单元测试(四) 图形的相似
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．已知＝，那么下列等式中，不一定正确的是( A )
A．x＋y＝5 B．2x＝3y C．＝ D．＝
2．如图所示，l1∥l2∥l3，已知AB＝6 cm，BC＝3 cm，A1B1＝4 cm，则线段B1C1的长为( D )
A．6 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm
3．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，那么与△ABC相似的三角形的个数有( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．(哈尔滨中考)如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为( C )
A． B．4 C． D．6
5．如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为( A )
A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)
6．(2023·东营)如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为( C )
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
7．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为( C )
A．5 B．6 C． D．
8．(2023·内江)如图，在△ABC中，点D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为( C )
A．1 B． C．2 D．3
9．如图，点E是AB的中点，AC＝5，BD＝2.若∠A＝∠CED＝∠B，则AB的长为( C )
A．7 B． C．2 D．10
10．(扬州中考)如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F.下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正确结论的序号是( D )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．如果四条线段m，n，x，y成比例，若m＝2，n＝8，y＝20，则线段x的长为__5__．
12．若△ABC∽△A′B′C′，且AB∶A′B′＝3∶4，△ABC的周长为12 cm，则△A′B′C′的周长为__16_cm__．
13．(2023·镇江)如图，用一个卡钳(AD＝BC，＝＝)测量某个零件的内孔直径AB，量得CD长度为6 cm，则AB等于 __18__ cm.
14．(2023·潍坊)在《数书九章》(宋·秦九韶)中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB，CD，EF在同一平面内，点A，C，E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 __18.2__米．
15．(2023·辽宁)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DA的延长线于点E，连接OE，交AB于点F，则四边形BCOF的面积与△AEF的面积的比值为 ____．
三、解答题(共75分)
16．(8分)(盐城中考)如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D，D′分别在边BC，B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若 __③(答案不唯一)__，则△ABD∽△A′B′D′.
请从①＝；②＝；③∠BAD＝∠B′A′D′这3个选项中选择一个作为条件(写序号)，并加以证明．
解：③.理由如下：∵△ACD∽△A′C′D′，∴∠ADC＝∠A′D′C′，∴∠ADB＝∠A′D′B′，∵∠BAD＝∠B′A′D′，∴△ABD∽△A′B′D′.同理，选①也可以．故答案是：③(答案不唯一)
17．(9分)(河池中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(2，3)，C(1，2).
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2∶1，并写出点B2的坐标．
解：(1)如图，△A1B1C1即为所作 (2)如图，△A2B2C2即为所作，点B2的坐标为(－4，－6)
18．(9分)(2023·邵阳)如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6，DE＝4.
(1)求证：△ABC∽△DEB.
(2)求线段BD的长．
解：(1)∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°，∴∠C＝∠DBE，∴△ABC∽△DEB (2)∵△ABC∽△DEB，∴＝，∴＝，∴BD＝3
19．(9分)(陕西中考)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB.
解：∵AD∥EG，∴∠ADO＝∠EGF，∵∠AOD＝∠EFG＝90°，∴△AOD∽△EFG，∴＝，即＝，∴AO＝15，同理得△BOC∽△AOD，∴＝，即＝，∴BO＝12，∴AB＝AO－BO＝15－12＝3(米)，答：旗杆的高AB是3米
20．(9分)(2023·杭州)在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点F.
(1)若ED＝，求DF的长；
(2)求证：AE·CF＝1；
(3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G.若EG＝ED，求ED的长.
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB＝AD＝BC＝CD＝1，∴△DEF∽△CBF，∴＝，∴＝，∴DF＝ (2)∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠F，又∵∠A＝∠BCD＝90°，∴△ABE∽△CFB，∴＝，∴AE·CF＝AB·BC＝1 (3)设EG＝ED＝x，则AE＝AD－ED＝1－x，BE＝BG＋GE＝BC＋GE＝1＋x，在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴1＋(1－x)2＝(1＋x)2，∴x＝，∴ED＝
21．(10分)如图所示，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M为AD的中点，连接CM交BD于点N，且ON＝1.
(1)求BD的长；
(2)若△CND的面积为2，求四边形ABNM的面积．
解：(1)∵在 ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，∴∠DMN＝∠BCN，∠MDN＝∠DBC.∴△MND∽△CNB，∴＝.∵M为AD的中点，∴MD＝AD＝BC，即＝，∴＝，即BN＝2DN.设OB＝OD＝x，即BD＝2x，BN＝OB＋ON＝x＋1，DN＝OD－ON＝x－1，∴x＋1＝2(x－1)，解得x＝3，∴BD＝2x＝6
(2)∵△MND∽△CNB，且相似比为1∶2，∴MN∶CN＝DN∶BN＝1∶2，∴S△MND＝S△CND＝1，S△CNB＝2S△CND＝4，∴S△ABD＝S△BCD＝S△CNB＋S△CND＝4＋2＝6，∴S四边形ABNM＝S△ABD－S△MND＝6－1＝5
22．(10分)(2023·泰安)如图，△ABC，△CDE是两个等腰直角三角形，EF⊥AD.
(1)当AF＝DF时，求∠AED的度数；
(2)求证：△EHG∽△ADG；
(3)求证：＝.
