浙江省2024年秋季九年级上册第一次月考数学检测卷 含解析

中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2024年秋季九年级上册第一次月考数学检测卷
范围：第1-3章 满分：120分 时间：120分钟
题号 选择题 填空题 解答题
得分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．二次函数y＝x2+2x+1的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）
2．为了丰富校园生活，培养学生特长，学校开展了特色课程．小明从感兴趣的“花样跳绳”“天文地理”“艺术插花”“象棋博交”4门课程中随机选择一门学习．小明选中“天文地理”这一门课程的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB＝20°，则∠AOD的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
4．如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，∠ABD＝69°，则∠C等于（　　）
A．29° B．21° C．31° D．62°
5．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.36左右，则布袋中黄球估计有（　　）
A．18个 B．22个 C．28个 D．32个
6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣ax+b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是（　　）
A．50° B．80° C．90° D．100°
8．把一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x cm，它的面积为y cm2，则y与x之间的函数关系式为（　　）
A．y＝﹣x2+50x B．y＝x2﹣50x
C．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣2x2+25x
9．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a＜0）的图象上有三点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
10．如图，△BCD内接于⊙O，点B是的中点，CD是⊙O的直径．若∠ABC＝30°，AC＝4，则BC的长为（　　）
A．5 B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．写出一个开口向下，顶点为（1，2）的二次函数　 　．
12．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O上，则OP的长为 　 　．
13．某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分（含边界）时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为 　 　．
14．将抛物线y＝﹣2（x+2）2向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为 　 　．
15．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为4，H为边AF的中点，则图中阴影部分的面积是 　 　．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（1，0），（﹣2，t）两点，其中t＜0，对称轴为x＝﹣1．下列四个结论：①bc＜0；②c＝t；③点A（s，y1）、B（s+1，y2）在抛物线上，当s＜﹣1时，y1＞y2；④已知关于x的方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3，若关于x的方程ax2+bx+c﹣n＝0（0＜n＜m）有整数根，则其根为﹣4和2；其中正确的结论是 　 　（填写序号）．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（7分）如图，已知⊙O内接ABC，AD为⊙O直径，AE⊥BC于E点，连接BD．求证：∠BAD＝∠CAE．
18．（7分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕O顺时针旋转90°后的△A2B2C2并写出点C2的坐标．
19．（8分）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB的宽度为8m，拱高CD（的中点到水面的距离）为2m．
（1）求所在圆的半径；
（2）若水面下降1m，求此时水面的宽度（保留根号）．
20．（8分）从背面相同的同一副扑克牌中取出9张红桃，10张黑桃，11张方块．
（1）将取出的这些牌洗匀背面朝上放在桌面上，求从中随机抽出一张是红桃的概率；
（2）若先从取出的这些牌中抽掉9张红桃和m（m＞6）张黑桃后，将剩下的牌洗匀背面朝上放在桌面上，再从桌面上随机抽出一张牌．
①当m为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件？
②当m为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件？并求出这个事件的概率的最小值．
21．（8分）【探究】如图，已知抛物线y＝﹣x2+4．
（1）在坐标系中画出此抛物线y的大致图象（不要求列表）；
（2）该抛物线y＝﹣x2+4可由抛物线y＝﹣x2向 　 　平移 　 　个单位得到；
（3）当﹣1≤x≤3时，函数值y取值范围是 　 　．
【应用】已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h是常数），且自变量取值范围是2≤x≤5．
（1）当h＝3时，求函数的最大值；
（2）若函数的最大值为﹣1，求h的值．
