(共25张PPT)
数学 八年级上册 人教版
13．3 等腰三角形
13．3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
知识点一 等边三角形的性质
1．(2023·金昌)如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝( )
A．20° B．25° C．30° D．35°
C
2．如图，△ABC是等边三角形，边长为6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过点F作BC的平行线交AB于点D，交AC于点E，则△ADE的周长是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
D
3．(鞍山中考)如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为( )
A．80° B．70° C．60° D．50°
A
4．(常州中考)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝______°.
30
5．如图，点D，E分别在等边△ABC边BC，CA的延长线上，且CD＝AE，连接AD，BE.求证：BE＝AD.
证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°.∴∠BAE＝∠ACD＝120°.又∵CD＝AE，∴△BAE≌△ACD(SAS).∴BE＝AD
知识点二 等边三角形的判定
6．下列说法中，正确的有( )
①三个内角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
D
7．(2023·南吕县期末)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝20 cm.若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是_______cm.
20
8．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC于点D，且DE＝DB，试判断△CEB的形状，并说明理由．
解：△CEB是等边三角形．理由如下：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC，∴∠CBE＝∠ABE＝60°.又∵DE＝DB，BE⊥AC，∴CB＝CE.∴△CEB是等边三角形
9．如图，D是等边三角形ABC的边AC上的一点，E是等边三角形ABC外一点．若BD＝CE，∠1＝∠2，则对△ADE的形状描述最准确的是( )
A.等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．三边都不相等的三角形
C
10．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝9，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移3个单位长度后，得到△A′B′C′，连接A′C.则△A′B′C的周长为______．
18
11．(南召县期末)如图，等边△ABC中，点E在BA的延长线上，EF∥AC，交BC的延长线于点F，点D在BC边上，且DE＝CE.如果AB＝4，AE＝2，那么BD等于____．
2
12．如图，在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.
(1)试判断△ODE的形状，并说明理由；
(2)若BC＝10，则△ODE的周长为_______．
10
解：(1)△ODE是等边三角形．理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，则∠DOE＝∠ODE＝∠OED＝60°，∴△ODE为等边三角形
13．如图，△ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为边长作等边△PCE.
(1)求证：BP＝AE；
(2)求证：AE∥BC.
证明：(1)∵△ABC与△PCE都是等边三角形，∴BC＝AC，PC＝CE，∠BCA＝∠PCE＝60°，∴∠BCP＝∠ACE，∴△BPC≌△AEC.∴BP＝AE (2)由△BPC≌△AEC可知∠CAE＝∠B＝60°，∴∠CAE＝∠BCA，∴AE∥BC
14．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°.以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．
解：如图，延长AB至点F，使BF＝CN，连接DF，证△BDF≌△CDN，再证△DFM≌△DNM，∴MN＝MF＝MB＋NC，∴△AMN的周长为：AM＋AN＋MN＝AM＋AN＋MB＋NC＝AB＋AC＝6
15．如图，AB＝BC，∠B＝60°，点D在BC上，∠ADE＝60°，CE∥AB，求证：CD＋CE＝AB.
解：证法一：(截长法)在CA上截取CM＝CD.连接DM，证△DCE≌△DMA.
证法二：(补短法)延长EC至点N，使CN＝CD.连接DN，证△EDN≌△ADC.
证法三：(作平行线)过点D作DM∥AC交AB于点M.证∠ADM＝∠DAC＝∠E，∠AMD＝∠DCE＝120°，AM＝CD，∴△AMD≌△DCE，∴CE＝DM＝BD，∴CD＋CE＝BC＝AB(共14张PPT)
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13．1 轴对称
13．1.2 线段的垂直平分线的性质
第2课时 线段的垂直平分线的有关作图
知识点一 尺规作图作线段的垂直平分线
1．如图的尺规作图是作( )
A.线段的垂直平分线
B．一个半径为定值的圆
C．一条直线的平行线
D．一个角等于已知角
A
C
知识点二 作轴对称图形的对称轴
3．指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们画出来．
解：4个图形对称轴的条数分别为：一条、两条、两条、四条，画对称轴略
4．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，请用无刻度的直尺在两个图中分别作出直线l.
