(共25张PPT)
数学 八年级上册 人教版
12．3 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质
C
2．用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
A
知识点二 角平分线的性质
3．如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线性质填空：
(1)若∠1＝∠2，则______＝______；
(2)若∠3＝∠4，则______＝______．
BC
DC
AB
AD
4．(河南中考)如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为____．
4
6．(北京中考)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝____．
1
7．如图，已知AB∥CD，O是∠BAC与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，OE＝2，则AB与CD之间的距离为____．
4
8．如图，OD平分∠AOB，OA＝OB，P为OD上一点，PM⊥BD于点M，PN⊥AD于点N.求证：PM＝PN.
9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，∠BCA＝∠CAB，AE⊥BC于点E.求证：AD＝AE.
证明：∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB.∵∠BCA＝∠CAB，∴∠DCA＝∠BCA，即CA是∠DCE的平分线．∵∠D＝90°，AE⊥BC，∴AD＝AE
10．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则下列结论：①DE＝DF；②BD＝CD；③AE＝AF；④∠ADE＝∠ADF.其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
11．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB＝9，AC＝6，BC＝10，则CD的长为( )
A．3 B．4 C．4.5 D．6
B
12．(赤峰中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB上一点，且AC＝AD.
(1)作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，连接DE，求证：DE⊥AB.
13．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，连接AO，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.
证明：先用角平分线性质，得OD＝OE，再用ASA证△OBD≌△OCE，得OB＝OC
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E.已知AB＝10 cm，求△DEB的周长．
解：易知 AC＝AE，CD＝DE，则△DEB的周长为：DE＋EB＋DB＝DC＋DB＋EB＝BC＋EB＝AC＋EB＝AE＋EB＝AB＝10 cm
15．感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC；(不需证明)
探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°.求证：DB＝DC；
应用：如图③，在四边形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC，DE⊥AB，且BE＝a，则AB－AC＝______(用含a的式子表示).
2a
证明：探究：过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.∵DA平分∠BAC，DE＝DF.∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD.易证△DFC≌△DEB(AAS)，DC＝DB(共22张PPT)
12．2 三角形全等的判定
第1课时 三角形全等的判定(一)SSS
知识点一 三角形全等的判定——SSS
1．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是( )
A．① B．② C．③ D．④
C
2．如图，AB＝AD，BE＝DE，BC＝DC，则图中的全等三角形有( )
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
D
3．如图，点D，E分别在AB，AC上，AB＝AC，BE＝CD，要使△ABE≌△ACD，依据“SSS”，则还需补充条件：__________________________．(填一个即可)
AE＝AD(答案不唯一)
4．如图，△AFC和△BED中，AF＝BE，CF＝DE，要利用“SSS”来证明△ACF≌△BDE时，可添加的条件是________＝________或________＝________．
AC
BD
AB
CD
5．(2023·云南)如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC.求证：△ABC≌△EDC.
知识点二 SSS与全等三角形性质的应用
6．如图，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，下列结论错误的是( )
A.△ABE≌△ACD
B．△ABD≌△ACE
C．∠C＝30°
D．∠1＝70°
C
7．(2023·西藏)如图，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB.求证：∠1＝∠2.
知识点三 尺规作一个角等于已知角
8．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，根据__________可知△C′O′D′≌△COD，则说明∠A′O′B′＝∠AOB.
SSS
9．如图，已知∠AOB，点C是OB边上的一点．
用尺规作图画出经过点C且与OA平行的直线．
解：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点E，交OB于点D；
②以点C为圆心，OD的长为半径画弧，交OB于点G；
③以点G为圆心，DE的长为半径画弧，交前弧于点H，作直线CH，则CH∥OA
10．如图所示，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可作( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
C
11．如图，已知AB＝AC，D为BC的中点，下列结论：①△ABD≌△ACD；②∠B＝∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC，其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
12．如图，以△ABC的顶点A为圆心，BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD.若∠B＝65°，则∠ADC的大小为______．
65°
14．如图，AB＝CD，AD＝BC，求证：∠A＝∠C.
15．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，B，D，E三点在同一直线上．求证：∠3＝∠1＋∠2.
证明：易证△ABD≌△ACE(SSS).∴∠BAD＝∠1，∠ABD＝∠2.∵∠3＝∠BAD＋∠ABD，∴∠3＝∠1＋∠2
16．如图，AB＝CD，AD与BC相交于点O，点O为BC的中点，点E在OB上，点F在OC上，且OE＝OF，AE＝DF.求证：AE∥DF.
证明：易证△ABE≌△DCF(SSS)，∴∠AEB＝∠CFD，∵∠AEO＋∠AEB＝180°，∠DFO＋∠CFD＝180°，∴∠AEO＝∠DFO，∴AE∥DF
17．如图，AB＝AC，DB＝DC，EB＝EC.
