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天天练13.2 2024-2025学年沪科版八年级数学上册
一、单选题
1．选择用反证法证明“已知：在中，，求证： ，中至少有一个角不大于时，应先假设（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．下列三个命题：①同位角相等；②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．下列命题中，
（1）如果直线，，那么；
（2）相等的角是对顶角；
（3）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无
4．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．以下可以来证明命题“若，则”是假命题的反例的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点，只能有一条直线垂直于 l．用反证法证明这个命题的步骤：①在中，，这与三角形内角和为相矛盾；②假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；③则，；④故过E点只有一条直线垂直于l．证明步骤正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③①④ C．①③②④ D．②③④①
7．如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若、分别是到直线和的距离．则称有序非负实数对是点的“距离坐标”．已知常数，，给出下列命题：
①若，则“距离坐标”为的点有且仅有个；
②若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有个；
③若，则“距离坐标”为的点有且仅有个．
上述命题中，正确命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙、丙、丁在比身高，甲说：“我最高。”乙说：“我不最矮。”丙说：“我没有甲高，但还有人比我矮。”丁说：“我最矮。”实际测量表明只有一人说错了，身高从高到低排第三位的是（ ）．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题
9．数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个 ．
10．“的算术平方根是2”这个命题是 命题．（填“真”或者“假”）
11．命题“和为180°的两个角互为补角”的逆命题是 ．
12．命题“若，那么”的逆命题是： ；该逆命题是一个 命题（填真或假）．
三、解答题
13．写出下列命题的逆命题，并判断这对命题的真假．
(1)三边对应相等的两个三角形全等；
(2)若a＝b，则a2＝b2；
(3)若∠α＋∠β＝180°，则∠α与∠β至少有一个是钝角．
14．如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分．
若选择四个论断中的三个作为题设，余下的一个作为结论，构成一个命题，请将你的选择填在下面框中并证明．（只写一种情况即可）
我选择的三个题设序号是：______ 我选择的结论序号是：______ 证明：
15．世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，平局时两队各记1分，败队记0分．小组赛全赛完后，总积分数高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还要按净胜球多少来排序．问一个队至少要积多少分才能保证出线？
16．某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式﹣x2+2x+3的性质”时，进行了如下活动．
【试验操作】取不同的x的值，计算代数式﹣x2+2x+3的值．
(1)补充完整下列表格：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
﹣x2+2x+3 … 0 3 4 …
(2)【观察猜想】实验小组组员观察表格，提出以下猜想：同学甲说：“代数式﹣x2+2x+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式﹣x2+2x+3的值一定不大于4”．请你也提出一个合理的猜想 ；
(3)【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也有可能是错误的，请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以证明．
17．疫情期间，甲、乙、丙、丁4名同学约定周一至周五每天做一组俯卧撑．为了增加趣味性，他们通过游戏方式确定每个人每天的训练计划．
首先，按如图方式摆放五张卡片，正面标有不同的数字代表每天做俯卧撑的个数，反面标有，，，，便于记录．
具体游戏规则如下：
甲同学：同时翻开，，将两个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，，，按原顺序记录在表格中；
乙同学：同时翻开，，，将三个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，，按原顺序记录在表格中；
以此类推，到丁同学时，五张卡片全部翻开，并由小到大记录在表格中．
下表记录的是这四名同学五天的训练计划：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
甲同学
乙同学
丙同学
丁同学
根据记录结果解决问题：
（1）补全上表中丙同学的训练计划；
（2）已知每名同学每天至少做30个，五天最多做180个．
①如果，，那么所有可能取值为__________________________；
②这四名同学星期_________做俯卧撑的总个数最多，总个数最多为_________个．
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天天练13.2 2024-2025学年沪科版八年级数学上册
一、单选题
1．选择用反证法证明“已知：在中，，求证： ，中至少有一个角不大于时，应先假设（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】解：用反证法证明命题“，中至少有一个角不大于”时，应先假设，．
故选：D．
2．下列三个命题：①同位角相等；②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】解：①两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题是假命题；
