单元测试(六) 反比例函数
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2023·重庆)反比例函数y＝－的图象一定经过的点是( )
A．(1，4) B．(－1，－4) C．(－2，2) D．(2，2)
2．(2023·荆州)已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系(I＝).下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是( )
3．(2023·广州)已知正比例函数y1＝ax的图象经过点(1，－1)，反比例函数y2＝的图象位于第一、三象限，则一次函数y＝ax＋b的图象一定不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．(2023·通辽)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2) 在反比例函数y＝－的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是( )
A．y1＋y2＜0 B．y1＋y2＞0 C．y1－y2＜0 D．y1－y2＞0
5．如图是反比例函数y＝的图象，点A(x，y)是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是( )
A．1 B．
C．2 D．
6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝(其中a，b是常数，ab≠0)的大致图象是( )
7．(2023·邵阳)如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，点B的坐标为(2，4)，则点E的坐标为( )
A．(4，4) B．(2，2) C．(2，4) D．(4，2)
8．(2023·内蒙古)如图，直线y＝ax＋b(a≠0)与双曲线y＝(k≠0)交于点A(－2，4)和点B(m，－2)，则不等式0＜ax＋b＜的解集是( )
A．－2＜x＜4 B．－2＜x＜0
C．x＜－2或0＜x＜4 D．－2＜x＜0或x＞4
9．(2023·怀化)如图，反比例函数y＝(k＞0)的图象与过点(－1，0)的直线AB相交于A，B两点．已知点A的坐标为(1，3)，点C为x轴上任意一点．如果S△ABC＝9，那么点C的坐标为( )
A．(－3，0) B．(5，0)
C．(－3，0)或(5，0) D．(3，0)或(－5，0)
10．如图，点D是 OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠BDC＝120°，S△BCD＝，若反比例函数y＝(x<0)的图象经过C，D两点，则k的值是( )
A．－6 B．－6 C．－12 D．－12
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 __ __．
12．如图，点P(x，y)在双曲线y＝的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的表达式为 __ __．
13．(2023·扬州)某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V(m3)的反比例函数，且当V＝3 m3时，p＝8000 Pa.当气球内的气体压强大于40000 Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 __ __ m3.
14．(济宁中考)如图，A是双曲线y＝(x>0)上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是 __ __．
15．如图，已知直线y＝x与双曲线y＝(k＞0)交于A，B两点，点A的横坐标为3，则下列结论：①k＝6；②点A与点B关于原点O中心对称；③关于x的不等式x－＜0的解集为0＜x＜3；④若双曲线y＝(k＞0)上有一点C的纵坐标为6，则△AOC的面积为8.其中正确的结论有__ __．
三、解答题(共75分)
16．(8分)(河南中考)如图，反比例函数y＝(x>0)的图象经过点A(2，4)和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹)
(3)线段OA与(2)中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD.求证：CD∥AB.
17．(9分)(吉林中考)密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V(单位：m3)变化时，气体的密度ρ(单位：kg/m3)随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求密度ρ关于体积V的函数表达式；
(2)当V＝10 m3时，求该气体的密度ρ.
18．(9分)(2023·攀枝花)如图，点A(n，6)和B(3，2)是一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数y2＝(x＞0)的图象的两个交点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当x为何值时，y1＞y2
19．(9分)(2023·恩施州)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝x＋2交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线y＝(k≠0)在第一、三象限分别交于C，D两点，AB＝BC，连接CO，DO.
(1)求k的值；
(2)求△CDO的面积．
20．(9分)如图，一次函数y＝2x＋b与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于点A(1，4)，与y轴交于点B.
(1)k＝________，b＝________；
(2)连接并延长AO，与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于点C，点D在y轴上，若以O，C，D为顶点的三角形与△AOB相似，求点D的坐标．
21．(10分)如图所示，已知反比例函数y＝(x>0)的图象与反比例函数y＝(x<0)的图象关于y轴对称，A(1，4)，B(4，m)是函数y＝(x＞0)图象上的两点，连接AB，点C(－2，n)是函数y＝(x<0)图象上的一点，连接AC，BC.
(1)求m，n的值；
(2)求AB所在直线的表达式；
(3)求△ABC的面积．
22．(10分)(枣庄中考)为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5 mg/L.从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x(天) 3 5 6 9 …
硫化物的浓度y(mg/L) 4.5 2.7 2.25 1.5 …
(1)在整改过程中，当0≤x<3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L？为什么？
23．(11分)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝(x>0，k是常数，且k≠0)的图象经过A(2，6)，B(m，n)，其中m>2.过点A作x轴的垂线，垂足为点C，过点B作y轴的垂线，垂足为点D，AC与BD交于点E，连接AD，DC，CB.
