(共22张PPT)
2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
知识点1 矩形的性质
1．在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列说法错误的是( )
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD
C．OA＝OB D．OA＝AB
2．矩形的对角线长为20，两邻边之比为3∶4，则矩形的周长为 ______．
D
56
4．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，∠DBC＝30°，求AC的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AC＝BD，∠BCD＝90°，又∵∠DBC＝30°，∴BD＝2CD＝2×6＝12，∴AC＝12
5．(2023·宿迁)如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：AF＝CE.
知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质
6．(2023·株洲)一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A，B对应的刻度为1，7，则CD＝( )
A．3.5 cm B．3 cm
C．4.5 cm D．6 cm
B
7．(河南中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为( )
A．6 B．12 C．24 D．48
C
8．(杭州中考)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.
(1)求证：CE＝CM；
(2)若AB＝4，求线段FC的长．
9．(2023·湘西州)如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB＝8，AD＝DE＝10，则BF的长为 _______．
①③④
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为 _______．
12．(苏州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F.
(1)求证：△DAF≌△ECF；
(2)若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数．
13．(2023·随州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若BC＝3，DC＝2，求四边形OCED的面积．
15°(共20张PPT)
2 矩形的性质与判定
第3课时 矩形的性质与判定的综合应用
知识点 矩形的性质与判定的应用
1．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AB＝6，则AC的长为( )
A．8 B．10 C．12 D．18
C
2．(2023·上海)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是( )
A．AB∥CD B．AD＝BC
C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.点E，F分别是AB，AO的中点，且AC＝8.则EF的长度为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
C
A
4．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8.若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为 ____．
5
5．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4.
(1)求证： ABCD是矩形；
(2)求AD的长．
6．(2023·乐山)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边上任意一点(不与点A，B重合)，过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC，BC于点E，F，连接EF.
(1)求证：四边形ECFD是矩形；
(2)若CF＝2，CE＝4，求点C到EF的距离．
A
7．(2023·西藏)如图，矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，AD＝3，AB＝4，点E是CD边上一点，过点E作EH⊥BD于点H，EG⊥AC于点G，则EH＋EG的值是( )
A．2.4 B．2.5 C．3 D．4
A
9．(2023·怀化)如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F.
(1)求证：△BOF≌△DOE；
(2)连接BE，DF，求证：四边形EBFD是菱形．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵点O是BD的中点，∴DO＝BO，又∵∠EOD＝∠FOB，∴△BOF≌△DOE(ASA)
(2)由(1)已证△BOF≌△DOE，∴BF＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形
10．(巴中中考)如图， ABCD中，点E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG，DE，FG.
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
11．如图，在 ABCD中，AB＞AD，∠ADC的平分线交AB于点E，作AF⊥BC于点F，交DE于点G，延长BC至点H使CH＝BF，连接DH.
(1)补全图形，并证明四边形AFHD是矩形；
(2)当AE＝AF时，猜想线段AB，AG，BF之间的数量关系，并证明．
解：(1)补全图形如图．证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵CH＝BF，∴FH＝BC.∴AD＝FH.∴四边形AFHD是平行四边形．∵AF⊥BC，∴四边形AFHD是矩形
(2)猜想：AB＝BF＋AG.证明：延长FH至点M，使HM＝AG，连接DM. ∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EDC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC.∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD.∵AE＝AF，∴AF＝AD.∵AF＝DH，∴AD＝DH.又∵∠GAD＝∠DHM＝90°，∴△DAG≌△DHM(SAS).∴∠ADE＝∠HDM，∠AGD＝∠M.∴∠EDC＝∠HDM.∴∠GDH＝∠CDM.∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠GDH.∴∠CDM＝∠M.∴CD＝CM＝CH＋HM.∵AB＝CD，CH＝BF，HM＝AG，∴AB＝BF＋AG(共21张PPT)
3 正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
知识点 利用正方形的性质计算与证明
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
A
2．(重庆中考)如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为( )
A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°
C
4．如图，在正方形ABCD中，F为CD上一点，BF与AC交于点E，则图中的全等三角形有 ____ 对，若∠CBF＝20°，则∠AED的度数为 _______．
3
65°
5．(2023·宁夏)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC.则图中阴影部分的面积是 ____．
2
6．(2023·黄石)如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM＝CN，AN与DM相交于点P.