②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题是真命题；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．故原命题是真命题，
综合上述可得：真命题有2个．
故选：C．
3．下列命题中，
（1）如果直线，，那么；
（2）相等的角是对顶角；
（3）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无
【答案】A
【详解】解：（1）如果直线，，那么，平行于同一直线的两条直线平行，故（1）是真命题；
（2）对顶角是相等的，但相等的角可能是对顶角，但不一定是对顶角，故（2）是假命题；
（3）两平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故（3）是假命题．
真命题有1个，
故选：A．
4．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【详解】解：①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小李、小赵预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，
②若获得一等奖的团队是乙团队，则小张预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，
③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人预测结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误，
④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小王预测结果是对的，与题设相符，即假设正确，
即获得一等奖的团队是：丁；
故选D．
5．以下可以来证明命题“若，则”是假命题的反例的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、，满足，
∴A选项不能作为证明原命题是假命题的反例；
B、，满足，但不满足，
∴B选项能作为证明原命题是假命题的反例；
C、，不满足，
∴C选项不能作为证明原命题是假命题的反例；
D、，不满足，
∴D选项不能作为证明原命题是假命题的反例．
故选B．
6．如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点，只能有一条直线垂直于 l．用反证法证明这个命题的步骤：①在中，，这与三角形内角和为相矛盾；②假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；③则，；④故过E点只有一条直线垂直于l．证明步骤正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③①④ C．①③②④ D．②③④①
【答案】B
【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：
1、假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；
2、则，；
3、在中，，这与三角形内角和为相矛盾；
4、因此假设不成立，故过E点只有一条直线垂直于l．
则证明步骤正确的是②③①④，
故选：B．
7．如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若、分别是到直线和的距离．则称有序非负实数对是点的“距离坐标”．已知常数，，给出下列命题：
①若，则“距离坐标”为的点有且仅有个；
②若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有个；
③若，则“距离坐标”为的点有且仅有个．
上述命题中，正确命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：①若，则“距离坐标”为的点有且仅有个，此点为点，故①正确；
②若，且，则、中有且仅有一个为，当为时，坐标点在上，分别关于点对称的两点，反之在上也有两点，但这种情况不能同时存在，故“距离坐标”为的点有且仅有个，故②正确；
③正确，如下图，四个交点为与直线相距为的两条平行线和与直线相距为的两条平行线的交点．
故正确的有：①②③，
故选：D．
8．甲、乙、丙、丁在比身高，甲说：“我最高。”乙说：“我不最矮。”丙说：“我没有甲高，但还有人比我矮。”丁说：“我最矮。”实际测量表明只有一人说错了，身高从高到低排第三位的是（ ）．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【详解】解：根据题干分析可得：丁没有说错，则乙也没有说错，那么甲和丙中有一个人说错了；
假设甲说对了“我最高”，那么丙也说对了“我没有甲高，但还有人比我矮”，所以此假设不成立，即：甲说错了，那么丙就说对了．
由上述推理可得：这四个人的身高按从高到矮排列：乙、甲、丙、丁．
所以排在第三位的是丙．
故选：C．
二、填空题
9．数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个 ．
【答案】反例
【详解】解：数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例，
故答案为：反例．
10．“的算术平方根是2”这个命题是 命题．（填“真”或者“假”）
【答案】假
【详解】∵
∴的算术平方根是
∴“的算术平方根是2”这个命题是假命题
故答案为：假．
11．命题“和为180°的两个角互为补角”的逆命题是 ．
【答案】互为补角的两个角的和为180°
【知识点】写出命题的逆命题
【分析】让题设与结论互换位置，即为所给命题的逆命题．
【详解】解：∵原题设为：和为180°，结论为：这两个角互补，
∴“和为180°的两个角互为补角”的逆命题是：互为补角的两个角的和为180°．
故答案为互为补角的两个角的和为180°．
12．命题“若，那么”的逆命题是： ；该逆命题是一个 命题（填真或假）．
【答案】 若，那么 真
【详解】解：命题“若，那么”的逆命题是：
“若，那么”，
该逆命题是一个真命题，
故答案为：若，那么，真．
三、解答题
13．写出下列命题的逆命题，并判断这对命题的真假．
(1)三边对应相等的两个三角形全等；
(2)若a＝b，则a2＝b2；
(3)若∠α＋∠β＝180°，则∠α与∠β至少有一个是钝角．
