第二十二章 二次函数(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列函数解析式中，y是x的二次函数的是( C )
A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝－5x＋1
C．y＝－x2＋x－ D．y＝2x2－
2．二次函数y＝x2－4x＋3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( C )
A．1，4，3 B．0，4，3 C．1，－4，3 D．0，－4，3
3．抛物线y＝－(x－2)2－1的顶点坐标是( D )
A．(－2，1) B．(－2，－1) C．(2，1) D．(2，－1)
4．(2023·西藏)将抛物线y＝(x－1)2＋5平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2＋2x＋3，则平移的方向和距离是( D )
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
5．如表是二次函数y＝ax2＋bx－5的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程ax2＋bx－5＝0的一个根的取值范围是( A )
x … 1 1.1 1.2 1.3 14. …
y … －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 …
A.1.1～1.2 B．1～1.1 C．1.2～1.3 D．1.3～1.4
6．已知点A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)都在二次函数y＝ax2－2ax＋5(a＞0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系用“＜”表示为( A )
A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
7．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数y＝cx2＋ax＋b的图象大致是( B )
8．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x＋3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是( A )
A．y＝－(x－1)2－2 B．y＝－(x＋1)2－2
C．y＝－(x－1)2＋2 D．y＝－(x＋1)2＋2
9．从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h(米)与运动时间t(秒)之间的函数关系式为h＝－(t－3)2＋40，若后抛出的小球经过2.5秒比先抛出的小球高米，则抛出两个小球的间隔时间是( B )
A．1秒 B．1.5秒 C．2秒 D．2.5秒
10．(2023·营口)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x＝－1；③当－3＜x＜0时，ax2＋bx＋c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2＋bm≤a－b(m为任意实数)，其中正确的个数是( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．二次函数y＝2x2－6x＋3的对称轴为直线__x＝__．
12．如果抛物线y＝(m＋4)x2＋m经过原点，那么该抛物线的开口方向__向上__．(填“向上”或“向下”)
13．已知：二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是__(3，0)__．
x … －1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
14.冰雪运动越来越受大家的青睐，某运动员在自由式滑雪大跳台训练中从2 m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为x m，与跳台底部所在水平面的竖直高度为y m，y与x的函数关系式为y＝－x2＋x＋2(0≤x≤16)，当他与跳台边缘的水平距离为__6__m时，竖直高度达到最大值．
15．已知二次函数y＝－x2＋4x＋5及一次函数y＝－x＋b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象(如图所示)，当直线y＝－x＋b与新图象有4个交点时，b的取值范围是__－＜b＜－1__．
三、解答题(共75分)
16．(8分)已知关于x的二次函数的图象与坐标轴交于两点(－1，0)，(3，0)两点，且图象过点(0，3).
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)写出它的开口方向、对称轴．
解：(1)∵二次函数的图象交x轴于(－1，0)，(3，0)，∴设该二次函数的解析式为y＝a(x－3)(x＋1)(a≠0).将x＝0，y＝3代入，得3＝a(0－3)(0＋1)，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－3)(x＋1)，即y＝－x2＋2x＋3 (2)y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，所以这个函数的图象的开口向下，对称轴为直线x＝1
17．(8分)已知二次函数y＝x2－4mx＋3m2.(m≠0)
(1)求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2)若m＞0，且两交点间的距离为2，求m的值并直接写出y＞3时，x的取值范围.
解：(1)令y＝0，则x2－4mx＋3m2＝0(m≠0)，∵b2－4ac＝(－4m)2－4×1×3m2＝4m2＞0，∴方程x2－4mx＋3m2＝0有两个不相等的实数根．∴不论m为何值该函数图象与x轴总有两个公共点 (2)∵y＝x2－4mx＋3m2＝(x－m)(x－3m)，∴A(m，0)，B(3m，0).∵两交点间的距离为2且m＞0，∴3m－m＝2.∴m＝1.∴y＝x2－4x＋3，把y＝3代入y＝x2－4x＋3，得3＝x2－4x＋3，解得x＝0或x＝4，∵抛物线开口向上，∴y＞3时，x的取值范围x＜0或x＞4
18．(8分)二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(1，0)，C(0，3).
(1)求b，c的值；
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
(3)画出二次函数y＝x2＋bx＋c的图象，并根据图象在抛物线的对称轴上找点P，使得△ACP的周长最短(直接写出点P的坐标).