(1)求证：△ABN≌△DAM；
(2)求∠APM的大小．
7．(随州中考)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
(1)求证：AE＝CF；
(2)已知平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CF的长．
解：(1)∵四边形BEDF为正方形，∴DF＝EB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，∴DC－DF＝AB－EB，AE＝CF
(2)∵平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，∴5DE＝20，∴DE＝4，又∵四边形BEDF为正方形，∴DE＝EB＝4，∴AE＝AB－EB＝5－4＝1，由(1)知：AE＝CF，∴CF＝1
B
9．(无锡中考)如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，则BG＝____．
1
10．(原创题)已知正方形ABCD的边长为4，点E在边BC的延长线上，点F在DC的延长线上，且∠EAF＝45°.当△AEF是直角三角形时，CE的长为 _______．
8或4
11. (2023·绍兴)如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足．连接EF，AG，并延长AG交EF于点H.
(1)求证：∠DAG＝∠EGH；
(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由．
解：(1)在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD，∴∠ADE＝∠GEC＝90°，∴AD∥GE，∴∠DAG＝∠EGH
(2)AH⊥EF，理由如下：连接GC交EF于点O，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADG＝∠CDG＝45°，又∵DG＝DG，AD＝CD，∴△ADG≌△CDG(SAS)，∴∠DAG＝∠DCG.在正方形ABCD中，∠ECF＝90°，又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴四边形FCEG为矩形，∴OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∴∠DAG＝∠OEC，由(1)得∠DAG＝∠EGH，∴∠EGH＝∠OEC，∴∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°，∴∠GHE＝90°，∴AH⊥EF
12．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.
(1)如图①，求证：CE＝BH；
(2)如图②，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AD＝AB，∠BCD＝∠ADC＝90°，∵BM⊥CE，∴∠HMC＝∠ADC＝90°，∴∠H＋∠HCM＝90°＝∠E＋∠ECD，∴∠H＝∠E，∴△EDC≌△HCB(AAS)，∴CE＝BH(共21张PPT)
1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的概念及其性质
知识点1 菱形的定义及对称性
1．如图，在 ABCD中，添加下列条件：①AB＝CD，②AB＝BC，③∠1＝∠2，其中能使 ABCD成为菱形的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
C
2．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为(2，3)，则点C的坐标为__________．
(2，－3)
知识点2 菱形的边的性质
3．(荆门中考)如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为( )
A．20 B．30 C．40 D．50
C
4．(济南中考)已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE.求证：AE＝CF.
知识点3 菱形的对角线的性质
5．菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是( )
A．24 B．20 C．10 D．5
6．(2023·湘潭)如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )
A．20° B．60°
C．70° D．80°
B
C
8
D
D
10．(2023·嘉兴)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.
(1)求证：AE＝AF；
(2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数．
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．
12．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E，F分别是边CD，BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，求EG的长．
13．如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交直线AB于点F，连接BE.
(1)如图1，求证：∠AFD＝∠EBC；
(2)如图2，若DE＝EC，且BE⊥AF，则∠DAB的度数为________.(共19张PPT)
3 正方形的性质与判定
第2课时 正方形的判定
知识点1 用定义判定正方形
1．如图，如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( )
A.AB＝BD且AC⊥BD
B．∠BAD＝90°且AB＝AD
C．∠BAD＝90°且AC＝BD
D．AC和BD互相垂直平分
B
2．已知在四边形ABCD中，AB綊CD，∠C＝90°，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件：____________________ (填一个即可).