解：直线l如图所示
5．如图，A，B，C是三个村庄，现要修建一座变电站P，使变电站P到三个村庄A，B，C的距离都相等，请用尺规作图作出点P的位置(保留作图痕迹，不写作法).
解：如图，点P即为所求
6．(教材P66习题T12改编)如图，电信部门要在S区域修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．
7．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．
(1)画出直线EF；
(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″
与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系．
解：(1)直线EF如图所示
(2)∠BOB″＝2α(共24张PPT)
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13．3 等腰三角形
13．3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
知识点 含30°角的直角三角形的性质
1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则BC∶AB等于( )
A．2∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．2∶3
2．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6米 B．9米 C．12米 D．15米
B
B
C
4．等腰三角形的底角是15°，腰长为10，则其腰上的高为( )
A．8 B．7 C．5 D．4
5．有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P.继续航行20海里后到B处，又测得灯塔P在西偏北30°.如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是______海里．
C
10
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC上任意一点，分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.如果BC＝12，那么DE＋DF＝____．
6
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°.求证：AB＝4BD.
8．(2023·潢川县期中)如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，BC＝6 cm，求AD的长．
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°－2×30°＝120°，∵DA⊥BA，∴∠BAD＝90°，∴BD＝2AD，∠CAD＝120°－90°＝30°，∴∠CAD＝∠C，∴AD＝CD，∴BC＝BD＋CD＝2AD＋AD＝3AD＝6 cm，∴AD＝2 cm
9．(2023·项城期中)如图，已知等边△ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若等边△ABC的边长为4，求BH的长．
10．(渑池县期末)如图，过等边三角形△ABC的顶点A，B，C依次作AB，BC，AC的垂线MG，MN，NG，三条垂线围成△MNG，若AM＝2，则△MNG的周长为( )
A．12 B．18 C．20 D．24
B
11．如图，∠MAN＝60°，点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上．若△ABC是锐角三角形，则AC的取值范围是___________．
1＜AC＜4
12．如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E.如果OD＝4 cm，求PE的长．
13．(2023·襄城县期末)如图，一条船上午8时从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°.
(1)求海岛B到灯塔C的距离；
(2)若这条船继续向正北航行，上午几时小船与
灯塔C的距离最短？
14．如图，△ABC中，∠C＝45°，∠ABC＝120°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AB的垂直平分线FH交AB于点F，交AC于点H，若CE＝4，求AH的长．
解：连接BH，BE，在△ABC中，∠C＝45°，∠ABC＝120°，∴∠A＝180°－45°－120°＝15°.∵DE是BC的垂直平分线，CE＝4，∴BE＝CE＝4，∠C＝∠CBE＝45°，∴∠BEC＝90°，即BE⊥AC.∵HF是AB的垂直平分线，∴AH＝BH，∴∠A＝∠ABH＝15°，∴∠BHE＝30°，在Rt△BEH中，∵∠BEH＝90°，BE＝4，∴BH＝2BE＝8，∴AH＝8
15．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q.
(1)求证：BE＝AD；
(2)求∠BPQ的度数；
(3)若PQ＝3，PE＝1，求AD的长．
解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，又AE＝CD，∴△AEB≌△CDA(SAS)，∴BE＝AD
(2)由(1)知，△AEB≌△CDA，则∠ABE＝∠CAD，∴∠BPQ＝∠BAD＋∠ABP＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝60°，∴∠BPQ＝60°
(3)由(2)知∠BPQ＝60°.∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°，∴BP＝2PQ＝6，∴BE＝BP＋PE＝7，即AD＝7(共17张PPT)
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13．2 画轴对称图形
第1课时 作轴对称图形
知识点 画轴对称图形
1．如图，分别以直线l为对称轴，所作轴对称图形错误的是( )
C
2．如图，画出线段AB关于直线l的对称线段A′B′.
