第二十一章 一元二次方程(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列方程是一元二次方程的是( )
A．(x－3)(x－2)＝x2 B．ax2＋bx＋c＝0
C．2x2＋＋1＝0 D．x2＋1＝0
2．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋mx－3＝0的一个根，则m的值是( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3．(2023·赤峰)用配方法解方程x2－4x－1＝0时，配方后正确的是( )
A．(x＋2)2＝3 B．(x＋2)2＝17
C．(x－2)2＝5 D．(x－2)2＝17
4．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的根，则 ABCD的周长为( )
A.4＋2 B．12＋6
C．2＋2 D．2＋或12＋6
5．要组织一次篮球赛，参赛的形式是单循环赛．根据时间和场地条件，整个赛程计划安排36场比赛，设比赛组织者应邀请x支球队参赛，则由题意可列方程( )
A．x(x－1)＝36 B．x(x－1)＝72
C．x(x＋1)＝72 D．x(x＋1)＝36
6．(2023·朝阳)若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k＞且k≠1 B．k＞ C．k≥且k≠1 D．k≥
7．一个面积为120 m2的矩形花圃，它的长比宽多2 m，则花圃的长是( )
A．10 m B．12 m C．13 m D．14 m
8．对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值是一个( )
A．正数 B．负数 C．非负数 D．不能确定
9．已知方程x2－14x＋48＝0的两根恰好是Rt△ABC的两边的长，则Rt△ABC的第三边长为( )
A．10 B．2 C．10或2 D．8
10．已知两个关于x的一元二次方程F1：ax2＋bx＋c＝0，F2：cx2＋bx＋a＝0，其中a≠c.给出下列判断：
①若方程F1有两个相等的实数根，则方程F2也必有两个相等的实数根；②若方程F1有两个异号实根，则方程F2也必有两个异号实根；③若3是方程F1的一个根，则必是方程F2的一个根；④若这两个方程有一个相同的根，则这个根必是1.
其中，正确的有( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．将方程(3x－2)(x＋1)＝8x－3化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则a＋b＋c＝__ __．
12．方程(x＋2)2＝3(x＋2)的解是__ __．
13．(2023·贵州)若一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个相等的实数根，则k的值是__ __．
14．(衢州中考)将一个容积为360 cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x(cm)满足的一元二次方程：__ __(不必化简).
15．(2023·鄂州)若实数a，b分别满足a2－3a＋2＝0，b2－3b＋2＝0，且a≠b，则＋＝__ __．
三、解答题(共75分)
16．(8分)解方程：
(1)x2－4x－5＝0；
(2)x2－3x－2＝0.
17．(8分)阅读下题的解题过程，请判断其是否正确，若有错误，请写出正确的答案．
解方程：x2＋2x＝3x＋6.
解：x(x＋2)＝3(x＋2)
两边同时除以x＋2，得x＝3
18．(8分)在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b＝a2－b2，根据这个规则求(x＋2)△5＝0中x的值．
19．(9分)某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量达到51.2万辆．
(1)求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率；
(2)若按此平均年增长率，请预估该品牌新能源汽车2024年销售量．
20．(10分)(2023·天门)已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0.
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若(2a＋b)(a＋2b)＝20，求m的值．
21．(10分)如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
(1)如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长；
(2)请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由．
22．(11分)三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件．
(1)A系列产品和B系列产品的单价各是多少？
(2)为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，则B系列产品的实际售价应定为多少元/件？
23．(11分)如图，在边长为12 cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1 cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2 cm的速度移动，若P，Q分别从A，B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：
(1)经过6秒后，PB＝__ __ cm，BQ＝__ __ cm；
(2)经过几秒后，△BPQ是直角三角形？
(3)经过几秒△BPQ的面积等于10 cm2 第二十一章 一元二次方程(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列方程是一元二次方程的是( D )
A．(x－3)(x－2)＝x2 B．ax2＋bx＋c＝0
C．2x2＋＋1＝0 D．x2＋1＝0
2．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋mx－3＝0的一个根，则m的值是( D )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3．(2023·赤峰)用配方法解方程x2－4x－1＝0时，配方后正确的是( C )
A．(x＋2)2＝3 B．(x＋2)2＝17
C．(x－2)2＝5 D．(x－2)2＝17
4．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的根，则 ABCD的周长为( A )
A.4＋2 B．12＋6
C．2＋2 D．2＋或12＋6
5．要组织一次篮球赛，参赛的形式是单循环赛．根据时间和场地条件，整个赛程计划安排36场比赛，设比赛组织者应邀请x支球队参赛，则由题意可列方程( B )
A．x(x－1)＝36 B．x(x－1)＝72
C．x(x＋1)＝72 D．x(x＋1)＝36
6．(2023·朝阳)若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( A )
A．k＞且k≠1 B．k＞ C．k≥且k≠1 D．k≥
7．一个面积为120 m2的矩形花圃，它的长比宽多2 m，则花圃的长是( B )
A．10 m B．12 m C．13 m D．14 m
8．对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值是一个( A )
A．正数 B．负数 C．非负数 D．不能确定
9．已知方程x2－14x＋48＝0的两根恰好是Rt△ABC的两边的长，则Rt△ABC的第三边长为( C )
A．10 B．2 C．10或2 D．8
10．已知两个关于x的一元二次方程F1：ax2＋bx＋c＝0，F2：cx2＋bx＋a＝0，其中a≠c.给出下列判断：
①若方程F1有两个相等的实数根，则方程F2也必有两个相等的实数根；②若方程F1有两个异号实根，则方程F2也必有两个异号实根；③若3是方程F1的一个根，则必是方程F2的一个根；④若这两个方程有一个相同的根，则这个根必是1.
