第二章一元二次方程 小结与复习课件(共26张PPT) 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

(共26张PPT)
小结与复习
第二章 一元二次方程
九年级上册数学（北师版）
知识回顾
一元二次方程
1.定义：
只含有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，并且都可化成ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，a ≠ 0）的形式
2.解法：
（1）直接开平方法
（2）配方法
（3）公式法 ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的解为：
（4）因式分解法
3.应用：
其关键是能根据题意找出等量关系.
一、一元二次方程的基本概念
1.定义：
只含有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
2.一般形式：
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0)
要点梳理
3.项数和系数：
ax2 ＋ bx ＋ c ＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 中，
一次项：ax2 一次项系数：a
二次项：bx 二次项系数：b
常数项：c
4.注意事项：
(1) 含有一个未知数； (2) 未知数的最高次数为 2；
(3) 二次项系数不为 0； (4) 整式方程．
二、解一元二次方程的方法
一元二次方程的各种解法及适用类型
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
(ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0)
ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0)
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)
三、一元二次方程的实际应用
列方程解应用题的一般步骤：
审
设
列
解
检
答
（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系；
（2）设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法；
（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系，列方程这一环节至关重要，决定着能否顺利解决实际问题；
（4）解方程：用适当的方法求出方程的根；
（5）检验：一验所得根是否为方程的根，二验是否符合题意和实际；
（6）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
例1 若关于 x 的方程 (m - 1)x2 + mx - 1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ）
A. m ≠ 1 B. m = 1 C. m≥1 D. m ≠ 0
解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须有二次项 (二次项系数不为 0)，因此它的系数 m - 1 ≠ 0.
A
1. 方程 5x2 - x - 3 = x2 - 3 + x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
4
-2
0
考点讲练
考点一 一元二次方程的定义
针对训练
解析 根据一元二次方程根的定义，将 x = 0 代入原方程，左右两边相等，则有 m2 - 1 = 0，解得 m = ±1.舍去 1，应填 -1. 这种解题方法我们称之为“有根必代”.
例2 若关于 x 的一元二次方程 (m - 1)x2 + x + m2 - 1 = 0 有一个根为 0，则 m = .
【易错提示】由于原方程是一元二次方程，所以 m 的值为 1 不符合其定义，应舍去，要引起注意.
-1
考点二 一元二次方程的根的定义的应用
2. 一元二次方程 x2 + px - 2 = 0 的一个根为 2，则 p 的值为 .
-1
针对训练
【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是 1；(a - b)2 与 (a + b)2 要准确区分；（2）求三角形的周长，不能盲目地将所得边长相加，而应养成检验三边长能否构成三角形的好习惯.
解析 (1) 配方法的关键是配上一次项系数一半的平方；
(2) 先求出方程 x2﹣13x + 36 = 0 的两根，再根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长．
例3 (1) 用配方法解方程 x2 - 2x - 5 = 0 时，原方程应变为（ ）
A.(x - 1)2 = 6 B.(x + 2)2 = 9 C.(x + 1)2 = 6 D.(x - 2)2 = 9
(2) (易错题) 三角形两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2﹣13x + 36 = 0 的根，则该三角形的周长为（　 ）
A．13 B． 15 C．18 D．13 或 18
A
A
考点三 一元二次方程的解法
3. 菱形 ABCD 的一条对角线长为 6，边 AB 的长是方程 x2 - 7x + 12 = 0 的一个根，则菱形 ABCD 的周长为（ ）
A. 16 B. 12 C. 16 或 12 D. 24
A
针对训练
4. 用公式法和配方法分别解方程：x2 - 4x - 1 = 0（要求写出必要解题步骤）.
解：
4. 用公式法和配方法分别解方程：x2 - 4x - 1 = 0（要求写出必要解题步骤）.
解：
例4 已知关于 x 的一元二次方程 x2 - 3m = 4x 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ）
A. B. m ＜ 2 C. m≥0 D. m ＜ 0
A
【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定 a，b，c 的值.
