第二十三章 图形的旋转 (时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2023·宜昌)我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是( )
2．(雅安中考)在平面直角坐标系中，点(a＋2，2)关于原点的对称点为(4，－b)，则ab的值为( )
A．－4 B．4 C．12 D．－12
3．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD(点C落在△AOB外)，若∠AOB＝30°，∠BOC＝10°，则最小旋转角度是( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
4．如图，在正方形网格中，将△ABC顺时针旋转后得到△A′B′C′，则下列4个点中能作为旋转中心的是( )
A．点P B．点Q C．点R D．点S
5．(2023·通辽)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为( )
A．24° B．28° C．48° D．66°
6．如图，Rt△ABC的顶点C的坐标为(1，0)，点A在x轴正半轴上，且AC＝2.将△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向左平移3个单位，则点A的对应点A′的坐标是( )
A．(－2，－2) B．(－1，－2) C．(－2，－3) D．(－1，3)
7．如图，在△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则以下结论中错误的是( )
A．BC＝B′C′ B．AC∥B′C′
C．B′C′⊥BB′ D．∠ABB′＝∠ACC′
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，AB′交CD于点E，且DE＝B′E，则AE的长为( )
A．3 B．2 C． D．
9．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为( )
A．6 B．6 C．9 D．9
10．(2023·泰安)如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为(－6，4)；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM.将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是( )
A．3 B．6－4 C．2－2 D．2
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB＝3，AE＝5，∠D＝90°，则AC＝__ __．
12．如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件__ __，使四边形ABCD为矩形．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝20°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，点B的对应点B′在边AC上(不与点A，C重合)，则∠AA′B′的度数为__ __°.
14．图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的正方形放在图②中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是__ __．
15．如图，Rt△OAB的顶点A(－2，4)在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为__ __．
三、解答题(共75分)
16．(8分)如图所示，四边形ABCD是正方形，AB＝10，CF＝4，△BCE旋转一定角度后得到△DCF.
(1)指出旋转中心、旋转的方向和旋转角度；
(2)求DE的长度．
17．(9分)(2023·宁波)在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形(顶点均在格点上).
(1)在图①中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB，再画出该三角形向右平移2个单位后的△P′A′B′；
(2)将图②中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A′B′C.
18．(9分)如图，已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC外一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ，CP，判断BQ与CP的数量关系，并证明你的结论．
19．(9分)如图，以点A为中心，把△ABC逆时针旋转120°，得到△AB′C′(点B，C的对应点分别为点B′，C′)，连接BB′，若AC′∥BB′，求∠CAB′的度数．
20．(9分)如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是(3，4)，将OP绕原点O逆时针旋转90°得到线段OM，求M的坐标和PM长度．
21．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，CD.
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．
22．(10分)(2023·德阳)将一副直角三角板DOE与AOC与叠放在一起，如图①，∠O＝90°，∠E＝45°，OD＞OC.在两三角板所在平面内，将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α(0°＜α＜90°)到△D1OE1位置，使OD1∥AC，如图②.
(1)求α的值；
(2)如图③，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转，使点E落在AC边上点E2处，点D落在点D2处，设E2D2交OD1于点G，OE1交AC于点H，若点G是E2D2的中点，试判断四边形OHE2G的形状，并说明理由．
23．(11分)如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点．
(1)观察猜想：图1中，△PMN的形状是__ __；
(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△PMN的形状是否发生改变？并说明理由；
(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请直接写出△PMN的周长的最大值．第二十三章 图形的旋转 (时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2023·宜昌)我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是( D )
2．(雅安中考)在平面直角坐标系中，点(a＋2，2)关于原点的对称点为(4，－b)，则ab的值为( D )
A．－4 B．4 C．12 D．－12
3．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD(点C落在△AOB外)，若∠AOB＝30°，∠BOC＝10°，则最小旋转角度是( C )
A．20° B．30° C．40° D．50°
4．如图，在正方形网格中，将△ABC顺时针旋转后得到△A′B′C′，则下列4个点中能作为旋转中心的是( A )
A．点P B．点Q C．点R D．点S
5．(2023·通辽)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为( C )
A．24° B．28° C．48° D．66°
6．如图，Rt△ABC的顶点C的坐标为(1，0)，点A在x轴正半轴上，且AC＝2.将△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向左平移3个单位，则点A的对应点A′的坐标是( A )
A．(－2，－2) B．(－1，－2) C．(－2，－3) D．(－1，3)
7．如图，在△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则以下结论中错误的是( C )
A．BC＝B′C′ B．AC∥B′C′
C．B′C′⊥BB′ D．∠ABB′＝∠ACC′
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，AB′交CD于点E，且DE＝B′E，则AE的长为( D )
A．3 B．2 C． D．
9．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为( D )
A．6 B．6 C．9 D．9
10．(2023·泰安)如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为(－6，4)；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM.将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是( A )
A．3 B．6－4 C．2－2 D．2
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB＝3，AE＝5，∠D＝90°，则AC＝__2__．
12．如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件__∠B＝90°__，使四边形ABCD为矩形．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝20°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，点B的对应点B′在边AC上(不与点A，C重合)，则∠AA′B′的度数为__25__°.