解：如图所示
3．如图，画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.
解：如图所示
4．把下图补成关于直线l对称的图形．
解：如图所示
5．如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线l1，l2，l3，l4对称的轴对称图形.
解：如图所示
6．图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM，ON的端点均在格点上且OM＝ON，在图①、图②给定的网格中以OM，ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：
①所画的两个四边形均是轴对称图形；
②所画的两个四边形不全等．
解：如图所示
7．(哈尔滨中考)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE.
(1)在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；
(2)求△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．
8．在3×3的正方形网格图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在图中画出所有这样的△DEF.
解：(共11张PPT)
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13．2 画轴对称图形
第2课时 用坐标表示轴对称
知识点一 关于坐标轴对称的点的坐标特征
1．(2023·常州)在平面直角坐标系中，若点P的坐标为(2，1)，则点P关于y轴对称的点的坐标为( )
A．(－2，－1) B．(2，－1)
C．(－2，1) D．(2，1)
C
2．(2023·怀化)在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于x轴对称的点P′的坐标是( )
A．(－2，－3) B．(－2，3)
C．(2，－3) D．(2，3)
3．(2023·湘西州)在平面直角坐标系中，已知点P(a，1)与点Q(2，b)关于x轴对称，则a＋b＝____．
D
1
知识点二 在坐标系中作关于坐标轴对称的图形
4．画出四边形ABCD关于x轴，y轴对称的图形A′B′C′D′及A″B″C″D″.
解：如图所示
5．(常州中考)在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称．已知点A1(1，2)，则点A2的坐标是( )
A．(－2，1) B．(－2，－1)
C．(－1，2) D．(－1，－2)
6．点A(－3，5)与B(5，5)关于某一直线对称，则对称轴是直线_______．
7．已知点P(a＋1，2a－1)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是______________．
D
x＝1
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，4)，B(4，2)，C(－1，0).
(1)点A关于y轴的对称点A′的坐标为_______，点B关于x轴的对称点B′的坐标为____________，线段AC的垂直平分线与y轴的交点D的坐标为_________；
(2)求以(1)中的点A′，B′，D为顶点的△A′B′D的面积．
(1，4)
(4，－2)
(0，2)
解：(2)S△A′B′D＝6
9．如图，在直角坐标系中，直线l是经过点(1，0)且平行于y轴的直线．
(1)求点(－1，0)关于直线l的对称点的坐标；
(2)求点(2，1)关于直线l的对称点的坐标；
(3)点P(m，－3)与点Q(5，n)关于直线l成轴对称，求m与n的值．
解：(1)设对称点的坐标为(a，0).则a－1＝1－(－1)，解得a＝3，所以点(－1，0)关于直线l的对称点的坐标为(3，0)
(2)设对称点的坐标为(b，1).则2－1＝1－b，解得b＝0，所以点(2，1)关于直线l的对称点的坐标为(0，1)
(3)因为直线l平行于y轴，且P和Q两点关于直线l成轴对称，所以P，Q两点的纵坐标相等，且两点到直线l的距离相等，则n＝－3，5－1＝1－m，解得m＝－3，n＝－3(共25张PPT)
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13．3 等腰三角形
13．3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
知识点一 等边对等角
1．(2023·内蒙古)如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB.若∠1＝32°，则∠2的度数为( )
A．32° B．58° C．74° D．75°
C
2．(2023·眉山)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为( )
A．70° B．100°
C．110° D．140°
C
3．(鞍山中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为( )
A．39° B．40° C．49° D．51°
A
4．(2023·宿迁)若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是( )
A．70° B．45° C．35° D．50°
C
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC的外角∠DAC，成倪同学说：“AE∥BC”，她说得对吗？请你说明理由．
解：对．理由如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠DAC＝∠B＋∠C＝2∠B，又∵AE平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAE，∴∠DAE＝∠B，∴AE∥BC
知识点二 等腰三角形的“三线合一”
6．(岳阳中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝____．
3
55
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，P为AD上的一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，求证：PE＝PF.