解：(1)将A，C坐标代入函数解析式，得解得
(2)由(1)知函数解析式为y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，图象的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x＝2
(3)如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，则点A与点B关于对称轴对称，连接BC，与对称轴的交点即为点P.求得直线BC的解析式为y＝－x＋3，当x＝2时，y＝－2＋3＝1，即P(2，1)
19．(9分)把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q.
(1)求顶点P的坐标；
(2)写出平移过程；
(3)求图中阴影部分的面积．
解：(1)平移后的抛物线解析式为y＝(x＋6)x＝x2＋3x＝(x＋3)2－，所以顶点P的坐标为(－3，－) (2)把抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向下平移个单位即可得到抛物线y＝(x＋3)2－ (3)图中阴影部分的面积＝S△OPQ＝×3×9＝
20．(10分)(2023·潍坊)工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，AB∥DE，AB与DE之间的距离为2米，AB＝3米，AF＝BC＝1米，∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠F＝135°.MH，HG，GN是工匠师傅画出的裁剪虚线．当MH的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是多少？
解：连接CF，∵AF＝BC＝1米，∠A＝∠B＝90°，CF∥AB，∴∠AFC＝∠BCF＝90°，∴四边形ABCF是矩形，∵四边形MNGH是矩形，∴∠HMN＝∠MNG＝90°，MH＝NG，∴∠HQF＝∠GPC＝90°，MQ＝AF＝NP＝BC＝1米，∵∠BCG＝∠AFH＝135°，∴∠HFQ＝∠GCP＝45°，∴FQ＝HQ，CP＝GP，∴FQ＝HQ＝MH－MQ＝MH－1，同理得：CP＝MH－1，∴AM＝NB＝MH－1，∴MN＝AB－AM－NB＝3－(MH－1)－(MH－1)＝5－2MH，∴S矩形MNGH＝MN·MH＝(5－2MH)·MH＝5MH－2MH2＝－2(MH－)2＋，∴当MH＝米时，铁皮的面积最大，最大值为平方米
21．(10分)(2023·朝阳)某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量y/件 … 36 34 32 …
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
(3)设销售这种文具每天获利w(元)，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，由所给函表格可知：解得故y与x的函数关系式为y＝－2x＋60
(2)根据题意，得(x－10)(－2x＋60)＝192，解得x1＝18，x2＝22，又∵10≤x≤19，∴x＝18，答：销售单价应为18元
(3)w＝(x－10)(－2x＋60)＝－2x2＋80x－600＝－2(x－20)2＋200，∵a＝－2＜0，∴抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝20，∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大，∴当x＝19时，w有最大值，w最大＝198.答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元
22．(10分)(2023·武汉)某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据如表．
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 …
飞行高度y/m 0 22 40 54 64 …
探究发现 x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围).
问题解决 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
(2)在安全线上设置回收区域MN，AM＝125 m，MN＝5 m．若飞机落到MN内(不包括端点M，N)，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
解：探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，设x＝kt，y＝at2＋bt，由题意得10＝2k，解得k＝5，∴x＝5t，y＝－t2＋12t 问题解决：(1)依题意，得－t2＋12t＝0.解得t1＝0(舍去)，t2＝24，当t＝24时，x＝120.答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m (2)设发射平台相对于安全线的高度为n m，飞机相对于安全线的飞行高度y′＝－t2＋12t＋n，∵125＜x＜130，∴125＜5t＜130，∴25＜t＜26.在y′＝－t2＋12t＋n中，当t＝25，y′＝0时，n＝12.5；当t＝26，y′＝0时，n＝26.∴12.5＜n＜26.答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5 m且小于26 m
23．(12分)(2023·达州)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
(3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意，得抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)，把C(0，3)代入，得－3a＝3，解得a＝－1，故抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3 (2)由点B，C的坐标得，直线BC的解析式为y＝－x＋3.如图，过点P作y轴的平行线交CB于点H，设点P(x，－x2＋2x＋3)，则点H(x，－x＋3)，则△PBC的面积＝S△PHC＋S△PHB＝PH·OB＝(－x2＋2x＋3＋x－3)＝－(x－)2＋
≤，即△PBC的面积的最大值为，此时点P(，) (3)存在，理由：设M(1，m)，N(s，t)，由点B，C的坐标得BC2＝18.点C向右平移3个单位再向下平移3个单位得到点B.同样，点M(N)向右平移3个单位再向下平移3个单位得到点N(M)，且CM＝BC(CN＝BC)，则或解得或即点N的坐标为：(4，－)或(4，)或(－2，＋3)或(－2，－＋3)第二十二章 二次函数(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列函数解析式中，y是x的二次函数的是( )
A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝－5x＋1
C．y＝－x2＋x－ D．y＝2x2－
2．二次函数y＝x2－4x＋3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A．1，4，3 B．0，4，3 C．1，－4，3 D．0，－4，3