AB＝BC(答案不唯一)
知识点2 利用菱形判定四边形是正方形
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是( )
A．BD＝AB
B．AC＝AD
C．∠ABC＝90°
D．OD＝AC
C
4．(教材P25习题T3变式)如图，有4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D同时出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向点B，C，D，A移动．请判断四边形PQEF的形状．
解：由题意知AP＝BQ＝CE＝DF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴AF＝BP＝CQ＝DE.∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，∴FP＝PQ＝QE＝EF，∴四边形PQEF是菱形．∵△AFP≌△BPQ.∴∠APF＝∠BQP，∴∠BPQ＋∠APF＝∠BPQ＋∠BQP＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴四边形PQEF为正方形
知识点3 利用矩形判定四边形是正方形
5．(2023·黑龙江)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件 ______________________，使得矩形ABCD为正方形．
AB＝AD(答案不唯一)
6．如图，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.
求证：矩形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝180°－∠C－∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°.∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形
7．如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点． 四边形ABCD的两条对角线满足条件_________ 时，四边形EFGH是菱形；满足条件 __________ 时，四边形EFGH是矩形；满足条件 _____________________ 时，四边形EFGH是正方形．
AC＝BD
AC⊥BD
AC＝BD，AC⊥BD
8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE＝CF，依次连接B，F，D，E各点．
(1)求证：△BAE≌△BCF；
(2)若∠ABC＝50°，则当∠EBA＝________°时，四边形BFDE是正方形．
解：(1)在菱形ABCD中，BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∴∠BAE＝∠BCF.又∵AE＝CF，∴△BAE≌△BCF(SAS)
(2)20
9．如图，在四边形ABEC中，∠ACB＝90°，CE∥AB，D为AB边上一点，DE⊥BC于点F，连接CD.
(1)求证：CE＝AD；
(2)若D为AB的中点，则∠A的度数满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由．
解：(1)∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD
(2)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC，∵D为AB中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，易证CE綊BD，∴四边形BECD是平行四边形，∵AD＝BD，∠ACB＝90°，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形，∵∠CDB＝90°，∴四边形BECD是正方形，即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形(共18张PPT)
1 菱形的性质与判定
第3课时 菱形的性质与判定的综合应用
知识点1 菱形的面积
1．如图，菱形ABCD的周长是52，对角线AC，BD相交于点O.若BD＝10，则菱形ABCD的面积是( )
A．60 B．120 C．240 D．480
B
2．(2023·临沂)若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 ______．
24
3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1∶2，周长是8 cm.求：
(1)菱形ABCD两条对角线的长度；
(2)菱形ABCD的面积．
知识点2 菱形的性质与判定的应用
4．如图，在 ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则 ABCD的周长为( )
A．4 B．6 C．8 D．12
C
5．(教材P8“做一做”变式)如图，用两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论不一定成立的是( )
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD
B．AB＝BC
C．AB＝CD，AD＝BC
D．∠DAB＋∠BCD＝180°
D
6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F ，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝6，∠BEF＝120°，求四边形BCFE的周长．
解：(1)∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC且BC＝2DE.又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC.又∵DE∥BC，即EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵BE＝EF，∴四边形BCFE是菱形
(2)24
B
9．(广元中考)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE.
(1)求证：四边形AECD为菱形；
(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．(共22张PPT)
2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．(甘肃中考)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是 ________________________．
∠A＝90°(答案不唯一)
2．如图，DE∥AB，DF∥AC，∠B＝50°，当∠C＝ ______ 时，四边形AFDE是矩形．
40°
3．(2023·内江)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证：FA＝BD；
(2)连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形．
证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，又∵E为AD的中点，∴AE＝DE，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC，又∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD
(2)∵AF＝BD，AF∥BD，∴四边形ADBF是平行四边形，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形ADBF是矩形
知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形