(1)图中有几对全等三角形？请写出来；
(2)过点D作DH⊥BE，DG⊥CE，垂足分别为H，G，求证：DG＝DH.(共21张PPT)
12．2 三角形全等的判定
第2课时 三角形全等的判定(二)SAS
知识点一 三角形全等的判定——SAS
1．下列图形中，是全等的三角形的是( )
A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和③
D
2．如图，AB平分∠DAC，要用“SAS”判定△ABC≌△ABD，还需添加条件( )
A．CB＝DB B．AB＝AB
C．AC＝AD D．∠C＝∠D
C
3．如图，如果AD＝BC，∠1＝∠2，那么△ABC≌△CDA，根据是_______．
SAS
4．如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心将它打破成①，②两块，现需配成同样大小的一面镜子，为了方便起见，需带上第________块，其理由是____________________________________________．
①
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
5．(2023·广州)如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE.求证：∠C＝∠E.
知识点二 利用三角形全等证边角关系
6．(江西中考)如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为__________．
82°
7．(2023·福建)如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB.求证：AB＝CD.
9．如图，已知∠AOB，点C是OB边上的一点．
用尺规作图画出经过点8．(2023·陕西)如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°.过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D.使AD＝AC.在边AC上截取AF＝AB，连接DF.求证：DF＝CB.C且与OA平行的直线．
9．如图，射线AB交CD于点O.AC＝AD，BC＝BD，则图中全等三角形的对数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C
10．如图，在△PAB中，∠A＝∠B，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( )
A．44° B．66° C．88° D．92°
D
11．如图，△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，若∠D＝20°，则∠ABC的度数为________．
40°
12．(教材P43习题T2变式)如图，已知D，E分别为AB，AC上两点，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠B＝∠C.
13．如图，在△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，AE与BD交于点F.
求证：(1)△ACE≌△BCD；
(2)AE⊥BD.
14．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC，BD相交于点M.
(1)如图①，当α＝90°时，∠AMD的度数为________；
(2)如图②，当α＝60°时，∠AMD的度数为________；
90°
120°
(3)如图③，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着某种确定的数量关系？若存在，请你用含α的式子表示∠AMD，并用图③进行证明；若不存在，请说明理由．
解：(3)存在，∠AMD＝180°－α.理由：∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，∴∠BOD＝∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，∵∠AKO＝∠BKM，∴∠AOK＝∠BMK＝α.∴∠AMD＝180°－α(共26张PPT)
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12．3 角平分线的性质
第2课时 角平分线的判定与应用
知识点一 角平分线的判定
1．如图，PM⊥AC于点M，PN⊥AB于点N，PM＝2，当PN＝____时，点P在∠BAC的平分线上.
2
2．如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC＝QD，则∠AOQ＝________．
35°
3．如图，AB∥CD，点P到AB，AC，CD的距离都相等，则∠P＝______．
90°
4．如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF.求证：点D在∠BAC的平分线上．
证明：易证Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上
知识点二 角平分线的性质与判定的综合应用
5．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( )
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点
D．以上均不对
B
6．(教材P50习题T2变式)如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.
(1)若∠ABC＝50°，则∠ADC＝_______°；
(2)求证：AD是∠BAC的外角平分线．
65
解：(2)过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F.又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴DE＝DF，DG＝DF.∴DE＝DG.∴AD平分∠EAC，即AD是∠BAC的外角平分线
7．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．
8．如图，要在河流的右侧，公路的左侧M区建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点A处的距离为1 cm(指图上距离)的地方，则图中工厂的位置应选在哪里？画图并说明理由．
解：工厂的位置应选在∠A的平分线上，且距点A 1 cm处(图略).理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
9．如图，l1，l2，l3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有( )
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
D
10．如图，△ABC的三边AB，AC，BC的长分别为4，6，8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB∶S△OAC∶S△OBC＝__________．
2∶3∶4
11．如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A＝40°，则∠BOC＝_________．
110°
12．如图，D，E是AC上两点，F，G是AB上两点，且DE＝FG，S△ODE＝S△OFG，求证：点O在∠BAC的平分线上．
证明：作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，易证OM＝ON，∴点O在∠BAC的平分线上
13．(教材P52习题T7变式)如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB的中点，ED平分∠ADC.
求证：(1)CE平分∠BCD；
(2)AD＋BC＝CD；
(3)若AB＝12，CD＝13，求S△CDE.
14．如图，在△DBC中，DB＝DC，A为△DBC外一点，且∠BAC＝∠BDC，DM⊥AC于点M.求证：
(1)AD平分△ABC的外角；
(2)AC－AB＝2AM.