3．抛物线y＝－(x－2)2－1的顶点坐标是( )
A．(－2，1) B．(－2，－1) C．(2，1) D．(2，－1)
4．(2023·西藏)将抛物线y＝(x－1)2＋5平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2＋2x＋3，则平移的方向和距离是( )
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
5．如表是二次函数y＝ax2＋bx－5的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程ax2＋bx－5＝0的一个根的取值范围是( )
x … 1 1.1 1.2 1.3 14. …
y … －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 …
A.1.1～1.2 B．1～1.1 C．1.2～1.3 D．1.3～1.4
6．已知点A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)都在二次函数y＝ax2－2ax＋5(a＞0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系用“＜”表示为( )
A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
7．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数y＝cx2＋ax＋b的图象大致是( )
8．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x＋3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是( )
A．y＝－(x－1)2－2 B．y＝－(x＋1)2－2
C．y＝－(x－1)2＋2 D．y＝－(x＋1)2＋2
9．从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h(米)与运动时间t(秒)之间的函数关系式为h＝－(t－3)2＋40，若后抛出的小球经过2.5秒比先抛出的小球高米，则抛出两个小球的间隔时间是( )
A．1秒 B．1.5秒 C．2秒 D．2.5秒
10．(2023·营口)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x＝－1；③当－3＜x＜0时，ax2＋bx＋c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2＋bm≤a－b(m为任意实数)，其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．二次函数y＝2x2－6x＋3的对称轴为直线__ __．
12．如果抛物线y＝(m＋4)x2＋m经过原点，那么该抛物线的开口方向__ __．(填“向上”或“向下”)
13．已知：二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是__ __．
x … －1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
14.冰雪运动越来越受大家的青睐，某运动员在自由式滑雪大跳台训练中从2 m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为x m，与跳台底部所在水平面的竖直高度为y m，y与x的函数关系式为y＝－x2＋x＋2(0≤x≤16)，当他与跳台边缘的水平距离为__ __m时，竖直高度达到最大值．
15．已知二次函数y＝－x2＋4x＋5及一次函数y＝－x＋b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象(如图所示)，当直线y＝－x＋b与新图象有4个交点时，b的取值范围是__ __．
三、解答题(共75分)
16．(8分)已知关于x的二次函数的图象与坐标轴交于两点(－1，0)，(3，0)两点，且图象过点(0，3).
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)写出它的开口方向、对称轴．
17．(8分)已知二次函数y＝x2－4mx＋3m2.(m≠0)
(1)求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2)若m＞0，且两交点间的距离为2，求m的值并直接写出y＞3时，x的取值范围.
18．(8分)二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(1，0)，C(0，3).
(1)求b，c的值；
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
(3)画出二次函数y＝x2＋bx＋c的图象，并根据图象在抛物线的对称轴上找点P，使得△ACP的周长最短(直接写出点P的坐标).
19．(9分)把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q.
(1)求顶点P的坐标；
(2)写出平移过程；
(3)求图中阴影部分的面积．
20．(10分)(2023·潍坊)工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，AB∥DE，AB与DE之间的距离为2米，AB＝3米，AF＝BC＝1米，∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠F＝135°.MH，HG，GN是工匠师傅画出的裁剪虚线．当MH的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是多少？
21．(10分)(2023·朝阳)某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量y/件 … 36 34 32 …
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
(3)设销售这种文具每天获利w(元)，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
22．(10分)(2023·武汉)某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据如表．
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 …
飞行高度y/m 0 22 40 54 64 …
探究发现 x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围).
问题解决 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
(2)在安全线上设置回收区域MN，AM＝125 m，MN＝5 m．若飞机落到MN内(不包括端点M，N)，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
23．(12分)(2023·达州)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
(3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