22．（10分）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生在O处将球垫偏，之后又在A、B两处先后垫球，球沿抛物线C1→C2→C3运动（假设抛物线C1、C2、C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米．如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点，点B的横坐标为，抛物线C1表达式为y＝ax2﹣2ax和抛物线C3表达式为y＝2ax2+bx（a≠0）．
（1）求抛物线C1的函数表达式；
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处B离地面的高度至少为多少米？
23．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点M在圆O上，AC交圆O于点M，BC与圆O交于点D，DM＝DE，DE⊥AD交AB于点E，AE为⊙O的直径，DF⊥AB．
（1）求证：∠CAD＝∠DAB；
（2）若DM平分∠ADC，求∠CAD的度数；
（3）若AD＝BD＝6cm，求图中阴影部分的面积．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣2，0）和点B（4，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上一动点，连接PC，PB，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，若点N是直线BC上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以PB为边、以P、B、N、Q和顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】利用函数顶点式解答即可．
【解答】解：y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
二次函数顶点坐标为（﹣1，0），
故选：A．
2．【分析】直接根据概率公式解答即可．
【解答】解：∵小明从感兴趣的“花样跳绳”“天文地理”“艺术插花”“象棋博交”4门课程中随机选择一门学习，
∴小明选中“天文地理”这一门课程的概率为．
故选：B．
3．【分析】首先根据旋转变换的性质求出∠BOD＝50°，结合∠AOB＝20°，即可解决问题．
【解答】解：由题意及旋转变换的性质得：∠BOD＝50°，
∵∠AOB＝20°，
∴∠AOD＝50°﹣20°＝30°，
故选：B．
4．【分析】首先根据同弧所对的圆周角相等求得角A的度数，然后再求得∠ABD的度数即可．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝69°，
∴∠A＝21°，
∴∠C＝21°，
故选：B．
5．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
【解答】解：设袋中有黄球x个，由题意得＝0.36，
解得x＝18，
∴黄球可能有18个．
故选：A．
6．【分析】可先根据二次函数的图象判断a、b的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：由二次函数图象，得出a＜0，b＜0，
A、一次函数图象，得a＜0，b＞0，故A错误；
B、一次函数图象，得a＞0，b＞0，故B错误；
C、一次函数图象，得a＜0，b＜0，故C正确；
D、一次函数图象，得a＞0，b＜0，故D错误；
故选：C．
7．【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝100°，
∴∠A＝80°，
故选：B．
8．【分析】要求长方形的面积，需求出长方形相邻两边的长度，根据长方形的周长公式可计算出长方形另一边的长为（25﹣x）cm；接下来，根据长方形的面积公式即可得到y与x的函数关系式．
【解答】解：设这个长方形的一边长为x cm，周长是50cm，
∴另一边长是（25﹣x）cm，
∴y与x的函数关系式为：y＝x（25﹣x）＝﹣x2+25x．
选项A、B、D都不正确，选项C正确．
故选：C．
9．【分析】先确定对称轴，根据把点A的对称点确定，转化为对称轴同侧的点，根据抛物线开口向下，对称轴的右侧y随x的增大而减小即可得到解答．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a＜0）的图象上有三点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3），
∴对称轴．
设点A的对称点为（x0，y1），
所以．
解得x0＝4，
∴点A的对称点为（4，y1）．
∵a＜0，
∴抛物线开口向下．
∴对称轴的右侧y随x的增大而增减小．
∵4＞3＞1，
所以y1＜y3＜y2．
故选：B．
10．【分析】连接OA，先根据圆周角定理可得∠AOC＝2∠ABC＝60°，从而可得△AOC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AC＝OC＝4，从而可得DC＝2OC＝8，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠CBD＝90°，再根据已知可得＝，从而可得CB＝BD，最后根据等腰直角三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：连接OA，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝OC＝4，
∴DC＝2OC＝8，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵点B是的中点，
∴＝，
∴CB＝BD，
∴BC＝＝4，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【分析】因为顶点为（1，2），所以设y＝a（x﹣1）2+2，因为开口向下，所以a＜0，据此即可作答．
【解答】解：∵顶点为（1，2），
∴设二次函数的解析式y＝a（x﹣1）2+2，
∵开口向下，
∴a＝﹣1＜0，
∴y＝﹣（x﹣1）2+2，
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一）．
12．【分析】根据d＝r时点在圆上解决问题即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O上，