【答案】(1)逆命题：全等三角形的对应边相等；原命题和逆命题都是真命题；(2)逆命题：若a2＝b2，则a＝b；原命题是真命题，逆命题是假命题；(3)逆命题：若∠α与∠ β中至少有一个是钝角，则∠α＋∠ β＝180°；原命题和逆命题都是假命题．
【详解】(1)逆命题：全等三角形的对应边相等；原命题和逆命题都是真命题；
(2)逆命题：若a2＝b2，则a＝b；原命题是真命题，逆命题是假命题，如=，
-11；
(3) 逆命题：若∠α与∠ β中至少有一个是钝角，则∠α＋∠ β＝180°；原命题是假命题，因为当∠α=∠ β=90°，∠α与∠ β都是直角时，∠α＋∠β＝180°；逆命题是假命题，如110°+80°=190°．
14．如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分．
若选择四个论断中的三个作为题设，余下的一个作为结论，构成一个命题，请将你的选择填在下面框中并证明．（只写一种情况即可）
我选择的三个题设序号是：______ 我选择的结论序号是：______ 证明：
【答案】①②③；④，证明见解析
【详解】已知：①，②，③平分，
求证：④平分．
证明：如图所示，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分．
故答案为：①②③；④；
15．世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，平局时两队各记1分，败队记0分．小组赛全赛完后，总积分数高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还要按净胜球多少来排序．问一个队至少要积多少分才能保证出线？
【详解】试题分析：易得小组赛的总场数为小组数×（小组数﹣1）÷2，可得4个队的总积分，进而分类讨论小组得6分或7分能否出线即可．
试题解析：解：4个队单循环比赛共比赛4×3÷2=6场，每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过18分，①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线，②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线．
故一个队至少要积7分才能保证出线．
16．某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式﹣x2+2x+3的性质”时，进行了如下活动．
【试验操作】取不同的x的值，计算代数式﹣x2+2x+3的值．
(1)补充完整下列表格：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
﹣x2+2x+3 … 0 3 4 …
(2)【观察猜想】实验小组组员观察表格，提出以下猜想：同学甲说：“代数式﹣x2+2x+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式﹣x2+2x+3的值一定不大于4”．请你也提出一个合理的猜想 ；
(3)【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也有可能是错误的，请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以证明．
【答案】(1)3,0
(2)当x＞1时，代数式的值随着x的增大而减小（答案不唯一）
(3)甲的判断不正确，乙的判断正确，反例和证明见解析
【详解】（1）当x=2时，﹣x2+2x+3=3；
当x=3时，﹣x2+2x+3=0；
故答案为：3；0．
（2）当x＞1时，代数式的值随着x的增大而减小（答案不唯一）．
（3）甲的判断是不正确的，例如当x=2时，﹣x2+2x+3=3＜4；
∴同学甲说：“代数式﹣x2+2x+3的值随着x的增大而增大”是错误的；
乙的判断是正确的，原因如下：
，
由于，
∴，
所以同学乙的判断正确．
17．疫情期间，甲、乙、丙、丁4名同学约定周一至周五每天做一组俯卧撑．为了增加趣味性，他们通过游戏方式确定每个人每天的训练计划．
首先，按如图方式摆放五张卡片，正面标有不同的数字代表每天做俯卧撑的个数，反面标有，，，，便于记录．
具体游戏规则如下：
甲同学：同时翻开，，将两个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，，，按原顺序记录在表格中；
乙同学：同时翻开，，，将三个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，，按原顺序记录在表格中；
以此类推，到丁同学时，五张卡片全部翻开，并由小到大记录在表格中．
下表记录的是这四名同学五天的训练计划：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
甲同学
乙同学
丙同学
丁同学
根据记录结果解决问题：
（1）补全上表中丙同学的训练计划；
（2）已知每名同学每天至少做30个，五天最多做180个．
①如果，，那么所有可能取值为__________________________；
②这四名同学星期_________做俯卧撑的总个数最多，总个数最多为_________个．
【答案】（1）见解析；（2）①41，42，43；②三，162．
【详解】解：（1）由题意同时翻开将四个数字进行比较，
由乙同学可知，又结合丁同学可知，
所以，
然后由小到大记录在表格中，x5按原顺序记录在表格中
补全表中丙同学的训练计划：．
故答案为：．
（2）①由题意x4=30，
∵，
∴x5可以取31，32，33，34，35，x1＞40，
当x5=31时，x1的最大值为43，
当x5=32时，x1的最大值为42，
当x5=33时，x1的最大值为41，
当x5=34或35时，x1的值不符合题意，
∴x1的可能取41，42，43．
故答案为：41，42，43．
②观察表格可知星期三的做俯卧撑的总个数最多，
不妨设x4=30，x5=31，当x2=32时，x3+x1的最大值为180-30-31-32=87，
若x1=44，则x3=43，此时星期三的做俯卧撑的总个数为162．
当x2=33时，x3+x1的最大值为180-30-31-33=86，
若x1=44，则x3=42，此时星期三的做俯卧撑的总个数为161，
当x2=34时，x3+x1的最大值为180-30-31-34=85，
若x1=43，则x3=42，此时星期三的做俯卧撑的总个数为161，
当x2=35时，x3+x1的最大值为180-30-31-33=84，
若x1=43，则x3=41，此时星期三的做俯卧撑的总个数为160，
综上所述，星期三的做俯卧撑的总个数的最大值为162．
故答案为：162．
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