第二十五章 概率初步(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列事件中，随机事件是( )
A．太阳从西方升起，东方落下 B．没有水分，种子发芽
C．买一张电影票，座位号是偶数号 D．13个人中至少有2人生肖相同
2．下列说法正确的是( )
A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨
B．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上，这次数学测试成绩也一定在90分以上
C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖
D．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯
3．(2023·贵州)在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球(除标记外其他都相同)放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是( )
A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大
C．摸出“高铁”小球的可能性最大 D．摸出三种小球的可能性相同
4．(2023·株洲)从6名男生和4名女生的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是( )
A． B． C． D．
5．(2023·连云港)如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为( )
A． B． C． D．
6．(2023·常德)我市神十五航天员张陆和他的两位战友已于2023年6月4日回到地球家园，神十六的三位航天员已在中国空间站开始值守，空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设神十六甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为( )
A． B． C． D．
7．(2023·北京)先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是( )
A． B． C． D．
8．有两把不同的钥匙和三把锁，其中两把钥匙分别能打开两把锁，且不能打开第三把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打不开锁的概率是( )
A． B． C． D．
9．(2023·呼和浩特)如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是( )
A． B． C． D．
10．(2023·安徽)如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为( )
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．(2023·湖州)在一个不透明的箱子里放有7个红球和3个黑球，它们除颜色外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是__ __．
12．(2023·扬州)某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000
发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2793
发芽的频率
(精确到0.001) 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
这种绿豆发芽的概率的估计值为__ __(精确到0.01).
13．(2023·山西)中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__ __．
14．在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是__ __．
15．如图，第(1)个图有1个黑球；第(2)个图为3个同样大小的球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第(3)个图为6个同样大小的球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色，……则从第(n)个图中随机取出一个球，是黑球的概率是__ __．
三、解答题(共75分)
16．(8分)(2023·长春)班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则如下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后放回，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图(或列表)的方法，求某同学获一等奖的概率．
17．(9分)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．
(1)先从袋子中取出m(m＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，请完成下列表格：
事件A 必然事件 随机事件
m的值 __ __ __ __
(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于，求m的值．
18．(9分)某校开展“紧跟伟大复兴领航人踔厉笃行”主题演讲比赛，演讲的题目有：《同甘共苦民族情》《民族团结一家亲，一起向未来》《画出最美同心圆》．赛前采用抽签的方式确定各班演讲题目，将演讲题目制成编号为A，B，C的3张卡片(如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同).现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片C的概率为________；
(2)若七(1)班从3张卡片中随机抽取1张，记下题目后放回洗匀，再由七(2)班从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班抽到不同卡片的概率．(这3张卡片分别用它们的编号A，B，C表示)
19．(9分)有A，B两组卡片，卡片上除数字外完全相同，A组有三张，分别标有数字1，2，－3.B组有两张，分别标有数字－1，2.小明闭眼从A组中随机抽出一张，记录其标有的数字为x，再从B组中随机抽出一张，记录其标有的数字为y，这样就确定点P的一个坐标为(x，y).
(1)用列表或画树状图的方法写出点P的所有可能坐标；
(2)求点P落在第一象限的概率．
20．(9分)(2023·广州)甲、乙两位同学相约打乒乓球．
(1)有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为A，B，C，D)，若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
(2)双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
21．(10分)小凯为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏．图中甲盘，乙盘是两个可以自由转动的转盘．甲盘分成3个大小相同的扇形，颜色分别为红，蓝，黄三种颜色；乙盘中蓝色扇形的圆心角是120°，其余区域均为红色，指针的位置固定．转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，若两个转盘的指针分别指向红色和蓝色区域，则认定“配紫色”成功，游戏参与者赢得游戏．
(1)若单独转动甲盘，则指针指向黄色的概率是多少？
(2)小涛同学同时转动甲盘和乙盘，请用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出她赢得游戏的概率．
22．(10分)(2023·福建)为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于五一期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次投资机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球(它们的大小质地与袋中的4个球完全相同)，然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；
(2)假如该顾客首次摸球并未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由．
23．(11分)(2023·辽宁)6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A(优秀)；B(良好)；C(中)；D(合格).并将统计结果绘制成如图两幅统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查的学生共有__ __名；
(2)补全条形统计图；
(3)该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
(4)在这次竞赛中，九年级(1)班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．第二十五章 概率初步(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列事件中，随机事件是( C )
A．太阳从西方升起，东方落下 B．没有水分，种子发芽
C．买一张电影票，座位号是偶数号 D．13个人中至少有2人生肖相同
2．下列说法正确的是( B )
A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨
B．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上，这次数学测试成绩也一定在90分以上
C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖
D．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯
3．(2023·贵州)在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球(除标记外其他都相同)放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是( C )
A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大
C．摸出“高铁”小球的可能性最大 D．摸出三种小球的可能性相同
4．(2023·株洲)从6名男生和4名女生的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是( B )
A． B． C． D．
5．(2023·连云港)如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为( B )
A． B． C． D．
6．(2023·常德)我市神十五航天员张陆和他的两位战友已于2023年6月4日回到地球家园，神十六的三位航天员已在中国空间站开始值守，空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设神十六甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为( B )
A． B． C． D．
7．(2023·北京)先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是( A )
A． B． C． D．
8．有两把不同的钥匙和三把锁，其中两把钥匙分别能打开两把锁，且不能打开第三把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打不开锁的概率是( B )
A． B． C． D．
9．(2023·呼和浩特)如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是( B )
A． B． C． D．
10．(2023·安徽)如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为( C )
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．(2023·湖州)在一个不透明的箱子里放有7个红球和3个黑球，它们除颜色外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是____．
12．(2023·扬州)某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000
发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2793
发芽的频率
(精确到0.001) 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
这种绿豆发芽的概率的估计值为__0.93__(精确到0.01).