∴OP＝r＝5．
故答案为：5．
13．【分析】先求出45°在整个转盘中所占面积的比值，根据此比值即可解答．
【解答】解：阴影部分占45°，
则其占整个圆面积的＝，
即该顾客获奖的概率为．
故答案为：．
14．【分析】由平移的规律即可求得答案．
【解答】解：将抛物线y＝﹣2（x+2）2向右平移3个单位，则函数解析式变为y＝﹣2（x+2﹣3）2＝﹣2（x﹣1）2，向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣4．
故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2﹣4．
15．【分析】根据题意先计算出S△CDH的面积，再计算扇形COD面积及S△COD面积，即可得到本题答案．
【解答】解：过点H作HE⊥CD交CD于点Q，连接OC，OD，
∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为4，H为边AF的中点，
∴∠COD＝60°，∠QCO＝60°，CO＝OD＝4，Q为边CD的中点，
∴CQ＝DQ＝2，
∴OQ＝2，
∴QH＝4，
∴，
∴扇形COD面积：，
∵，
∴阴影部分的面积：，
故答案为：．
16．【分析】利用二次函数的图象及性质，系数间的关系和一元二次方程的关系即可求解．
【解答】解：∵抛物线过（1，0），对称轴为x＝﹣1，
∴图象必过（﹣3，0），
又∵过点（﹣2，t）（t＜0），
∴开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，故①对；
∵（0，c）与（﹣2，t）到对称轴等距，
∴c＝t，故②对；
∵s＜﹣1，无法判断点A（s，y1）、B（s+1，y2）与对称轴是同侧还是异侧，
也就无法判断点A、B与对称轴x＝﹣1的距离的大小，故无法比较y1与y2的大小，故③错；
∵方程ax2+bx+c＝0的两根分别为1和﹣3，
又x的方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3，而抛物线的对称轴为x＝﹣1，由对称性得另一个根为﹣5，
观察图象，得关于x的方程ax2+bx+c﹣n＝0（0＜n＜m）整数根为﹣4和2，故④对，
故答案为：①②④．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．【分析】由圆周角定理，推出∠ABD＝90°，∠D＝∠C，由垂直的定义得到∠AEC＝90°，由三角形内角和定理推出∠BAD＝∠CAE．
【解答】证明：∵AD是圆的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ABD＝∠AEC，
∵∠D＝∠C，
∴∠BAD＝∠CAE．
18．【分析】（1）分别确定A，B，C关于原点的对称点A1，B1，C1，再顺次连接A1，B1，C1，可得答案；
（2）分别确定A，B，C绕原点O顺时针旋转90°后的对应点A2，B2，C2，再顺次连接A2，B2，C2，再根据C2的位置可得答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；C2（4，﹣3）．
19．【分析】（1）根据垂径定理得到OC⊥AB，AC＝BC，结合勾股定理求解即可得到答案；
（2）根据（1）即可得到OG＝5﹣1﹣2＝2m，OF＝5m，结合勾股定理求解即可得到答案；
【解答】（1）解：如图，设所在圆的圆心为O，连接OA，OC，
∵D是的中点，CD⊥AB，即OD为圆的半径，
∴，
设OA＝OD＝rm，则OC＝OD﹣CD＝（r﹣2）m，
在Rt△AOC中，OA2＝OC2+AC2，
即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，故所在圆的半径为5m；
（2）解：如图，连接OF，设OD与EF交于点G，则∠OGF＝90°，
在Rt△OGF中，OG＝5﹣1﹣2＝2（m），OF＝5m，
∴，
∴，
故此时水面的宽度为．
20．【分析】（1）由概率公式计算即可；
（2）①事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件，则剩下的牌只有方块，即可得出答案；
②事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件，则剩下的牌有黑桃和方块，再由m＞6和概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）从中随机抽出一张是红桃的概率是＝；
（2）①∵事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件，则剩下的牌只有方块，
∴当m为10时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件，
②∵事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件，
∴剩下的牌有黑桃和方块，
∵m＞6，
∴当m为9、8、7时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件事件，
这个事件的概率的最小值为：＝．
21．【分析】探究（1）依据题意，函数为y＝﹣x2+4，则抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点为（0，4），进而可以作图；
（2）依据题意，根据平移规律“上加下减，左加右减”，进而可以判断得解；
（3）依据题意，由抛物线为y＝﹣x2+4，故当x＝0时，y取最大值为4，结合当x＝﹣1时，y＝3；当x＝3时，y＝﹣5，进而可以判断得解；
应用（1）依据题意，由h＝3，可得二次函数为：y＝﹣（x﹣3）2，故当x＝3时，函数有最大值为0，结合2≤x≤5，从而可以判断得解；
（2）依据题意，二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x满足2≤x≤5时，其对应函数y的最大值为﹣1，进而分5＜h、h＜2和2＜h＜5分别进行计算分析可以得解．
【解答】解：探究（1）由题意，函数为y＝﹣x2+4，
∴抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点为（0，4）．
作图如下．