14．图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的正方形放在图②中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是__③__．
15．如图，Rt△OAB的顶点A(－2，4)在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为__(，2)__．
三、解答题(共75分)
16．(8分)如图所示，四边形ABCD是正方形，AB＝10，CF＝4，△BCE旋转一定角度后得到△DCF.
(1)指出旋转中心、旋转的方向和旋转角度；
(2)求DE的长度．
解：(1)旋转中心为点C，顺时针旋转角度是90°(或逆时针旋转角度是270°) (2)根据旋转的性质可知：△CFD≌△CEB，∴CF＝CE(全等三角形的对应边相等)，∵CF＝4，∴CE＝CF＝4，又∵四边形ABCD是正方形，AB＝10，∴DC＝AB＝10，∴DE＝CD－CE＝6
17．(9分)(2023·宁波)在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形(顶点均在格点上).
(1)在图①中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB，再画出该三角形向右平移2个单位后的△P′A′B′；
(2)将图②中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A′B′C.
解：(1)如图①，△P′A′B′即为所求
(2)如图②，△A′B′C即为所求
18．(9分)如图，已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC外一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ，CP，判断BQ与CP的数量关系，并证明你的结论．
解：BQ＝CP，理由如下：∵∠QAP＝∠BAC，∴∠QAB＝∠PAC，∵AP＝AQ，AB＝AC，∠QAB＝∠PAC，∴△QAB≌△PAC(SAS)，∴BQ＝CP
19．(9分)如图，以点A为中心，把△ABC逆时针旋转120°，得到△AB′C′(点B，C的对应点分别为点B′，C′)，连接BB′，若AC′∥BB′，求∠CAB′的度数．
解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，∴∠AB′B＝(180°－120°)＝30°.∵AC′∥BB′，∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，∴∠CAB′＝∠CAC′－∠C′AB′＝120°－30°＝90°
20．(9分)如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是(3，4)，将OP绕原点O逆时针旋转90°得到线段OM，求M的坐标和PM长度．
解：如图，
作PA⊥x轴于点A，MB⊥x轴于点B，连接PM，∵点P的坐标是(3，4)，∴OA＝3，PA＝4，∴OP＝OM＝＝5，∵∠PAO＝∠MBO＝90°，∴∠APO＋∠AOP＝90°，∠AOP＋∠BOM＝90°，∴∠APO＝∠BOM，∵OP＝OM，∴△AOP≌△BMO(AAS)，∴OB＝PA＝4，MB＝OA＝3，∴点M的坐标为(－4，3)，PM＝5
21．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，CD.
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．
解：(1)∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，∴AE＝CE，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵D，E分别为AB，AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∵∠ACB＝90°，∴∠AED＝90°，∴DF⊥AC，∴四边形ADCF是菱形 (2)在Rt△ABC中，BC＝8，AC＝6，∴AB＝10，∵D是AB边上的中点，∴AD＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴AF＝FC＝AD＝5，∴四边形ABCF的周长为8＋10＋5＋5＝28
22．(10分)(2023·德阳)将一副直角三角板DOE与AOC与叠放在一起，如图①，∠O＝90°，∠E＝45°，OD＞OC.在两三角板所在平面内，将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α(0°＜α＜90°)到△D1OE1位置，使OD1∥AC，如图②.
(1)求α的值；
(2)如图③，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转，使点E落在AC边上点E2处，点D落在点D2处，设E2D2交OD1于点G，OE1交AC于点H，若点G是E2D2的中点，试判断四边形OHE2G的形状，并说明理由．
解：(1)∵OD1∥AC，∴∠A＝∠AOD1＝30°，∵将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α(0°＜α＜90°)到△D1OE1位置，∴α＝∠AOD1＝30°
(2)四边形OHE2G是正方形，理由如下：∵∠E2OD2＝90°，OD2＝OE2，点G是E2D2的中点，∴E2G＝OG，E2G⊥OG，∵OD1∥AC，∴∠GOH＝∠AHO＝90°，∠OGE2＝∠CE2G＝90°，∴四边形OHE2G是矩形，又∵E2G＝OG，∴四边形OHE2G是正方形
23．(11分)如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点．
(1)观察猜想：图1中，△PMN的形状是__等边三角形__；
(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△PMN的形状是否发生改变？并说明理由；
(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请直接写出△PMN的周长的最大值．
解：(2)△PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形．理由如下：连接CE，BD，∵AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点，∴PM∥CE，PM＝CE，PN∥BD，PN＝BD，∴PM＝PN，∠BPM＝∠BCE，∠CPN＝∠CBD，∴∠BPM＋∠CPN＝∠BCE＋∠CBD＝∠ABC－∠ABD＋∠ACB＋∠ACE＝60°＋60°＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN为等边三角形
(3)∵PN＝BD，∴当BD的值最大时，PN的值最大，∵AB－AD≤BD≤AB＋AD(当且仅当点B，A，D共线时取等号)，∴BD的最大值为1＋3＝4，∴PN的最大值为2，∴△PMN的周长的最大值为6
