单元测试(一) 特殊平行四边形
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(滨州中考)下列命题，其中是真命题的是( )
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
2．如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度数是( )
A．40° B．60° C．80° D．100°
3．在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BD
D．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD
4．如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M，N是边AD上的两点，连接MO，NO，并分别延长交边BC于点M′，N′，则图中的全等三角形共有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
5．(2023·乐山)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝( )
A．2 B． C．3 D．4
6．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD交AD于点F，若EF＝3，AE＝5，则AD等于( )
A．6 B．7 C．8 D．9
7．(2023·常德)如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE.若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为( )
A．80° B．90° C．105° D．115°
8．如图，将边长为2 cm的菱形ABCD沿边AB所在直线翻折得到四边形ABEF，若∠DAB＝30°，则四边形CDFE的面积为( )
A．2 cm2 B．4 cm2 C．5 cm2 D．6 cm2
9．(2023·攀枝花)如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE∶PF＝1∶2时，则PC＝( )
A． B．2 C． D．
10．(2023·德阳)如图， ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是( )
A．1 B． C． D．3
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．已知矩形的一边长为6 cm，一条对角线的长为10 cm，则矩形的面积为 __ __cm2.
12．(2023·荆州)如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝__ __．
13．(达州中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为 __ __．
14．如图所示，正方形CEGF的顶点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且AB＝5，CE＝3，连接BG，DG，则图中阴影部分的面积是__ __．
15．(2023·河南)矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 __ __．
三、解答题(共75分)
16．(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA.求证：四边形AECF是正方形．
17．(9分)如图所示，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EF⊥EC，EF＝EC，DE＝2，矩形的周长为16，求AE的长．
18．(9分)(2023·湘西州)如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M，N，连接MD，BN.
(1)求证：∠DMN＝∠BNM；
(2)若∠BAC＝∠DAC.求证：四边形BMDN是菱形．
19．(9分)(2023·大庆)如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°.
(1)求证：四边形ACFD是矩形；
(2)若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．
20．(9分)如图所示，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．
21．(10分)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE.
(1)当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(2)在(1)的条件下，当∠A为多少度时，四边形BECD是正方形？请说明理由．
22．(10分)(2023·呼和浩特)如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC，BD交于点O，DE平分∠ADB交AC于点E，BF平分∠CBD交AC于点F，连接BE，DF.
(1)求证：∠1＝∠2；
(2)若四边形ABCD是菱形且AB＝2，∠ABC＝120°，求四边形BEDF的面积．
23．(11分)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC为一边向外作正方形ABFG，BCED，连接AD，CF，AD与CF交于点M.
(1)求证：△ABD≌△FBC；
(2)如图2，已知AD＝6，求四边形AFDC的面积；
(3)在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，当∠ACB≠90°时，c2≠a2＋b2.在任意△ABC中，c2＝a2＋b2＋k.就a＝3，b＝2的情形，探究k的取值范围(只需写出你得到的结论即可).单元测试(一) 特殊平行四边形
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(滨州中考)下列命题，其中是真命题的是( D )
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
2．如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度数是( C )
A．40° B．60° C．80° D．100°
3．在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( C )
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BD
D．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD
4．如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M，N是边AD上的两点，连接MO，NO，并分别延长交边BC于点M′，N′，则图中的全等三角形共有( C )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
5．(2023·乐山)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝( B )
A．2 B． C．3 D．4
6．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD交AD于点F，若EF＝3，AE＝5，则AD等于( B )
A．6 B．7 C．8 D．9
7．(2023·常德)如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE.若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为( C )
A．80° B．90° C．105° D．115°
8．如图，将边长为2 cm的菱形ABCD沿边AB所在直线翻折得到四边形ABEF，若∠DAB＝30°，则四边形CDFE的面积为( B )
A．2 cm2 B．4 cm2 C．5 cm2 D．6 cm2
9．(2023·攀枝花)如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE∶PF＝1∶2时，则PC＝( C )
A． B．2 C． D．
10．(2023·德阳)如图， ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是( A )
A．1 B． C． D．3
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．已知矩形的一边长为6 cm，一条对角线的长为10 cm，则矩形的面积为 __48__cm2.
12．(2023·荆州)如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝__3__．
13．(达州中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为 __52__．
14．如图所示，正方形CEGF的顶点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且AB＝5，CE＝3，连接BG，DG，则图中阴影部分的面积是__8__．
15．(2023·河南)矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 __2或1＋__．
三、解答题(共75分)
16．(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA.求证：四边形AECF是正方形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．∵OE＝OF，OA＝OC，OE＝OA，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，∴菱形AECF是正方形
17．(9分)如图所示，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EF⊥EC，EF＝EC，DE＝2，矩形的周长为16，求AE的长．
解：设CD＝x.∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠D＝90°.∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∴∠AFE＋∠AEF＝90°，∠AEF＋∠DEC＝90°，∴∠AFE＝∠DEC.∵EF＝CE，∴△AFE≌△DEC(AAS)，∴AE＝DC＝x.∵DE＝2，∴AD＝BC＝x＋2.∵矩形ABCD的周长为16，∴2(x＋x＋2)＝16，解得x＝3，即AE＝3
18．(9分)(2023·湘西州)如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M，N，连接MD，BN.