4．(陕西中考)在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是( )
A．AB＝AC B．AC⊥BD
C．AB＝AD D．AC＝BD
D
A
6．如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC，又∵AD＝AF，∴BC＝AF.∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠FCE，∵E为BC的中点，∴EB＝EC，又∵∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FCE(ASA)，∴AB＝CF.∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形
知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形
7．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，添加下列条件之一，不能使四边形ABCD是矩形的是( )
A．∠B＝90° B．∠C＝90°
C．AB∥CD D．AD＝BC
8．两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所组成的四边形是________．
A
矩形
9．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，BE平分∠CBF，CE⊥BE于点E，求证：四边形BDCE是矩形．
证明：∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，∴BD⊥AC，又易证∠DBE＝90°，且∠E＝90°，∴四边形BDCE是矩形
10．(无锡中考)如图，D，E，F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是( )
A.△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
C
11．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，E，F分别是AB，CD上的点，BE＝DF，AC，EF互相平分且相交于点O.求证：四边形ABCD是矩形．
证明：连接AF，CE，∵AC，EF 互相平分，∴四边形AECF为平行四边形，∴CF≌AE，∵BE＝DF.∴CD≌AB，∴四边形ABCD为平行四边形．∵∠B＝90°，∴ ABCD是矩形
12．(泰州中考)如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
(1)求证：AF与DE互相平分；
(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．
13．如图，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
解：(1)如图所示，∵CE，CF分别是∠ACB，∠ACD的平分线，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF(共20张PPT)
1 菱形的性质与判定
第2课时 菱形的判定
知识点1 由菱形的定义进行判定
1．如图，要使 ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是( )
A．AB＝AC B．AB⊥BC
C．AC＝BD D．AB＝AD
D
2．(教材P7习题T2变式)如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形ABCD满足下列何条件时，四边形EFGH是菱形( )
A．AB＝AD B．AC＝BD
C．AB＝CD D．AC⊥BD
C
3．如图， ABCD中，AB＝9 cm，BC＝4 cm，将CB沿BA方向平移得到EF(点F在边AB上)，则当BF＝ ____ cm时，四边形DAFE是菱形，依据是 __________________________________．
5
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
4．(2023·张家界)如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.
(1)求证：AE∥BF；
(2)若DF＝FC时，求证：四边形DECF是菱形．
证明：(1)∵AD＝BC，∴AD＋CD＝BC＋CD，∴AC＝BD，∵AE＝BF，CE＝DF，∴△AEC≌△BFD(SSS)，∴∠A＝∠B，∴AE∥BF (2)∵△AEC≌△BFD(SSS)，∴∠ECA＝∠FDB，∴EC∥DF，∵EC＝DF，∴四边形DECF是平行四边形，∵DF＝FC，∴四边形DECF是菱形
知识点2 利用对角线的特征判定菱形
5．(宁夏中考)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．AC⊥BD B．AB＝AD
C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
C
6．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择条件____ 可使四边形BECF是菱形．(填序号)
③
7．(2023·鞍山)如图，在 ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BD，BC相交于点E，O，F，连接BE，DF，求证：四边形EBFD是菱形．
知识点3 利用边的特征判定菱形
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AB，AC的中点，当△ABC满足 _________ 时，四边形AEDF是菱形(只填一个).
AB＝AC
9．(永州中考)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为( )
A．40 B．24 C．20 D．15
B
10．在平面直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标分别为(－3，0)，(x，y)，(0，4)，(－6，z)，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则z的值为 ________．
11．定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC垂直平分BD.
(1)请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质：
性质1：________________________________；
性质2：________________________________；
(2)若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形．
D
12．在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两边延长到点E和F，使得AE＝CF，连接DE，DF，BE，BF.
(1)如图①，求证：四边形BEDF是菱形；
(2)如图②，若∠FDC＝20°，∠DFC＝50°，过点C作DF的垂线，分别交DF，AB于点H，M.求证：MC＝2HC.
解：(1)连接DB，交EF于点O.∵四边形ABCD为菱形，∴OA＝OC，OD＝OB，DB⊥AC.∵CF＝AE，∴OC＋CF＝OA＋AE，即OF＝OE，∵OD＝OB，∴四边形BEDF为平行四边形．∵DB⊥EF，∴四边形BEDF是菱形
(2)连接DB，交EF于点O，则DB⊥EF，∵∠DFC＝50°，∴∠FDO＝40°，∵∠FDC＝20°，∴∠CDO＝20°＝∠FDC，∵CH⊥DF，CO⊥DO，∴CH＝CO，∠HCD＝∠OCD＝70°，∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AB，∴∠HCD＝∠CMA，∠OCD＝∠CAM，∴∠CAM＝∠CMA，∴MC＝CA，又∵CA＝2CO，MC＝2HC
