单元测试(二) 一元二次方程
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列方程中，一元二次方程的个数是( C )
①3y2＋7＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③(x＋1)(x－2)＝(x－1)(x－4).
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知x＝－1是方程ax2＋bx＋c＝0(b≠0)的根，则a－b＋c等于( C )
A．1 B．－1 C．0 D．2
3．(2023·菏泽)一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根为x1，x2，则＋的值为( C )
A． B．－3 C．3 D．－
4．(淮安中考)若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0没有实数根，则k的值可以是( A )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
5．(2023·湖州)某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是( D )
A．20(1＋2x)＝31.2 B．20(1＋2x)－20＝31.2
C．20(1＋x)2＝31.2 D．20(1＋x)2－20＝31.2
6．(2023·广安)已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( A )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
7．(巴中中考)对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2－b，若关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为( A )
A．k＞－ B．k＜－
C．k＞－且k≠0 D．k≥－且k≠0
8．(2023·广州)已知关于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有两个实数根，则－()2的化简结果是( A )
A．－1 B．1 C．－1－2k D．2k－3
9．已知2是关于x的方程x2－2mx＋3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为( B )
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
10．如图，在一次函数y＝－x＋6的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴上方满足上述条件的点P的个数共有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．(荆州中考)一元二次方程x2－4x＋3＝0配方为(x－2)2＝k，则k的值是 __1__．
12．(2023·怀化)已知关于x的一元二次方程x2＋mx－2＝0的一个根为－1，则m的值为 __－1__，另一个根为 __2__．
13．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共握了66次手，则这次会议到会人数是__12__人．
14．(青海中考)如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 __(11－2x)(7－2x)＝21__．
15．已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2－8x＋15＝0的根，则该等腰三角形的周长为__19或21或23__．
三、解答题(共75分)
16．(8分)解下列一元二次方程：
(1)(x－2)2＝4; (2)(2023·齐齐哈尔)x2－3x＋2＝0.
解：x1＝4，x2＝0 解：x1＝1，x2＝2
17．(9分)在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b＝a2－b2，根据这个规则：
(1)求4△3的值；
(2)求(x＋2)△5＝0中x的值．
解：(1)根据题意，得4△3＝42－32＝7 (2)根据题意，得(x＋2)2－52＝0，整理，得x＋2＝±5，解得x1＝3，x2＝－7
18．(9分)(贵阳中考)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2＋2x－1＝0；②x2－3x＝0；③x2－4x＝4；④x2－4＝0.
解：①利用公式法：x2＋2x－1＝0，Δ＝22－4×1×(－1)＝4＋4＝8，∴x＝＝＝＝－1±.∴x1＝－1＋，x2＝－1－ ②利用因式分解法：x2－3x＝0，∴x(x－3)＝0.∴x1＝0，x2＝3 ③利用配方法：x2－4x＝4，两边都加上4，得x2－4x＋4＝8，∴(x－2)2＝8.∴x－2＝±2.∴x1＝2＋2，x2＝2－2 ④利用因式分解法：x2－4＝0，∴(x＋2)(x－2)＝0.∴x1＝－2，x2＝2
19．(9分)(2023·湖北)已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0.
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若(2a＋b)(a＋2b)＝20，求m的值．
解：(1)∵Δ＝[－(2m＋1)]2－4(m2＋m)＝4m2＋4m＋1－4m2－4m＝1＞0，∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根 (2)∵该方程的两个实数根为a，b，∴a＋b＝2m＋1，ab＝m2＋m，∵(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋4ab＋ab＋2b2＝2(a2＋2ab＋b2)＋ab＝2(a＋b)2＋ab＝20，∴2(2m＋1)2＋m2＋m＝20，整理，得m2＋m－2＝0，解得m1＝－2，m2＝1，∴m的值为－2或1
20．(9分)学校为了奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买奖品，他看到下表关于某种商品的销售信息，便用1400元买回了该种商品作为奖品，求王老师购买该种商品的件数．
购买件数 销售价格
不超过30件 单价40元
超过30件 每多买1件，购买的所有商品的单价降低0.5元，但单价不得低于30元
解：∵30×40＝1200(元)＜1400元，∴购买的该种商品的件数超过了30件．设王老师购买该种商品的件数为x件，则每件商品的价格为[40－(x－30)×0.5]元．根据题意，得x[40－(x－30)×0.5]＝1400.化简，得x2－110x＋2800＝0，解得x1＝40，x2＝70.∵当x＝70时，40－(70－30)×0.5＝20(元)＜30元，∴x＝70不符合题意，应舍去．当x＝40时，40－(40－30)×0.5＝35(元)＞30元，∴x＝40.答：王老师购买该种商品的件数为40件
21．(10分)现代互联网技术的广泛应用催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同．
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的26名快递投递业务员能否完成今年六月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
解：(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x.根据题意，得10(1＋x)2＝12.1，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去).答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10% (2)今年六月份的快递投递任务是12.1×(1＋10%)＝13.31(万件).∵平均每人每月最多可投递0.6万件，∴26名快递业务员能完成的快递投递任务是0.6×26＝15.6(万件)＞13.31万件，∴该公司现有的26名快递投递业务员能完成今年六月份的快递投递任务
22．(10分)(2023·东营)如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
解：(1)设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x) m．根据题意，得x(72－2x)＝640，化简，得 x2－36x＋320＝0，解得 x1＝16，x2＝20，当x＝16时，72－2x＝72－32＝40(m)，当x＝20时，72－2x＝72－40＝32(m).答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈 (2)不能，理由：由题意，得x(72－2x)＝650，化简，得 x2－36x＋325＝0，Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到 650 m2
23．(11分)(黄石中考)阅读材料，解答问题：
材料1：为了解方程(x2)2－13x2＋36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2－13y＋36＝0，经过运算，原方程的解为x1＝2，x2＝－2，x3＝3，x4＝－3.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2：已知实数m，n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m＋n＝1，mn＝－1.
