（　　）
A． B． C． D．
10．对于定义在R上的函数 ，下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则 在R上不是减函数
B．若 为奇函数，且满足对 ， ， ，则 在R上是增函数
C．若 ，则函数 是偶函数
D．若函数 是奇函数，则 一定成立
11．一元二次方程 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
12．已知a，b分别是函数与和的图象在第一象限的交点的横坐标，则(　　)
A． B． C． D．
三、解答题
13．计算
（1）
（2） .
14．已知函数f（x）= +a（a∈R）为奇函数
（1）求a的值；
（2）当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求实数t的取值范围．
15．已知函数 ．
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数 在区间 上的单调性，并加以证明．
16．已知定义在上的偶函数和奇函数满足．
（1）求函数和的解析式；
（2）设函数，当时，方程有解且所有解均在区间内，求实数，的取值范围．
17．对于函数.
（1）若，且为奇函数，求a的值；
（2）若方程恰有一个实根，求实数a的取值范围；
（3）设，若对任意，当时，满足，求实数a的取值范围．
18．已知函数且函数是偶函数
（1）求的解析式
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围
（3）若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点
答案解析部分
1．C
因为 为偶函数，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ．
2．D
由，得，由，，得，故.
3． B
因为 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 。
4．D
当时，，当且仅当时，等号成立；
当时，，当且仅当时，等号成立，
此时；
又因为，所以，函数的值域为，
当时，；当时，；
当时，，
综上所述，函数的值域为。
5．C
解：当x≤1时，f（x）=﹣x2+ax﹣2的对称轴为x= ，
由递增可得，1≤ ，解得a≥2；
当x＞1时，f（x）=logax递增，可得a＞1；
由x∈R，f（x）递增，即有﹣1+a﹣2≤loga1=0，
解得a≤3．
综上可得，a的范围是2≤a≤3．
6．A
由奇函数的性质可得函数在区间[3，7]上是增函数且最大值为5. 那么 在区间[－7，－3]上的图像关于原点对称，所以也是递增并且最小值为-5.
7．D
由题意知，函数为偶函数，且，
令，则，
所以函数是以4为周期的函数.当时，，
所以，即当时，
因为函数在上有5个零点，
所以方程在上有5个根，
即函数图象与在上有5个不同的交点，如图，
由图可知，且，即，
解得，
又当时，函数图象与在上有4个不同的交点，
不符合题意，故m的取值范围为.
8．C
因为对任意 ，所以 为奇函数，
对任意 ，当 时，有 ，所以 在 单调递增，
因为 ，所以 一定成立，
因为 所以 一定成立，
因为 ，
，
两边同时乘以-1可得：
，所以D一定成立；
，
但不能确定3和 是否在区间 上，
故 和 的大小关系不确定，故 与 的大小关系不确定，C不一定正确，
9．B,C
A. 函数的值域为，所以该选项不符合题意；
B.因为，所以函数的值域为，所以该选项符合题意；
C.因为，所以函数的值域为，所以该选项符合题意；
D. 函数的值域为，所以该选项不符合题意.
10．A,B
对A，根据函数单调性的定义可知，对任意的 ，若 ，有 ，则函数 在 上是增函数；若 ，有 ，则函数 在 上是减函数，因为 ，而 ，所以 在R上不是减函数，A符合题意；
对B，对任意的 ， ，所以 ，即 ，而 ，所以 ，即 ，由单调性的定义可知， 在R上是增函数，B符合题意；
对C，根据奇偶性的定义，对定义域中的任意实数 ，满足 ，则函数 是偶函数；满足 ，则函数 是奇函数，所以仅凭 ，不能判断函数 一定是偶函数，C 错误；
对D，若函数 是奇函数，则 ，所以当函数在 以及 处有定义且满足 时， 成立，D不符合题意．
11．C,D
∵一元二次方程 有一正根和一负根，∴∴ .本题要求的是充分不必要条件，由于 ， ，即CD符合题意.
12．A,C,D
解：A.设函数与和的图象在第一象限的交点分别为则，，
又函数的图象关于直线对称，函数和的图象关于直线对称，
，两点关于对称，
，故正确；
B. ，且，，取倒数有，即，故错误；
C.由得，当且仅当时取等号，
由图象可知，，
，正确；
D.
，
，
令，
在区间(0，1)上单调递减，
，正确.
13．（1）解：原式
=2
（2）解：原式 =-1
14．（1）解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），
∴若f（x）= +a（a∈R）为奇函数，
则f（0）=0，
即f（0）= +a=1+a=0，
解得a=﹣1
（2）解：∵a=﹣1，
∴f（x）= ﹣1，
若当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，
即 ﹣1+1= =t，
即t= ，
当0≤x≤1时，1≤3x≤3，
则2≤1+3x≤4，
≤ ≤ ，
即 ≤ ≤1
即实数t的取值范围是 ≤t≤1
15．（1）解：要函数有意义，则 ，
∴ ，即函数的定义域为 ，其定义域关于原点对称．
又 ，
∴ ，
∴函数 是奇函数．
（2）解：依题意得： ，设 ， ，则：
；
∵ ， ，∴ ，
∵ 且 ，∴ ，
∴ ，故 >1，∴ ，即 而 ，
∴ 在区间 上是减函数．
16．（1）由，可得，
又是偶函数和是奇函数，故，
由，解得，
（2）由（1）得，
由，得，
∴，
由，即，化简得，即，解得，
∴，．
17．（1）解：∵，
∴，又为奇函数，
∴，
∴，对定义域内任意恒成立，
∴，解得，
此时，定义域为符合奇函数的条件，
所以
（2）解：方程，
所以，
由①可得，，即，
当时，方程有唯一解，满足②，
所以符合条件；
当时，方程有两相等解，满足②，
所以符合条件；
当且时，方程有两不等解，
若满足②，则，
若满足②，则，
所以当时方程恰有一个实根；
综上，实数的取值范围为
（3）解：令，则在上为减函数，在上为增函数，
∴函数在上为减函数，
当时，满足，
则，
∴，即对任意的恒成立，
设，又，所以函数在单调递增，
所以，
∴.
18．（1）解：将向右平移2个单位得到函数，
因为函数是偶函数，所以函数关于对称，
所以，所以，所以，
所以，函数的解析式为.

（2）解：令，因为，所以，
不等式在上恒成立，
等价于在上恒成立，
所以，
令，，则，
从而，
所以，当时，取到最大值为，所以.
（3）解：令，则，
方程可化为，
即，也即，
因为函数恰好有三个零点，
所以方程有三个实数根，
因为函数为偶函数，
其图象关于y轴对称，
所以，函数必有零点0，此时，
即方程有一个根为2，所以，
所以，解得或，
由，得，
由，得，
所以该函数的零点为0，，2.
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