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE＝PF
10．(2023·夏邑县期末)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD，BE为△ABC的角平分线，且AD，BE交于点O，若∠C＝64°，则∠AOB的度数为( )
A．108° B．116° C．122° D．134°
C
11．(2023·锦州)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE，若CE＝CA，∠ACE＝40°，则∠B的度数为________．
35°
12．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点F，E.若∠BAC＝110°，则∠EAF＝_______．
40°
13．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为_______．
60°
14．如图，P是射线ON上一动点，∠AON＝30°，当△AOP为等腰三角形时，∠OAP的度数为____________________．
120°或75°或30°
15．(2023·息县期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，求∠B的度数．
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵CD＝DA，∴∠C＝∠DAC，∴∠B＝∠C＝∠DAC，∵BA＝BD，∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上一点，E在AC上，且AD＝AE，求证：DE⊥BC.
证明：过点A作AM⊥BC于点M，∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠BAM，∵AD＝AE，∴∠D＝∠AED，∴∠BAC＝∠D＋∠AED＝2∠D，∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠D，∴∠BAM＝∠D，∴DE∥AM，∵AM⊥BC，∴DE⊥BC
17．(2023·荣成期中)如图，∠ADC＝90°，DC∥AB，BA＝BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点．
(1)求证：∠AFB＝90°；
(2)求证：△ADC≌△AEC；
(3)连接DE，试判断DE与BF的位置关系，
并证明．
解：(1)∵BA＝BC，F是AC的中点，∴BF⊥AC，∴∠AFB＝90°
(2)∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°.∵∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠AEC. ∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB.∵BA＝BC，∴∠ECA＝∠CAB.∴∠DCA＝∠ECA.又AC＝AC，∴△ADC≌△AEC(AAS) (3)DE与BF平行．证明：设DE交AC于点H，∵△ADC≌△AEC(已证)，∴AD＝AE，∠DAH＝∠EAH，∴AH⊥DE. ∴∠AHE＝90°，∵∠AFB＝90°，∴∠AFB＝∠AHE，∴DE∥BF(共21张PPT)
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13．1 轴对称
13．1.1 轴对称
知识点一 轴对称图形的识别
1．(2023·武汉)现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是( )
A．国 B．家 C．昌 D．盛
2．(2023·淮安)剪纸是中国优秀的传统文化，下列剪纸图案中，是轴对称图形的是( )
C
B
3．有下列图形：①线段；②角；③三角形；④等腰三角形；⑤平行四边形；⑥长方形；⑦圆，其中一定是轴对称图形的有( )
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
4．找出图中哪些是轴对称图形？并画出其对称轴.