证明：(1)作DN⊥AB于点N，证△DMC≌△DNB，∴DM＝DN，∴DA平分∠CAN
(2)方法一：(截长法)在AC上截取CF＝AB，证△DCF≌△DBA，DF＝DA，由HL可知Rt△DAM≌Rt△DFM，∴AM＝MF，AC－AB＝2AM
方法二：(间接补短法)作DN⊥AB于点N，证△DCM≌△DBN，∴DM＝DN，CM＝BN，再证Rt△DMA≌Rt△DNA，∴AM＝AN，∵AC＝AM＋CM，AB＝BN－AN，∴AC－AB＝2AM
方法三：(补短法)延长BA至点E，使BE＝AC，证△DCA≌△DBE(SAS)，∴DE＝DA.∠DAC＝∠E.作DN⊥AE于点N，易证Rt△DEN≌Rt△DAN，∴∠DEN＝∠DAN，EN＝AN，∴∠DAN＝∠DAM，∴△DAN≌△DAM，∴EN＝AN＝AM，∴AC－AB＝2AM(共21张PPT)
12．1 全等三角形
知识点一 全等形的概念
1．下列图形是全等形的是( )
B
2．关于全等图形的描述，下列说法正确的是( )
A．形状相同的图形
B．面积相等的图形
C．能够完全重合的图形
D．周长相等的图形
C
知识点二 全等三角形的对应边，角
3．已知△ABC与△EDF全等，其中点A与点E，点B与点D，点C与点F是对应顶点，则对应边为____________________________________，对应角为
__________________________________．
AB与ED，AC与EF，BC与DF
∠A与∠E，∠B与∠D，∠C与∠F
4．如图，若把△ABC绕点A旋转一定的角度得到△ADE，则图中全等的三角形记为___________________，∠BAC的对应角为__________，DE的对应边为________．
△ABC≌△ADE
∠DAE
BC
知识点三 全等三角形的性质
5．(2023·郾城区期末)如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝56°，则∠BAE的度数为( )
A．34° B．56°
C．62° D．68°
B
6．(2023·潢川县期末)如图，已知△ABC≌△DEF，且∠A＝60°，∠B＝40°，则∠F的度数是( )
A．80° B．70° C．60° D．50°
A
7．如图，已知△ABC≌△ADC，∠B＝30°，∠BAC＝23°，则∠ACD的度数为( )
A．120° B．125° C．127° D．104°
C
8．如图，△ACE≌△DBF，AC＝6，BC＝4.
(1)求证：AE∥DF；
(2)求AD的长度．
解：(1)∵△ACE≌△DBF，∴∠A＝∠D.∴AE∥DF
(2)∵△ACE≌△DBF，∴AC＝DB.∴AC－BC＝DB－BC＝6－4＝2，即AB＝CD＝2.∴AD＝AC＋CD＝6＋2＝8
9．如图，△ABC≌△DEF，FH⊥BC，垂足为E.若∠A＝α，∠CHE＝β，则∠BED的大小为( )
A．α－β B．90°＋α－β
C．β－α D．90°－α＋β
A
10．如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，点B，E，C在同一直线上，则结论：①AE＝ED；②AE⊥DE；③BC＝AB＋CD；④AB∥DC.其中成立的是( )
A．仅① B．①③
C．①③④ D．①②③④
D
11．如图，D为AC上一点，△ACE≌△CBD，BD与CE相交于点F.若AD＝4，AE＝3，则BC＝______．
7
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将Rt△ABC折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为________．
10°
13．如图，已知△OAD≌△OBC，点A，B分别在OC，OD上，且∠O＝70°，∠C＝25°，求∠AEB的度数．
解：∵△OAD≌△OBC，∴∠D＝∠C＝25°，∴∠CAE＝∠O＋∠D＝95°，∴∠AEB＝∠C＋∠CAE＝25°＋95°＝120°
14．如图，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
解：AD∥BC.理由：∵△ADF≌△CBE，∴∠ADF＝∠CBE，又∵∠ADB＋∠ADF＝180°，∠CBD＋∠CBE＝180°，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC
15．如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC.判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由．
解：CE⊥AD.理由：延长CE交AD于点F，∵△ABD≌△EBC，∴∠D＝∠C，∠ABD＝∠EBC，又∵∠ABD＋∠EBC＝180°，∴∠ABD＝∠EBC＝90°，∴∠CFD＝∠A＋∠C＝∠A＋∠D＝90°，∴CE⊥AD
16．如图，△AOD≌△BOC，∠COD＝40°，AD与BC相交于点E，OD与BC相交于点F，则∠DEC度数为________．
40°
17．如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.
