单元测试(三) 概率的进一步认识
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．在做抛硬币试验时，甲、乙两个小组画出折线统计图后发现频率的稳定值分别是50.00%和50.02%，则下列说法错误是( A )
A．乙同学的试验结果是错误的 B．这两种试验结果都是正确的
C．增加试验次数可以减小稳定值的差异 D．同一个试验的稳定值不是唯一的
2．有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5.把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为( C )
A． B． C． D．
3．(2023·河南)为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为( B )
A． B． C． D．
4．(济南中考)某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是( C )
A． B． C． D．
5．小明和同学做抛掷质地均匀的硬币试验获得的数据如表：
抛掷次数 100 200 300 500 400
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近( C )
A．20 B．300 C．500 D．800
6．有两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成如图所示的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下列说法正确的是( D )
A．两个转盘转出蓝色的概率一样大
B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了
C．先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同
D．游戏者配成紫色的概率为
7．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有( D )
A．16个 B．15个 C．13个 D．12个
8．(烟台中考)如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是( B )
A． B． C． D．1
9．同时抛掷A，B两个均匀的小立方体(每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，设两立方体朝上的数字分别为x，y，并以此确定点P(x，y)，那么点P落在直线y＝－2x＋9的概率为( B )
A． B． C． D．
10．(武汉中考)班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是( C )
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．(2023·锦州)一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为__15__．
12．(聊城中考)如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，－1；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，－2，－3.如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y(当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘)，那么点(x，y)落在直角坐标系第二象限的概率是 ____．
13．(2023·湖北)有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后(不放回)，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为____．
14．小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个自然数，然后同时呈现出来．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；否则，小亮获胜．这个游戏对双方__公平__．(填“公平”或“不公平”)
15．有两个不透明的盒子，第一个盒子中有3张卡片，上面的数字分别为1，2，2；第二个盒子中有5张卡片，上面的数字分别为1，2，2，3，3.这些卡片除了数字不同外，其他都相同，从每个盒子中各抽出一张，都抽到卡片数字是2的概率为____．
三、解答题(共75分)
16．(8分)(2023·镇江)一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球后，不放回，将袋中剩余的球搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到红球的概率．
解：画树状图如图，
一共有6种等可能的结果，其中2次都摸到红球的有2种，∴P(2次都摸到红球)＝＝
17．(9分)(2023·云南)甲、乙两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，各自随机选择种植辣椒、种植茄子、种植西红柿三种中的一种，记种植辣椒为A，种植茄子为B，种植西红柿为C.假设这两名同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y.
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求(x，y)所有可能出现的结果总数；
(2)求甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率P.
解：(1)画树状图如图，
共有9种等可能的结果，分别为(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C) (2)由(1)可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的结果有3种，∴甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率P＝＝
18．(9分)(遵义中考)如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形(两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同)，转盘甲上的数字分别是－6，－1，8，转盘乙上的数字分别是－4，5，7(规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次).
(1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是________；转盘乙指针指向正数的概率是________；
(2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或树状图法求满足a＋b＜0的概率．
解：(1)转盘甲被等分为3份，其中1份标有正数，所以转动转盘甲1次，指针指向正数的概率是，转盘乙也被等分为3份，其中2份标有正数，所以转动转盘乙1次，指针指向正数的概率是，故答案为：， (2)同时转动两个转盘，指针所指的数字所有可能出现的结果如表：
ab －6 －1 8
－4 －6－4＝－10 －1－4＝－5 8－4＝4
5 －6＋5＝－1 －1＋5＝4 8＋5＝13
7 －6＋7＝1 －1＋7＝6 8＋7＝15
共有9种等可能出现的结果，其中两个转盘指针所指数字之和为负数的结果有3种，所以同时转动两个转盘，指针所指数字之和为负数的概率为＝，即满足a＋b＜0的概率为
19．(9分)小明与小亮玩游戏，如图，两组相同的卡片，每组三张，第一组卡片正面分别标有数字1，3，5；第二组卡片正面分别标有数字2，4，6.他们将卡片背面朝上，分组充分洗匀后，从每组卡片中各摸出一张，称为一次游戏．当摸出的两张卡片的正面数字之积小于10，则小明获胜；当摸出的两张卡片的正面数字之积超过10，则小亮获胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．
解：这个游戏规则对双方公平，理由如下：
画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中摸出的两张卡片的正面数字之积小于10的结果有4种，摸出的两张卡片的正面数字之积超过10的结果有4种，所以小明获胜的概率＝，小亮获胜的概率＝.所以这个游戏规则对双方公平
20．(9分)将图中的A型，B型，C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
(1)搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率；
(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回)，再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求两次摸出的盒子中的纸片能拼成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接).