C
解：(1)(3)(4)是轴对称图形，对称轴依次是1条，5条，8条，画对称轴略
知识点二 轴对称
5．如图，哪一个选项中的左边图形与右边图形成轴对称( )
C
6．下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是( )
B
7．如图所示的四组图形中，左、右两个图形成轴对称的是第________组．
(3)(4)
知识点三 轴对称及轴对称图形的性质
8．下列判断：(1)成轴对称的两个图形的对应点的连线被对称轴垂直平分；(2)成轴对称的两个图形的对应线段相等，对应角相等；(3)成轴对称的两条线段必在对称轴的异侧；(4)等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴．正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
9．如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O.则下列说法中不一定正确的是( )
A．∠ABC＝∠A′B′C′ B．AA′⊥MN
C．AB∥A′B′ D．BO＝B′O
C
10．如图，直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝120°，∠ABC＝110°，那么∠BCD的度数为( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
D
11．小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是( )
A.21：10
B．10：21
C．10：51
D．12：01
C
12．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列结论：(1)△ABC≌△A′B′C′；(2)∠BAC＝∠B′A′C′；(3)直线l垂直平分CC′；(4)直线l平分∠CAC′.正确的有( )
A.1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
13．如图，正方形ABCD的边长为3，则图中阴影部分的面积为____．
14．如图，室内墙壁上挂着一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的数字如图所示，则这时的实际时间应是_________．
3：40
15．小明站在河岸边看见水中的自己胸前球衣的号码是 ，则实际的号码为______．
16．一个汽车牌照在水中的倒影为 ，则该汽车牌照号码为___________．
21
M17936
17．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称．
(1)点A的对应点为________，∠B的对应角为________；
(2)若AB＝4，AC＝5，求EF的取值范围．
解：(1)点D，∠E
(2)∵AB＝4，AC＝5，∴1＜BC＜9，根据轴对称的性质，得EF＝BC，∴1＜EF＜9
18．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
(1)图中点C的对应点是点________，∠B的对应角是________；
(2)若DE＝5，BF＝2，则CF的长为________；
(3)若∠BAC＝110°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．
19．在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形．
解：如图所示：(共23张PPT)
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13．3 等腰三角形
13．3.1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
知识点一 等角对等边
1．在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A．∠A＝50°，∠B＝70°
B．∠A＝70°，∠B＝40°
C．∠A＝30°，∠B＝90°
D．∠A＝80°，∠B＝60°
B
2．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C
3．如图，在△ABC中，若∠BAC＝50°，∠B＝65°，AD⊥BC于点D，BC＝8 cm，则△ABC是_______三角形，BD的长为____cm.
等腰
4
4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形，你添加的条件是______________________．
BD＝CD(答案不唯一)
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，∠BAD的平分线AE交BC于点E，CE＝2，则线段AB的长为____．
3
6．(2023·驿城区期中)如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.求证：△DEB是等腰三角形．
证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD＝∠DBC.∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC.∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝EB，∴△DEB是等腰三角形
7．如图，AB＝AC，点E在AB上，DE⊥BC于点D，交CA的延长线于点F.求证：△AEF是等腰三角形．
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC，∴∠BDE＝∠CDF＝90°.∴∠C＋∠F＝90°，∠B＋∠BED＝90°，∴∠BED＝∠F.又∵∠AEF＝∠BED，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE.∴△AEF是等腰三角形
知识点二 用尺规作等腰三角形
8．已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形．
解：如图，①作线段AB＝a；②作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D；③在MN上取一点C，使CD＝b；④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的三角形
9．在如图所示的三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
D
10．(2023·淅川县期末)如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点，A，B在两个格点上，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的C点的个数为( )
A．10 B．8 C．6 D．4
B
11．(2023·内乡县期中)如图，OB，OC分别平分∠ABC与∠ACB，MN∥BC，若AB＝38，AC＝24，则△AMN的周长是______．
62
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD.求证：△ACD为等腰三角形．
证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∵AB＝AC，∴AD＝AC，∴△ACD是等腰三角形
13．(2023·滑县期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，角平分线BE交AD于点F，交AC于点E.求证：△AFE是等腰三角形．
证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABE＋∠AEB＝90°，∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∠EBD＋∠BFD＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBD，∴∠AEB＝∠BFD，∵∠BFD＝∠AFE，∴∠AEB＝∠AFE，∴AE＝AF，∴△AFE是等腰三角形
14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于点F，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H.