(1)求证：∠DMN＝∠BNM；
(2)若∠BAC＝∠DAC.求证：四边形BMDN是菱形．
证明：(1)连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵BM∥DN，∴∠MBO＝∠NDO，又∠BOM＝∠DON，∴△BOM≌△DON(ASA)，∴BM＝DN，∴四边形BMDN为平行四边形，∴BN∥DM，∴∠DMN＝∠BNM (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BCA＝∠DAC，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形
19．(9分)(2023·大庆)如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°.
(1)求证：四边形ACFD是矩形；
(2)若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，∵E为线段CD的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△FCE(AAS)，∴AE＝FE，∴四边形ACFD是平行四边形，∵∠ACF＝90°，∴四边形ACFD是矩形 (2)∵四边形ACFD是矩形，∴∠ACF＝∠CFD＝90°，AC＝DF，∵CD＝13，CF＝5，∴DF＝＝＝12，∵AE＝FE，∴S△CEF＝S△ACF＝××5×12＝15，S ABCD＝BC·AC＝5×12＝60，∵△ADE≌△FCE，∴S四边形ABCE＝S ABCD－S△CEF＝60－15＝45
20．(9分)如图所示，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：(1)在△ADE和△CDE中，∴△ADE≌△CDE(SSS).∴∠ADE＝∠CDE.∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD.∵AD＝CD，∴BC＝AD，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形 (2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC.∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝180°×＝45°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝90°.∴四边形ABCD是正方形
21．(10分)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE.
(1)当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(2)在(1)的条件下，当∠A为多少度时，四边形BECD是正方形？请说明理由．
解：(1)当点D是AB的中点时，四边形BECD是菱形．理由如下：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∵四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD.∵D为AB的中点，∴AD＝BD，∴BD＝CE.∵BD∥CE.∴四边形BECD是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝BD，∴四边形BECD是菱形 (2)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝45°.又∵四边形BECD是菱形，∴∠ABC＝∠DBE，∴∠DBE＝90°，∴四边形BECD是正方形
22．(10分)(2023·呼和浩特)如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC，BD交于点O，DE平分∠ADB交AC于点E，BF平分∠CBD交AC于点F，连接BE，DF.
(1)求证：∠1＝∠2；
(2)若四边形ABCD是菱形且AB＝2，∠ABC＝120°，求四边形BEDF的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OD＝OB，∴∠ADO＝∠CBO，∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，∴∠ODE＝∠ADO，∠OBF＝∠CBO，∴∠ODE＝∠OBF，∴DE∥BF，∵OD＝OB，∠DOE＝∠BOF，∴△ODE≌△OBF(ASA)，∴DE＝BF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BE∥DF，∴∠1＝∠2 (2)由(1)知△ODE≌△OBF(ASA)，∴OE＝OF，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥EF，OD＝OB，AD∥BC，∴四边形DEBF是菱形，∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∵AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝2，∠ADO＝60°，∴OD＝BD＝1，∵∠ODE＝∠ADO＝30°，∴OE＝OD＝，∴EF＝2OE＝，∴四边形BEDF的面积＝BD·EF＝×2×＝
23．(11分)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC为一边向外作正方形ABFG，BCED，连接AD，CF，AD与CF交于点M.
(1)求证：△ABD≌△FBC；
(2)如图2，已知AD＝6，求四边形AFDC的面积；
(3)在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，当∠ACB≠90°时，c2≠a2＋b2.在任意△ABC中，c2＝a2＋b2＋k.就a＝3，b＝2的情形，探究k的取值范围(只需写出你得到的结论即可).
解：(1)∵四边形ABFG，BCED是正方形，∴AB＝FB，CB＝DB，∠ABF＝∠CBD＝90°，∴∠ABF＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC，即∠ABD＝∠CBF.在△ABD和△FBC中，∴△ABD≌△FBC(SAS)
(2)如图，连接FD，设CF与AB交于点N.∵△ABD≌△FBC，∴AD＝FC，∠BAD＝∠BFC.∴∠AMF＝180°－∠BAD－∠CNA＝180°－(∠BFC＋∠BNF)＝180°－90°＝90°，∴AD⊥CF.∵AD＝6，∴FC＝AD＝6，∴S四边形AFDC＝AD·CF＝×6×6＝18 (3)在△ABC中，设BC＝a＝3，AC＝b＝2，AB＝c，∴a－b＜c＜a＋b，即1＜c＜5，∴1＜c2＜25，即1＜a2＋b2＋k＜25，∴1＜13＋k＜25，解得－12＜k＜12