解：(1)搅匀后从中摸出1个盒子有3种等可能的结果，所以摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率为 (2)画树状图如图，
由树状图知，共有6种等可能结果，其中2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的有4种结果，所以两次摸出的盒子中的纸片能拼成一个新矩形的概率为＝
21．(10分)传球是足球队常规训练的重要项目之一．训练课上，甲、乙、丙三人相互之间进行传球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，共进行两次传球．
(1)请列举出两次传球的所有等可能情况；
(2)求两次传球后，球回到甲手中的概率；
(3)两次传球后，球传到乙手中的概率大还是传到丙手中的概率大？请说明理由．
解：(1)树状图如图所示，共有4种等可能的情况
(2)两次传球后，球回到甲手中的概率为＝ (3)两次传球后，球传到乙手中的概率为，传到丙手中的概率为，所以两次传球后，球传到乙手中的概率和丙手中的概率一样大
22．(10分)随机抛掷图中均匀的正四面体(正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字)，并且自由转动图中的转盘(转盘被分成面积相等的五个扇形区域).
(1)求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率；
(2)设正四面体着地的数字为a，转盘指针所指区域内的数字为b，求关于x的方程ax2＋3x＋＝0有实数根的概率．
解：(1)画树状图如图：
总共有20种等可能出现的结果，正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的有3种，所以正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率为 (2)∵方程ax2＋3x＋＝0 有实数根的条件为Δ＝9－ab≥0，即ab≤9，由树状图知满足ab≤9的结果共有14种，∴关于x的方程ax2＋3x＋＝0有实数根的概率为＝
23．(11分)(2023·营口)某校在评选“劳动小能手”活动中，随机调查了部分学生的周末家务劳动时间，根据调查结果，将劳动时长划分为A，B，C，D四个组别，并绘制成了不完整统计图表．
学生周末家务劳动时长分组表
汈汈汈汈汈
组别 A B C D
t(小时) t＜0.5 0.5≤t＜1 1≤t＜1.5 t≥1.5
请根据图表中的信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查共抽取 __50__名学生，条形统计图中的a＝__9__，D组所在扇形的圆心角的度数是 __108°__；
(2)已知该校有900名学生，根据调查结果，请你估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有多少人？
(3)班级准备从周末家务劳动时间较长的三男一女四名学生中，随机抽取两名学生参加“我劳动，我快乐”的主题演讲活动，请用列表法或画树状图法求出恰好选中两名男生的概率．
解：(1)这次抽样调查共抽取的学生人数为22÷44%＝50(名)，∴A组的人数为50×8%＝4(名)，∴条形统计图中的a＝50－4－22－15＝9，D组所在扇形的圆心角的度数为360°××108°，故答案为：50，9，108° (2)900×＝666(人)，答：估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有666人 (3)画树状图如图，
共有12种等可能的结果，其中恰好选中两名男生的结果有6种，∴恰好选中两名男生的概率为＝单元测试(三) 概率的进一步认识
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．在做抛硬币试验时，甲、乙两个小组画出折线统计图后发现频率的稳定值分别是50.00%和50.02%，则下列说法错误是( )
A．乙同学的试验结果是错误的 B．这两种试验结果都是正确的
C．增加试验次数可以减小稳定值的差异 D．同一个试验的稳定值不是唯一的
2．有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5.把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为( )
A． B． C． D．
3．(2023·河南)为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为( )
A． B． C． D．
4．(济南中考)某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是( )
A． B． C． D．
5．小明和同学做抛掷质地均匀的硬币试验获得的数据如表：
抛掷次数 100 200 300 500 400
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近( )
A．20 B．300 C．500 D．800
6．有两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成如图所示的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下列说法正确的是( )
A．两个转盘转出蓝色的概率一样大
B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了
C．先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同
D．游戏者配成紫色的概率为
7．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有( )
A．16个 B．15个 C．13个 D．12个
8．(烟台中考)如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是( )
A． B． C． D．1
9．同时抛掷A，B两个均匀的小立方体(每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，设两立方体朝上的数字分别为x，y，并以此确定点P(x，y)，那么点P落在直线y＝－2x＋9的概率为( )
A． B． C． D．
10．(武汉中考)班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是( )
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．(2023·锦州)一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为__ __．