13．(2023·山西)中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是____．
14．在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是____．
15．如图，第(1)个图有1个黑球；第(2)个图为3个同样大小的球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第(3)个图为6个同样大小的球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色，……则从第(n)个图中随机取出一个球，是黑球的概率是____．
三、解答题(共75分)
16．(8分)(2023·长春)班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则如下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后放回，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图(或列表)的方法，求某同学获一等奖的概率．
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次中的彩蛋颜色不同的结果有4种，∴某同学获一等奖的概率为
17．(9分)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．
(1)先从袋子中取出m(m＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，请完成下列表格：
事件A 必然事件 随机事件
m的值 __4__ __2，3__
(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于，求m的值．
解：(2)根据题意得：＝，解得m＝2，所以m的值为2
18．(9分)某校开展“紧跟伟大复兴领航人踔厉笃行”主题演讲比赛，演讲的题目有：《同甘共苦民族情》《民族团结一家亲，一起向未来》《画出最美同心圆》．赛前采用抽签的方式确定各班演讲题目，将演讲题目制成编号为A，B，C的3张卡片(如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同).现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片C的概率为________；
(2)若七(1)班从3张卡片中随机抽取1张，记下题目后放回洗匀，再由七(2)班从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班抽到不同卡片的概率．(这3张卡片分别用它们的编号A，B，C表示)
解：(1) (2)画树状图如图：
共有9种等可能的结果，其中七(1)班和七(2)班抽到不同卡片的结果有6种，∴这两个班抽到不同卡片的概率为＝
19．(9分)有A，B两组卡片，卡片上除数字外完全相同，A组有三张，分别标有数字1，2，－3.B组有两张，分别标有数字－1，2.小明闭眼从A组中随机抽出一张，记录其标有的数字为x，再从B组中随机抽出一张，记录其标有的数字为y，这样就确定点P的一个坐标为(x，y).
(1)用列表或画树状图的方法写出点P的所有可能坐标；
(2)求点P落在第一象限的概率．
解：(1)共有6种等可能的结果(画树状图略)，它们是(1，－1)，(1，2)，(2，－1)，(2，2)，(－3，－1)，(－3，2)
(2)点P落在第一象限的结果有2种，所以点P落在第一象限的概率＝＝
20．(9分)(2023·广州)甲、乙两位同学相约打乒乓球．
(1)有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为A，B，C，D)，若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
(2)双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
解：(1)画树状图如图：
一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，∴P(乙选中球拍C)＝＝ (2)公平．理由如下：
画树状图如图：
一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，∴P(甲先发球)＝＝，P(乙先发球)＝＝，∵P(甲先发球)＝P(乙先发球)，∴这个约定公平
21．(10分)小凯为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏．图中甲盘，乙盘是两个可以自由转动的转盘．甲盘分成3个大小相同的扇形，颜色分别为红，蓝，黄三种颜色；乙盘中蓝色扇形的圆心角是120°，其余区域均为红色，指针的位置固定．转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，若两个转盘的指针分别指向红色和蓝色区域，则认定“配紫色”成功，游戏参与者赢得游戏．
(1)若单独转动甲盘，则指针指向黄色的概率是多少？
(2)小涛同学同时转动甲盘和乙盘，请用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出她赢得游戏的概率．
解：(1)由题意得，单独转动甲盘，指针指向黄色的概率是 (2)由题意可知，乙盘中红色部分的面积是蓝色部分面积的2倍．列表如下：
红 红 蓝
红 (红，红) (红，红) (红，蓝)
蓝 (蓝，红) (蓝，红) (蓝，蓝)
黄 (黄，红) (黄，红) (黄，蓝)
共有9种等可能的结果．其中两个转盘的指针分别指向红色和蓝色区域的结果有：(红，蓝)，(蓝，红)，(蓝，红)，共3种，∴她赢得游戏的概率为＝
22．(10分)(2023·福建)为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于五一期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次投资机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球(它们的大小质地与袋中的4个球完全相同)，然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；
(2)假如该顾客首次摸球并未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由．
解：(1)顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果，记“首次摸得红球”为事件A，则事件A发生的结果只有1种，∴P(A)＝，∴顾客首次摸球中奖的概率为
(2)他应往袋中加入黄球；理由如下：记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
红 黄① 黄② 黄③ 新
红 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新
黄① 黄①，红 黄①，黄② 黄①，黄③ 黄①，新
黄② 黄②，红 黄②，黄① 黄②，黄③ 黄②，新
黄③ 黄③，红 黄③，黄① 黄③，黄② 黄③，新
新 新，红 新，黄① 新，黄② 新，黄③
共有20种等可能结果(ⅰ)若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率P1＝＝；(ⅱ)若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率P2＝＝；∵＜，∴P1＜P2，∴他应往袋中加入黄球
23．(11分)(2023·辽宁)6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A(优秀)；B(良好)；C(中)；D(合格).并将统计结果绘制成如图两幅统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查的学生共有__60__名；
(2)补全条形统计图；
(3)该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
(4)在这次竞赛中，九年级(1)班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．
解：(1)本次抽样调查的学生共有＝＝60(名)；故答案为：60 (2)C等级的人数为60－24－18－3＝15(名)，补图略 (3)1200×＝480(名)，答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名 (4)画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中一男一女的情况有8种，∴所选2人恰好是一男一女的概率为＝