解：(1)∵△ABC，△CDE是两个等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∠CED＝∠CDE＝45°，∴∠CGE＝180°－∠ACB－∠CED＝90°，∵CE＝CD，∴AC垂直平分ED，∴AE＝AD，∵AF＝DF，EF⊥AD，∴AE＝DE，∴AD＝AE＝DE，∴△ADE为等边三角形，∴∠AED＝60° (2)由(1)得，∠CGE＝90°，∴CG⊥DE，∴∠AGD＝∠EGH＝∠AFH＝90°，∵∠AHF＝∠EHG，∴∠FAH＝∠HEG，∴△EHG∽△ADG
(3)如图，作AQ∥BC，交EF的延长线于点Q，∴△CHE∽△AHQ，∴＝，∠Q＝∠CEF，∠QAE＝∠AEB，∴＝，设∠GEH＝∠FAH＝α，由(1)知，AC是DE的垂直平分线，∴AE＝AD，∴∠EAG＝∠FAH＝α，∴∠AEB＝∠ACB＋∠EAG＝45°＋α，∵∠CEF＝∠CED＋∠GEH＝45°＋α，∴∠AEB＝∠CEF，∴∠Q＝∠QAE，∴AE＝EQ，∴＝
23．(11分)如图1所示，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．
(1)如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°.
①求证：△ABP∽△BCP；
②若PA＝3，PC＝4，求PB的长；
(2)如图2所示，已知锐角△ABC，分别以AB，AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于点P，连接AP.
①求∠CPD的度数；
②求证：点P为△ABC的费马点．
解：(1)①∵∠PAB＋∠PBA＝180°－∠APB＝60°，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC.又∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴△ABP∽△BCP ②由①可知△ABP∽△BCP.∴＝.∴PB2＝PA·PC＝12，∴PB＝2 (2)①如图，∵△ABE和△ACD是正三角形，∴AE＝AB，AC＝AD，∠EAB＝∠5＝60°.
∵∠EAC＝∠EAB＋∠BAC，∠BAD＝∠BAC＋∠5，∴∠EAC＝∠BAD.∴△ACE≌△ADB.∴∠2＝∠1.∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠5＝60° ②设AC与BD交于点F，由①可知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△ADF∽△PCF，∴AF∶PF＝DF∶CF.∴AF∶DF＝PF∶CF.∵∠AFP＝∠CFD，∴△AFP∽△DFC.∴∠APF＝∠ACD＝60°.由①可知∠CPD＝60°，∴∠APC＝∠CPD＋∠APF＝120°，∠BPC＝180°－∠CPD＝120°，∴∠APB＝360°－∠BPC－∠APC＝120°，∴点P为△ABC的费马点单元测试(四) 图形的相似
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．已知＝，那么下列等式中，不一定正确的是( )
A．x＋y＝5 B．2x＝3y C．＝ D．＝
2．如图所示，l1∥l2∥l3，已知AB＝6 cm，BC＝3 cm，A1B1＝4 cm，则线段B1C1的长为( )
A．6 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm
3．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，那么与△ABC相似的三角形的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．(哈尔滨中考)如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为( )
A． B．4 C． D．6
5．如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为( )
A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)
6．(2023·东营)如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为( )
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
7．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为( )
A．5 B．6 C． D．
8．(2023·内江)如图，在△ABC中，点D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为( )
A．1 B． C．2 D．3
9．如图，点E是AB的中点，AC＝5，BD＝2.若∠A＝∠CED＝∠B，则AB的长为( )
A．7 B． C．2 D．10
10．(扬州中考)如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F.下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正确结论的序号是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．如果四条线段m，n，x，y成比例，若m＝2，n＝8，y＝20，则线段x的长为__ __．
12．若△ABC∽△A′B′C′，且AB∶A′B′＝3∶4，△ABC的周长为12 cm，则△A′B′C′的周长为__ _ __．
13．(2023·镇江)如图，用一个卡钳(AD＝BC，＝＝)测量某个零件的内孔直径AB，量得CD长度为6 cm，则AB等于 __ __ cm.
14．(2023·潍坊)在《数书九章》(宋·秦九韶)中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB，CD，EF在同一平面内，点A，C，E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 __ __米．
15．(2023·辽宁)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DA的延长线于点E，连接OE，交AB于点F，则四边形BCOF的面积与△AEF的面积的比值为 __ __．
三、解答题(共75分)
16．(8分)(盐城中考)如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D，D′分别在边BC，B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若 __ __，则△ABD∽△A′B′D′.
请从①＝；②＝；③∠BAD＝∠B′A′D′这3个选项中选择一个作为条件(写序号)，并加以证明．
17．(9分)(河池中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(2，3)，C(1，2).
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2∶1，并写出点B2的坐标．
18．(9分)(2023·邵阳)如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6，DE＝4.
(1)求证：△ABC∽△DEB.
(2)求线段BD的长．
19．(9分)(陕西中考)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB.
20．(9分)(2023·杭州)在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点F.
(1)若ED＝，求DF的长；
(2)求证：AE·CF＝1；
(3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G.若EG＝ED，求ED的长.
21．(10分)如图所示，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M为AD的中点，连接CM交BD于点N，且ON＝1.
(1)求BD的长；
(2)若△CND的面积为2，求四边形ABNM的面积．
22．(10分)(2023·泰安)如图，△ABC，△CDE是两个等腰直角三角形，EF⊥AD.
(1)当AF＝DF时，求∠AED的度数；
(2)求证：△EHG∽△ADG；
(3)求证：＝.
23．(11分)如图1所示，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．
(1)如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°.
①求证：△ABP∽△BCP；
②若PA＝3，PC＝4，求PB的长；
(2)如图2所示，已知锐角△ABC，分别以AB，AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于点P，连接AP.
①求∠CPD的度数；
②求证：点P为△ABC的费马点．