(1)若△ABD的面积为3，求k的值和直线AB的表达式；
(2)求证：＝；
(3)若AD∥BC，求点B的坐标．单元测试(六) 反比例函数
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2023·重庆)反比例函数y＝－的图象一定经过的点是( C )
A．(1，4) B．(－1，－4) C．(－2，2) D．(2，2)
2．(2023·荆州)已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系(I＝).下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是( D )
3．(2023·广州)已知正比例函数y1＝ax的图象经过点(1，－1)，反比例函数y2＝的图象位于第一、三象限，则一次函数y＝ax＋b的图象一定不经过( C )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．(2023·通辽)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2) 在反比例函数y＝－的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是( D )
A．y1＋y2＜0 B．y1＋y2＞0 C．y1－y2＜0 D．y1－y2＞0
5．如图是反比例函数y＝的图象，点A(x，y)是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是( B )
A．1 B．
C．2 D．
6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝(其中a，b是常数，ab≠0)的大致图象是( A )
7．(2023·邵阳)如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，点B的坐标为(2，4)，则点E的坐标为( D )
A．(4，4) B．(2，2) C．(2，4) D．(4，2)
8．(2023·内蒙古)如图，直线y＝ax＋b(a≠0)与双曲线y＝(k≠0)交于点A(－2，4)和点B(m，－2)，则不等式0＜ax＋b＜的解集是( B )
A．－2＜x＜4 B．－2＜x＜0
C．x＜－2或0＜x＜4 D．－2＜x＜0或x＞4
9．(2023·怀化)如图，反比例函数y＝(k＞0)的图象与过点(－1，0)的直线AB相交于A，B两点．已知点A的坐标为(1，3)，点C为x轴上任意一点．如果S△ABC＝9，那么点C的坐标为( D )
A．(－3，0) B．(5，0)
C．(－3，0)或(5，0) D．(3，0)或(－5，0)
10．如图，点D是 OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠BDC＝120°，S△BCD＝，若反比例函数y＝(x<0)的图象经过C，D两点，则k的值是( C )
A．－6 B．－6 C．－12 D．－12
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 __k<2__．
12．如图，点P(x，y)在双曲线y＝的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的表达式为 __y＝－__．
13．(2023·扬州)某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V(m3)的反比例函数，且当V＝3 m3时，p＝8000 Pa.当气球内的气体压强大于40000 Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 __0.6__ m3.
14．(济宁中考)如图，A是双曲线y＝(x>0)上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是 __4__．
15．如图，已知直线y＝x与双曲线y＝(k＞0)交于A，B两点，点A的横坐标为3，则下列结论：①k＝6；②点A与点B关于原点O中心对称；③关于x的不等式x－＜0的解集为0＜x＜3；④若双曲线y＝(k＞0)上有一点C的纵坐标为6，则△AOC的面积为8.其中正确的结论有__①②④__．
三、解答题(共75分)
16．(8分)(河南中考)如图，反比例函数y＝(x>0)的图象经过点A(2，4)和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹)
(3)线段OA与(2)中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD.求证：CD∥AB.
解：(1)y＝ (2)如图，直线m即为所求 (3)∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝∠BAC，∵直线m垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠OAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠BAC，∴CD∥AB
17．(9分)(吉林中考)密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V(单位：m3)变化时，气体的密度ρ(单位：kg/m3)随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求密度ρ关于体积V的函数表达式；
(2)当V＝10 m3时，求该气体的密度ρ.
解：(1)设ρ＝，将(4，2.5)代入ρ＝，得2.5＝，解得k＝10，∴ρ＝ (2)将V＝10代入ρ＝，得ρ＝1.∴该气体的密度为1kg/m3
18．(9分)(2023·攀枝花)如图，点A(n，6)和B(3，2)是一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数y2＝(x＞0)的图象的两个交点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当x为何值时，y1＞y2
解：(1)将点B(3，2)代入y2＝，得m＝6，∴y2＝，将A(n，6)代入y2＝，得n＝1，∴A(1，6)，将A(1，6)和B(3，2)代入y1＝kx＋b，∴解得∴y1＝－2x＋8 (2)根据图象可得，当y1＞y2时，x的取值范围为：1＜x＜3
19．(9分)(2023·恩施州)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝x＋2交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线y＝(k≠0)在第一、三象限分别交于C，D两点，AB＝BC，连接CO，DO.