解析 根据方程根的情况可知，判别式 Δ ＞ 0，即 42 - 4×1×(-3m) = 16 + 12m ＞ 0，解得 .
考点四 一元二次方程的根的判别式的应用
5. 下列所给方程中，没有实数根的是（ ）
A. x2 + x = 0 B. 5x2 - 4x - 1 = 0
C. 3x2 - 4x + 1 = 0 D. 4x2 - 5x + 2 = 0
6.（开放题）若关于 x 的一元二次方程 x2 - x + m = 0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可能是　　（写出一个即可）．
D
0
针对训练
1-4m＞0 m＜
例5 已知一元二次方程 x2 - 4x - 3 = 0 的两根为 m，n，则 m2 - mn + n2 = ．
25
解析 由根与系数的关系可知 m + n = 4，mn = -3，故 m2 - mn + n2 = (m + n)2 - 3mn = 16 + 9 = 25.
【重要变形式】
考点五 一元二次方程的根与系数的关系
7. 已知方程 2x2 + 4x - 3 = 0 的两根分别为 x1 和 x2，则 x12 + x22 的值等于（ ）
A. 7 B. -2 C. D.
A
针对训练
例6 （荆州·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 6， 乙的速度为 4，乙一直向东走，甲先向南走 10 步，做斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是 ( )
A.36 B.26 C.24 D.10
行程问题
考点六 一元二次方程的实际应用
4x
10
6x - 10
C
例 7 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件 20 元，调查发现当销售价为 24 元时，平均每天能售出 32 件；而当销售价每上涨 2 元时，平均每天就少售出 4 件.
(1) 若公司每天的销售价为 x 元，求每天的销售量；
(2) 如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件 28 元，该公司想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应当为多少元？
销售问题
解析 本题为销售中的利润问题，设公司每天的销售价为 x 元. 则其基本数量关系列表分析如下：
单件利润(元) 销售量(件) 每天利润(元)
正常销售
涨价销售
4
32
x - 20
32 - 2(x - 24)
150
其等量关系是：总利润 = 单件利润×销售量.
解：(1) 32 - (x - 24) ÷2×4 = (80 - 2x) 件.
(2) 由题意可得 (x - 20)(80 - 2x) = 150.
解得 x1 = 25，x2 = 35.
∵ x≤28，∴ x = 25，即销售价应当为 25 元.
【易错提示】销售量是在正常销售的基础上减少.要注意验根.
128
例8 菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售. 由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销. 小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售. 求平均每次下调的百分率是多少.
解：设平均每次下调的百分率是 x，根据题意得
5(1 - x)2 = 3.2.
解得 x1 = 1.8 (舍去)，x2 = 0.2 = 20％.
答：平均每次下调的百分率是 20％.
平均变化率问题
例9 如图 1，在长为 32 米，宽为 20 米的长方形地面上修筑同样宽的道路 (图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为 540 平方米，求道路的宽.
图 1
解析 本题可利用图形变换 ——平移，使零散的图形集中，再建立方程求解.
几何问题
解：设道路宽为 x 米，由平移得到图 2，则长为 (32 - x) 米，宽为 (20 - x) 米，列方程得
(32 - x)(20 - x) = 540，
整理得 x2 - 52x + 100 = 0.
解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2.
答：道路宽为 2 米.
图 2
图 1
解决有关图形面积问题时，除了掌握所学面积公式外，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解.
（注：这里的横坚斜小路的水平宽度都相等）
平移转化
归纳总结
一元二次方程
一元二次方
程的定义
概念：①整式方程；②一元；③二次
一般形式：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
一元二次方程的解法
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
当堂小结
根的判别式及
根与系数的关系
根的判别式：Δ = b2 - 4ac
根与系数的关系
一元二次方程的应用
营销问题、平均变化率问题
几何问题、行程问题
一元二次方程
一元二次方程的定义
一元二次方程的解法