(1)求证：△APF是等腰三角形；
(2)猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．
解：(1)∵EF∥AD，∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠P，∴AF＝AP，∴△APF是等腰三角形
(2)AB＝PC.证明：∵CH∥AB，∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，∵EF∥AD，∴∠1＝∠3，∴∠H＝∠3，∵BE＝CD，∴△BEF≌△CDH(AAS)，∴BF＝CH，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠H，∴AC＝CH，∴AC＝BF，∵AB＝AF＋BF，PC＝AP＋AC，∴AB＝PC(共24张PPT)
数学 八年级上册 人教版
13．1 轴对称
13．1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
知识点一 线段垂直平分线的性质
1．如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大小关系是( )
A．AM＞CM B．AM＝CM
C．AM＜CM D．无法确定
B
2．如图，AB垂直平分CD，AC＝4，BD＝6，则四边形ADBC的周长是______．
20
3．如图所示，在△ABC中，AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点M恰好在AC上，且AC＝16 cm，则MB的长为_______．
8 cm
4．(2023·青海)如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是______．
13
5．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，交AC于点E，DE垂直平分AB，交AB于点D.
(1)若∠C＝90°，求证：BE＋DE＝AC；
(2)若△ABC的周长是20，△BCE的周长是12.求AB的长．
解：(1)由角平分线的性质，得DE＝CE，由线段垂直平分线的性质，得AE＝BE，∴AC＝AE＋EC＝BE＋DE
(2)AB＝8
知识点二 线段垂直平分线的判定
6．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定( )
A．是边AB的中点
B．在边AB的中线上
C．在边AB的高上
D．在边AB的垂直平分线上
D
7．如图，撑伞时，把伞“两侧的骨架”和支架分别看作AB，AC和DB，DC，始终有AB＝AC，DB＝DC，则伞杆AD所在的直线是B，C两点连线BC的_____________线．
垂直平分
8．(教材P62练习T2变式)如图，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试说明理由．
解：相等．理由：连接BC，∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．同理：点D也在线段BC的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴AD是线段BC的垂直平分线．∵E是AD延长线上的一点，∴BE＝CE
知识点三 经过直线外一点作已知直线的垂线
9．如图，已知钝角△ABC，其中∠A是钝角，求作AC边上的高BH.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
解：BH即为所求，如图
B
11．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB(M，N不在AB上)的垂直平分线的是( )
A．MA＝MB，NA＝NB
B．MA＝MB，MN⊥AB
C．MA＝NA，MB＝NB
D．MA＝MB，MN平分AB
C
12．如图，在△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长是______．
10
13．如图，在△ABE中，AD⊥BE于D，C是BE上一点，BD＝DC，且点C在AE的垂直平分线上．若△ABC的周长为22 cm，求DE的长．
解：∵BD＝DC，AD⊥BE，∴AD垂直平分BC.∴AB＝AC.∵C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE.∵△ABC的周长是22 cm，∴AC＋AB＋BD＋CD＝22 cm.∴AC＋CD＝11 cm.∴DE＝CD＋CE＝CD＋AC＝11 cm
14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10.
(1)求BC的长；
(2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．
15．如图，△ABC中，D是BC的中点，AC∥BG，过D点的直线GF交AC于F，交BG于点G，DE⊥DF，交AB于点E，连接EG，EF.
求证：(1)BG＝CF；(2)BE＋CF＞EF.
证明：(1)∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵AC∥BG，∴∠DBG＝∠DCF，又∠BDG＝∠CDF，∴△DBG≌△DCF(ASA)，∴BG＝CF
(2)由(1)得：△DBG≌△DCF，∴BG＝CF，DG＝DF，又∵DE⊥DF，∴EG＝EF，在△BEG中，BE＋BG＞EG，∴BE＋CF＞EF(共20张PPT)
13．4 课题学习 最短路径问题
A
D
解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接PA，则点P就是所要求作的牛奶站的位置
B
B
5
C
C
B
-、、。
1
C
E
D
B
居民区A
居民区B
街道
A
E
B
D
C
D
P
C
F
A
E
B
B
P
D
A
E
C
C
M
D
N
B
B
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B
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D
B
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B
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