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程x4－5x2＋6＝0的解为 __x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－__；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：2a4－7a2＋1＝0，2b4－7b2＋1＝0且a≠b，求a4＋b4的值；
(3)拓展应用：
已知实数m，n满足：＋＝7，n2－n＝7且n＞0，求＋n2的值．
解：(1)令y＝x2，则有y2－5y＋6＝0，∴(y－2)(y－3)＝0，∴y1＝2，y2＝3，∴x2＝2或3，∴x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－；故答案为：x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－ (2)∵a≠b，∴a2≠b2或a2＝b2.①当a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n.∴m≠n，则2m2－7m＋1＝0，2n2－7n＋1＝0，∴m，n是方程2x2－7x＋1＝0的两个不相等的实数根，∴此时a4＋b4＝m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝；②当a2＝b2(a＝－b)时，a2＝b2＝，此时a4＋b4＝2a4＝2(a2)2＝.综上所述，a4＋b4＝或 (3)令＝a，－n＝b，则a2＋a－7＝0，b2＋b－7＝0，∵n＞0，∴≠－n，即a≠b，∴a，b是方程x2＋x－7＝0的两个不相等的实数根，∴故＋n2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝15单元测试(二) 一元二次方程
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列方程中，一元二次方程的个数是( )
①3y2＋7＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③(x＋1)(x－2)＝(x－1)(x－4).
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知x＝－1是方程ax2＋bx＋c＝0(b≠0)的根，则a－b＋c等于( )
A．1 B．－1 C．0 D．2
3．(2023·菏泽)一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根为x1，x2，则＋的值为( )
A． B．－3 C．3 D．－
4．(淮安中考)若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0没有实数根，则k的值可以是( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
5．(2023·湖州)某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是( )
A．20(1＋2x)＝31.2 B．20(1＋2x)－20＝31.2
C．20(1＋x)2＝31.2 D．20(1＋x)2－20＝31.2
6．(2023·广安)已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
7．(巴中中考)对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2－b，若关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为( )
A．k＞－ B．k＜－
C．k＞－且k≠0 D．k≥－且k≠0
8．(2023·广州)已知关于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有两个实数根，则－()2的化简结果是( )
A．－1 B．1 C．－1－2k D．2k－3
9．已知2是关于x的方程x2－2mx＋3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为( )
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
10．如图，在一次函数y＝－x＋6的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴上方满足上述条件的点P的个数共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．(荆州中考)一元二次方程x2－4x＋3＝0配方为(x－2)2＝k，则k的值是 __ __．
12．(2023·怀化)已知关于x的一元二次方程x2＋mx－2＝0的一个根为－1，则m的值为 __ __，另一个根为 __ __．
13．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共握了66次手，则这次会议到会人数是__ __人．
14．(青海中考)如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 __ __．
15．已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2－8x＋15＝0的根，则该等腰三角形的周长为__ __．
三、解答题(共75分)
16．(8分)解下列一元二次方程：
(1)(x－2)2＝4; (2)(2023·齐齐哈尔)x2－3x＋2＝0.
17．(9分)在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b＝a2－b2，根据这个规则：
(1)求4△3的值；
(2)求(x＋2)△5＝0中x的值．
18．(9分)(贵阳中考)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2＋2x－1＝0；②x2－3x＝0；③x2－4x＝4；④x2－4＝0.
19．(9分)(2023·湖北)已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0.
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若(2a＋b)(a＋2b)＝20，求m的值．
20．(9分)学校为了奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买奖品，他看到下表关于某种商品的销售信息，便用1400元买回了该种商品作为奖品，求王老师购买该种商品的件数．
购买件数 销售价格
不超过30件 单价40元
超过30件 每多买1件，购买的所有商品的单价降低0.5元，但单价不得低于30元
21．(10分)现代互联网技术的广泛应用催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同．
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的26名快递投递业务员能否完成今年六月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
22．(10分)(2023·东营)如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
23．(11分)(黄石中考)阅读材料，解答问题：
材料1：为了解方程(x2)2－13x2＋36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2－13y＋36＝0，经过运算，原方程的解为x1＝2，x2＝－2，x3＝3，x4＝－3.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2：已知实数m，n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m＋n＝1，mn＝－1.
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程x4－5x2＋6＝0的解为 __ __；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：2a4－7a2＋1＝0，2b4－7b2＋1＝0且a≠b，求a4＋b4的值；
(3)拓展应用：
已知实数m，n满足：＋＝7，n2－n＝7且n＞0，求＋n2的值．