(1)你能说明BD，DE，CE之间的数量关系吗？
(2)当△ABD满足什么条件时，BD∥CE
解：(1)BD＝DE＋CE.理由：∵△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，AD＝CE，∴BD＝AE＝DE＋AD＝DE＋CE
(2)当∠ADB＝90°时，BD∥CE(共22张PPT)
12．2 三角形全等的判定
第3课时 三角形全等的判定(三)ASA和AAS
知识点一 三角形全等的判定——ASA，AAS
1．(2023·牡丹江)如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，请添加一个条件______________________，使△AOB≌△DOC.(只填一种情况即可)
AB＝DC(答案不唯一)
2．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是__________，理由是__________．
带③去
ASA
3．(2023·吉林)如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E.求证：AC＝DC.
4．(2023·淮安)已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC，求证：DE＝BC.
知识点二 三角形全等判定方法的选用
5．如图，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要使△ABC≌△DEF，还需添加条件．
(1)若以“ASA”为依据，还需添加的条件为________________；
(2)若以“AAS”为依据，还需添加的条件为__________________；
(3)若以“SAS”为依据，还需添加的条件为______________________.
∠A＝∠D
∠ACB＝∠DFE
BC＝EF或BE＝CF
6．如图，点A，F，E，C在同一条直线上，AB∥DC，BE＝DF，∠B＝∠D.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接EG，若CD＝2EG，且EG＝5，求AB的长．
7．(成都中考)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是( )
A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC
C．AC＝DB D．AB＝DC
C
8．如图，BE，CD相交于点O，AO平分∠BAC，AB＝AC，则图中全等的三角形共有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
C
9．(2023·重庆)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD.过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为________．
3
10．如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝7，AE＝3，则CE＝_______．
4
11．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C(1，2)，A(－2，0)，则点B的坐标是_____________．
(3，－1)
12．如图，在△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB，AF平分∠CAB交CE于点F，过点F作FD∥BC交AB于点D.求证：AC＝AD.
13．如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，且∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F.
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)如果∠ABC＝65°，∠ABE＝25°，求∠D的度数．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P，Q是边AC，BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E.若点P从点C出发，沿CA以每秒3个单位长度的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C后停止运动；点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，点P，Q同时出发，设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0).当t为何值时，△APD和△QBE全等？(共20张PPT)
12．2 三角形全等的判定
第4课时 三角形全等的判定(四)HL
知识点一 三角形全等的判定——HL
1．如图，若∠B＝∠C＝90°，AB＝AC，则△ABD≌△ACD的理由是( )
A．SAS B．AAS C．ASA D．HL
D
2．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，根据“HL”判定，还需添加条件________，可使△ACD≌△BCD.( )
A．AC＝BC B．AD＝BD
C．∠ACD＝∠BCD D．∠A＝∠B
A
3．如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD＝CA，DE⊥BC交AB于点E，则有( )
A.DE＝DB
B．AE＝BE
C．DE＝AE
D．AE＝BD
C
4．如图，∠ACB＝∠DFE＝90°，点D，A，F，C在同一直线上，F在AC上，AB＝DE，DA＝CF，求证：△ABC≌△DEF.
知识点二 直角三角形全等的判定综合
5．如图，AD，BE是△ABC的高，CA＝CB，则图中的全等三角形共有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
C
6．如图，AC⊥AB，BD⊥CD，请添加一个条件，使△ABC≌△DCB.
(1)添加___________________，根据是__________；
(2)添加___________________，根据是__________；
(3)添加________________，根据是__________；
(4)添加________________，根据是__________．
∠ABC＝∠DCB
AAS
∠ACB＝∠DBC
AAS
AB＝CD
HL
AC＝BD
HL
7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，点E在DB的延长线上，DE＝BC，∠1＝∠2.求证：DF＝AB.
8．如图，点D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD＝AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E.若AC＝8 cm，则CE＋DE的长为______ cm.
8
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线AD上移动，则当AP＝__________时，△ABC与△APQ全等．
4或8
10．如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC.
11．如图，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB上，AG⊥BD于点G，AF⊥CE于点F，且AG＝AF.求证：BD＝CE.
12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是BC上的一点，过点D作DE⊥AC于点E，以点D为圆心，CD长为半径画弧交AB于点F，BF＝CE.求证：△ABD≌△AED.
13．如图①，已知P(2，2)，点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴上运动，且PA＝PB.
(1)求证：PA⊥PB；
(2)若点A(8，0)，则点B的坐标为________；
(3)求OA－OB的值；
(4)如图②，若点B在y轴正半轴上运动时，其他条件不变，则OA＋OB的值是________.