(1)求k的值；
(2)求△CDO的面积．
解：(1)在y＝x＋2中，令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝－2，∴A(0，2)，B(－2，0)，∵AB＝BC，∴A为BC中点，∴C(2，4)，把C(2，4)代入y＝，得4＝，解得k＝8，∴k的值为8 (2)由得或∴D(－4，－2)，∴S△CDO＝S△DOB＋S△COB＝×2×2＋×2×4＝2＋4＝6，∴△CDO的面积是6
20．(9分)如图，一次函数y＝2x＋b与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于点A(1，4)，与y轴交于点B.
(1)k＝________，b＝________；
(2)连接并延长AO，与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于点C，点D在y轴上，若以O，C，D为顶点的三角形与△AOB相似，求点D的坐标．
解：(1)4；2 (2)当点D落在y轴的正半轴上，则∠COD>∠ABO，∴两三角形不可能相似．当点D落在y轴的负半轴上，若△COD∽△AOB，∵CO＝AO，BO＝DO＝2，∴D(0，－2)；若△COD∽△BOA，则OD∶OA＝OC∶OB，∵OA＝CO＝，BO＝2，∴DO＝，∴D(0，－).综上所述，点D的坐标为(0，－2)，(0，－)
21．(10分)如图所示，已知反比例函数y＝(x>0)的图象与反比例函数y＝(x<0)的图象关于y轴对称，A(1，4)，B(4，m)是函数y＝(x＞0)图象上的两点，连接AB，点C(－2，n)是函数y＝(x<0)图象上的一点，连接AC，BC.
(1)求m，n的值；
(2)求AB所在直线的表达式；
(3)求△ABC的面积．
解：(1)m＝1，n＝2 (2)设直线AB所在的直线表达式为y＝kx＋b.把A(1，4)，B(4，1)代入，得解得∴AB所在直线的表达式为y＝－x＋5 (3)如图所示，分别过点A，B作x轴的平行线
，分别过点C，B作y轴的平行线，它们的交点分别是E，F，G.∴四边形EFBG是矩形．则AF＝3，BF＝3，AE＝3，EC＝2，CG＝1，GB＝6，EG＝3，∴S△ABC＝S矩形EFBG－S△AFB－S△AEC－S△CBG＝18－－3－3＝
22．(10分)(枣庄中考)为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5 mg/L.从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x(天) 3 5 6 9 …
硫化物的浓度y(mg/L) 4.5 2.7 2.25 1.5 …
(1)在整改过程中，当0≤x<3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L？为什么？
解：(1)设线段AC的函数表达式为：y＝kx＋b，把(0，12)，(3，4.5)代入，得解得∴线段AC的函数表达式为：y＝－2.5x＋12(0≤x<3) (2)∵3×4.5＝5×2.7＝…＝13.5，∴y是关于x的反比例函数，∴y＝(x≥3) (3)当x＝15时，y＝＝0.9，∵13.5>0，∴y随x的增大而减小，∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L
23．(11分)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝(x>0，k是常数，且k≠0)的图象经过A(2，6)，B(m，n)，其中m>2.过点A作x轴的垂线，垂足为点C，过点B作y轴的垂线，垂足为点D，AC与BD交于点E，连接AD，DC，CB.
(1)若△ABD的面积为3，求k的值和直线AB的表达式；
(2)求证：＝；
(3)若AD∥BC，求点B的坐标．
解：(1)∵函数y＝(x＞0，k是常数，且k≠0)的图象经过A(2，6)，B(m，n)，m>2，∴k＝2×6＝12，∴mn＝12①，BD＝m，AE＝6－n.∵△ABD的面积为3，∴BD·AE＝3，∴m(6－n)＝3②.联立①②，解得m＝3，n＝4，∴B(3，4).设直线AB的表达式为y＝ax＋b(a≠0)，把A(2，6)，B(3，4)代入，得解得∴直线AB的表达式为y＝－2x＋10 (2)∵A(2，6)，B(m，n)，∴BE＝m－2，CE＝n，DE＝2，AE＝6－n，∴DE·AE＝2(6－n)＝12－2n，BE·CE＝n(m－2)＝mn－2n＝12－2n，∴DE·AE＝BE·CE，∴＝ (3)由(2)知，＝.∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴△DEC∽△BEA，∴∠CDE＝∠ABE，∴AB∥CD.∵AD∥BC，∴四边形ADCB是平行四边形．又∵AC⊥BD，∴四边形ADCB是菱形，∴DE＝BE，CE＝AE.∴B(4，3)