其中，正确的有( A )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．将方程(3x－2)(x＋1)＝8x－3化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则a＋b＋c＝__－3__．
12．方程(x＋2)2＝3(x＋2)的解是__x1＝－2，x2＝1__．
13．(2023·贵州)若一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个相等的实数根，则k的值是____．
14．(衢州中考)将一个容积为360 cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x(cm)满足的一元二次方程：__15x(10－x)＝360__(不必化简).
15．(2023·鄂州)若实数a，b分别满足a2－3a＋2＝0，b2－3b＋2＝0，且a≠b，则＋＝____．
三、解答题(共75分)
16．(8分)解方程：
(1)x2－4x－5＝0；
解：x1＝－1，x2＝5
(2)x2－3x－2＝0.
解：x1＝，x2＝
17．(8分)阅读下题的解题过程，请判断其是否正确，若有错误，请写出正确的答案．
解方程：x2＋2x＝3x＋6.
解：x(x＋2)＝3(x＋2)
两边同时除以x＋2，得x＝3
解：不正确．因为不能判断x＋2是否为0，所以方程两边不能同时除以x＋2.
正确的解题过程为：x(x＋2)＝3(x＋2)，
x(x＋2)－3(x＋2)＝0，
(x－3)(x＋2)＝0，
∴x1＝3，x2＝－2
18．(8分)在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b＝a2－b2，根据这个规则求(x＋2)△5＝0中x的值．
解：由题意得(x＋2)△5＝(x＋2)2－52＝0，(x＋2)2＝25.两边直接开平方得：x＋2＝±5，即x＋2＝5或x＋2＝－5，解得x1＝3，x2＝－7
19．(9分)某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量达到51.2万辆．
(1)求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率；
(2)若按此平均年增长率，请预估该品牌新能源汽车2024年销售量．
解：(1)设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，根据题意得20(1＋x)2＝51.2，解得x＝0.6＝60%，x＝－2.6(不符合题意，舍去).答：从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为60% (2)根据题意得51.2×(1＋60%)＝81.92(万辆).答：预估该品牌新能源汽车2024年销售量为81.92万辆
20．(10分)(2023·天门)已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0.
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若(2a＋b)(a＋2b)＝20，求m的值．
解：(1)∵Δ＝[－(2m＋1)]2－4(m2＋m)＝4m2＋4m＋1－4m2－4m＝1＞0，∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根
(2)∵该方程的两个实数根为a，b，∴a＋b＝－＝2m＋1，ab＝＝m2＋m，∵(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋4ab＋ab＋2b2＝2(a2＋2ab＋b2)＋ab＝2(a＋b)2＋ab＝20，即2(2m＋1)2＋m2＋m＝20，整理，得m2＋m－2＝0，解得m1＝－2，m2＝1，∴m的值为－2或1
21．(10分)如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
(1)如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长；
(2)请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由．
解：(1)设边AB的长为x米，则AD＝77－4x＋3＝(80－4x)米，根据题意可得x(80－4x)＝300，解得x1＝5，x2＝15，∵墙的最大可用长度为30米，且当x＝5时，AD＝80－4×5＝60(米)，不合题意，∴x＝15.答：边AB的长为15米 (2)不能．理由：若羊圈的总面积能为440平方米，则结合(1)可得x(80－4x)＝440，整理，得x2－20x＋110＝0，∵Δ＝(－20)2－4×1×110＝－40＜0，方程无解，∴羊圈的总面积不能为440平方米
22．(11分)三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件．
(1)A系列产品和B系列产品的单价各是多少？
(2)为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，则B系列产品的实际售价应定为多少元/件？
解：(1)设A系列产品的单价是x元/件，则B系列产品的单价是(x＋5)元/件，根据题意得＝，解得x＝10，经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意，∴x＋5＝10＋5＝15(元).答：A系列产品的单价是10元/件，B系列产品的单价是15元/件 (2)设B系列产品的实际售价应定为y元/件，则每天可以卖50＋10(15－y)＝(200－10y)件，根据题意得y(200－10y)＝960，整理得y2－20y＋96＝0，解得y1＝8，y2＝12，又∵要尽可能让顾客得到实惠，∴y＝8.答：B系列产品的实际售价应定为8元/件
23．(11分)如图，在边长为12 cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1 cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2 cm的速度移动，若P，Q分别从A，B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：
(1)经过6秒后，PB＝__6__ cm，BQ＝__12__ cm；
(2)经过几秒后，△BPQ是直角三角形？
(3)经过几秒△BPQ的面积等于10 cm2
解：(1)由题意，得AP＝6 cm，BQ＝12 cm.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝12 cm，∴BP＝12－6＝6 (cm).故答案为：6；12
(2)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝12 cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，∴BP＝2BQ.设AP＝x，则BP＝12－x，BQ＝2x，∴12－x＝2×2x，∴x＝；当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°，∴BQ＝2PB，∴2x＝2(12－x)，∴x＝6.答：经过6秒或秒时，△BPQ是直角三角形
(3)作QD⊥AB于D，∴∠QDB＝90°，∴∠DQB＝30°，∴DB＝BQ＝x，在Rt△DBQ中，由勾股定理，得DQ＝x，∴＝10，解得x1＝10，x2＝2，∵x＝10时，2x＞12，不符合题意，故舍去，∴x＝2.答：经过2秒△BPQ的面积等于10 cm2