12．(聊城中考)如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，－1；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，－2，－3.如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y(当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘)，那么点(x，y)落在直角坐标系第二象限的概率是 __ __．
13．(2023·湖北)有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后(不放回)，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为__ __．
14．小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个自然数，然后同时呈现出来．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；否则，小亮获胜．这个游戏对双方__ __．(填“公平”或“不公平”)
15．有两个不透明的盒子，第一个盒子中有3张卡片，上面的数字分别为1，2，2；第二个盒子中有5张卡片，上面的数字分别为1，2，2，3，3.这些卡片除了数字不同外，其他都相同，从每个盒子中各抽出一张，都抽到卡片数字是2的概率为__ __．
三、解答题(共75分)
16．(8分)(2023·镇江)一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球后，不放回，将袋中剩余的球搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到红球的概率．
17．(9分)(2023·云南)甲、乙两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，各自随机选择种植辣椒、种植茄子、种植西红柿三种中的一种，记种植辣椒为A，种植茄子为B，种植西红柿为C.假设这两名同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y.
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求(x，y)所有可能出现的结果总数；
(2)求甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率P.
18．(9分)(遵义中考)如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形(两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同)，转盘甲上的数字分别是－6，－1，8，转盘乙上的数字分别是－4，5，7(规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次).
(1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是________；转盘乙指针指向正数的概率是________；
(2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或树状图法求满足a＋b＜0的概率．
19．(9分)小明与小亮玩游戏，如图，两组相同的卡片，每组三张，第一组卡片正面分别标有数字1，3，5；第二组卡片正面分别标有数字2，4，6.他们将卡片背面朝上，分组充分洗匀后，从每组卡片中各摸出一张，称为一次游戏．当摸出的两张卡片的正面数字之积小于10，则小明获胜；当摸出的两张卡片的正面数字之积超过10，则小亮获胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．
20．(9分)将图中的A型，B型，C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
(1)搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率；
(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回)，再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求两次摸出的盒子中的纸片能拼成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接).
21．(10分)传球是足球队常规训练的重要项目之一．训练课上，甲、乙、丙三人相互之间进行传球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，共进行两次传球．
(1)请列举出两次传球的所有等可能情况；
(2)求两次传球后，球回到甲手中的概率；
(3)两次传球后，球传到乙手中的概率大还是传到丙手中的概率大？请说明理由．
22．(10分)随机抛掷图中均匀的正四面体(正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字)，并且自由转动图中的转盘(转盘被分成面积相等的五个扇形区域).
(1)求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率；
(2)设正四面体着地的数字为a，转盘指针所指区域内的数字为b，求关于x的方程ax2＋3x＋＝0有实数根的概率．
23．(11分)(2023·营口)某校在评选“劳动小能手”活动中，随机调查了部分学生的周末家务劳动时间，根据调查结果，将劳动时长划分为A，B，C，D四个组别，并绘制成了不完整统计图表．
学生周末家务劳动时长分组表
汈汈汈汈汈
组别 A B C D
t(小时) t＜0.5 0.5≤t＜1 1≤t＜1.5 t≥1.5
请根据图表中的信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查共抽取 __ __名学生，条形统计图中的a＝__ __，D组所在扇形的圆心角的度数是 __ __；
(2)已知该校有900名学生，根据调查结果，请你估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有多少人？
(3)班级准备从周末家务劳动时间较长的三男一女四名学生中，随机抽取两名学生参加“我劳动，我快乐”的主题演讲活动，请用列表法或画树状图法求出恰好选中两名男生的概率．