（2）由题意，∵抛物线为y＝﹣x2+4，
又根据平移规律“上加下减，左加右减”，
∴抛物线为y＝﹣x2+4可由y＝﹣x2向上平移4个单位得到．
故答案为：4．
（3）由题意，∵抛物线为y＝﹣x2+4，
∴当x＝0时，y取最大值为4，
又当x＝﹣1时，y＝3；当x＝3时，y＝﹣5，
∴当﹣1≤x≤3时，﹣5≤y≤4．
故答案为：﹣5≤y≤4．
应用（1）由题意，∵h＝3，
∴二次函数为：y＝﹣（x﹣3）2．
∴当x＝3时，函数有最大值为0．
∵2≤x≤5，
∴当x＝3时，函数有最大值为0，符合题意．
（2）∵二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x满足2≤x≤5时，其对应函数y的最大值为﹣1，
∴若5＜h，则当x＝5时，y最大，即﹣（5﹣h）2＝﹣1，得h1＝4（舍去），h2＝6；
若h＜2，则当x＝2时，y最大，即﹣（2﹣h）2＝﹣1，得h3＝1，h4＝3（舍去）；
若2＜h＜5，则最大值为0，与题意不符；
由上可得，h的值是6或1．
22．【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出抛物线C1的函数表达式；
（2）将抛物线C1表达式化为顶点式，得到顶点坐标，求出实际最大高度，即可得到答案；
（3）由（1）可知，，得到抛物线C3表达式为y＝﹣x2+bx，进而得到对称轴为直线，顶点坐标为，根据最大高度的要求和对称轴，求出b≤﹣2，再根据点B的横坐标为，得到，求出yB的最小值即可得到答案．
【解答】解：（1）∵抛物线C1表达式为y＝ax2﹣2ax，且经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线C1的函数表达式为：；
（2）最大高度未达到要求，理由如下：
由（1）得，抛物线C1的函数表达式为，
∵，
∴抛物线C1的顶点坐标为，
∵O处离地面的距离为1米，
∴球在运动中离地面的最大高度为，
∴最大高度未达到要求；
（3）解：由（1）可知，，
∵抛物线C3表达式为y＝﹣x2+bx，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
∵球在运动中离地面的最大高度达到要求，
∴，
∴b≥2或b≤﹣2，
∵对称轴在x轴负半轴，
∴b＜0，
∴b≤﹣2，
∵点B的横坐标为，
∴，
∴当b＝﹣2时，yB有最小值，最小值为，
∴点B离地面的高度至少为（米）．
23．【分析】（1）根据圆周角定理即可得出答案；
（2）由角平分线定义得到∠CDM＝∠ADM，由等腰三角形的性质，余角的性质推出∠CDM＝∠CAD，由直角三角形的性质即可求出∠CAD的度数；
（3）由等腰三角形的性质，直角三角形的性质求出∠B的度数，得到∠DOE＝60°，由直角三角形的性质求出DF，OF，OD的长，求出扇形ODE的面积，△ODF的面积，即可求出阴影的面积．
【解答】（1）证明：∵DM＝DE，
∴＝，
∴∠CAD＝∠DAB；
（2）解：连接OM，OD，作OH⊥MD于H，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠CAD＝∠DAB，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90，
∴AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
∴∠MDC+∠MDO＝90°，
∵OM＝OD，OH⊥MD，
∴∠DOH＝∠MOD，
∵∠CAD＝∠MOD，
∴∠CAD＝∠DOH，
∵∠DOH+∠MDO＝90°，
∴∠DOH＝∠CDM，
∴∠CAD＝∠CDM，
∵DM平分∠ADC，
∴∠CDM＝∠ADM，
∵∠CAD+∠ADM+∠CDM＝90°，
∴∠CAD＝30°；
（3）解：∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
∵OD＝OA，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠DOB＝∠DAB+∠ADO＝2∠B，
∵∠DOB+∠B＝90°，
∴∠B＝∠DAB＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵AD＝6cm，
∴DF＝AD＝3cm，
∴OF＝FD＝cm，
∴OD＝2OF＝2cm，
∴扇形ODE的面积＝＝2π（cm2），△ODF的面积＝OF DF＝×3×＝（cm2），
∴阴影的面积＝扇形ODE的面积﹣△ODF的面积＝（2π﹣）（cm2）．
24．【分析】（1）将点A和点B代入解析式，求出a和b即可得到抛物线表达式；
（2）过点P作PD∥y轴交BC于点D，设点P（x，）（0＜x＜4），D（x，x﹣4），＝＝﹣x2+4x＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）＝﹣（x﹣2）2+4，得出当x＝2，即点P（2，﹣4）时，△PBC的面积取得最大值，最大值为4；
（3）B（4，0），P（2，﹣4），N（x，x﹣4），Q（m，n），分①以BN、PQ为对角线，BP＝PN，②以BQ、NP为对角线，BP＝BN，两种情况进行讨论．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣2，0）和点B（4，0），
∴，
∴，
∴；
（2）当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
过点P作PD∥y轴交BC于点D，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴BC：y＝x﹣4，
设点P（x，）（0＜x＜4），
∴D（x，x﹣4），
∴PD＝（x﹣4）﹣（）＝，
∵
＝
＝﹣x2+4x
＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）
＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2，即点P（2，﹣4）时，△PBC的面积取得最大值，最大值为4；
（3）B（4，0），P（2，﹣4），N（x，x﹣4），Q（m，n），
①以BN、PQ为对角线，BP＝PN，
∴，
∴或（舍），
∴Q（0，﹣2）；
②以BQ、NP为对角线，BP＝BN，
∴，
∴或，
∴Q（，）或Q（，）；
综上所述：Q（0，﹣2）或Q（，）或Q（，）．