一元二次方程
(时间：100分钟 满分：120分)
一、精心选一选(每小题3分，共30分)
1．下列各方程中，是一元二次方程的是( )
A．3x＋2＝3 B．x3＋2x＋1＝0
C．x2＝1 D．x2＋2y＝0
2．(2023·吉林)一元二次方程x2－5x＋2＝0根的判别式的值是( )
A．33 B．23 C．17 D．
3．(临沂中考)方程x2－2x－24＝0的根是( )
A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝－4
C．x1＝－6，x2＝4 D．x1＝－6，x2＝－4
4．(2023·兰州)关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，则b2－2(1＋2c)＝( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
5．若关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0通过配方法可以化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，则k的值不可能是( )
A．3 B．6 C．9 D．10
6．下列说法正确的是( )
A．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0
B．方程x2＝x的解是x＝1
C．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0，它的根是x＝
D．若x1，x2是方程3x2－2(m－1)x－6＝0的两个实数根，则x1x2＝－2
7．(2023·黑龙江)如图，在长为100 m，宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600 m2，则小路的宽是( )
A.5 m
B．70 m
C．5 m或70 m
D．10 m
8．若实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的解为( )
A．x1＝x2＝－2 B．x1＝－2，x2＝3
C．x1＝，x2＝ D．x1＝，x2＝
9．(2023·广州)已知关于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有两个实数根，则－()2的化简结果是( )
A．－1 B．1 C．－1－2k D．2k－3
10．对于两个关于x的一元二次方程：F1：ax2＋bx＋c＝0，F2：cx2＋bx＋a＝0，其中a≠c.给出下列判断：
①若方程F1有两个相等的实数根，则方程F2也必有两个相等的实数根；
②若方程F1有两个异号实根，则方程F2也必有两个异号实根；
③若3是方程F1的一个根，则必是方程F2的一个根；
④若这两个方程有一个相同的根，则这个根必是1.
其中，正确的有( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、细心填一填(每小题3分，共15分)
11．用因式分解法解一元二次方程(3x－4)2－25＝0时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是3x－4＋5＝0，则另一个方程是__ __．
12．(2023·泰州)关于x的一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根之和为__ __．
13．(2023·济南)关于x的一元二次方程x2－4x＋2a＝0有实数根，则a的值可以是__ __(写出一个即可).
14．(2023·牡丹江)张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是__ __．
15．已知m，n，5分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋1＝0的两个根，则k的值为__ __．
三、用心做一做(共75分)
16．(12分)用指定的方法解方程：
(1)(2x－1)2＝9(用直接开平方法)；
(2)(徐州中考)x2－2x－1＝0(用配方法)；
(3)(2x－1)2－x2＝0(用因式分解法)；
(4)2x2－10x＝3(用公式法).
17．(8分)用适当的方法解方程：
(1)x2－6x－18＝0；
(2)3x(2x＋1)＝4x＋2.
18．(8分)(2023·杭州)设一元二次方程x2＋bx＋c＝0.在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝－1；
④b＝2，c＝2.
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
19．(8分)已知关于x的一元二次方程x2－(m＋6)x＋3m＋9＝0.
(1)求证：该一元二次方程总有两个实数根；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若n＝4(x1＋x2)－x1x2，判断动点P(m，n)所形成的函数图象是否经过点A(1，16)，并说明理由．
20．(8分)如图，有一道长为25 m的墙，计划用总长为50 m的栅栏靠墙围成由三个小矩形组成的矩形花圃ABCD.若花圃ABCD的面积为150 m2，求AB的长．
21．(9分)(2023·郴州)随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
22．(10分)某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，当销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接五一国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
(1)设每件童装降价x元时，每天可销售__ __件；(用含x的代数式表示)
(2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？
(3)平均每天盈利能达到1600元吗？请说明理由．
23．(12分)(黄石中考)阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程(x2)2－13x2＋36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2－13y＋36＝0，经过运算，原方程的解为x1＝2，x2＝－2，x3＝3，x4＝－3.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m＋n＝1，mn＝－1.
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程x4－5x2＋6＝0的解为__ __；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：2a4－7a2＋1＝0，2b4－7b2＋1＝0且a≠b，求a4＋b4的值；
(3)拓展应用：
已知实数m，n满足：＋＝7，n2－n＝7且n>0，求＋n2的值．一元二次方程
(时间：100分钟 满分：120分)
一、精心选一选(每小题3分，共30分)
1．下列各方程中，是一元二次方程的是( C )
A．3x＋2＝3 B．x3＋2x＋1＝0
C．x2＝1 D．x2＋2y＝0
2．(2023·吉林)一元二次方程x2－5x＋2＝0根的判别式的值是( C )
A．33 B．23 C．17 D．
3．(临沂中考)方程x2－2x－24＝0的根是( B )
A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝－4
C．x1＝－6，x2＝4 D．x1＝－6，x2＝－4
4．(2023·兰州)关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，则b2－2(1＋2c)＝( A )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
5．若关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0通过配方法可以化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，则k的值不可能是( D )
A．3 B．6 C．9 D．10
6．下列说法正确的是( D )
A．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0
B．方程x2＝x的解是x＝1
C．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0，它的根是x＝
D．若x1，x2是方程3x2－2(m－1)x－6＝0的两个实数根，则x1x2＝－2
7．(2023·黑龙江)如图，在长为100 m，宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600 m2，则小路的宽是( A )
A.5 m
B．70 m
C．5 m或70 m
D．10 m
8．若实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的解为( D )
A．x1＝x2＝－2 B．x1＝－2，x2＝3
C．x1＝，x2＝ D．x1＝，x2＝
9．(2023·广州)已知关于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有两个实数根，则－()2的化简结果是( A )
A．－1 B．1 C．－1－2k D．2k－3
10．对于两个关于x的一元二次方程：F1：ax2＋bx＋c＝0，F2：cx2＋bx＋a＝0，其中a≠c.给出下列判断：
①若方程F1有两个相等的实数根，则方程F2也必有两个相等的实数根；
②若方程F1有两个异号实根，则方程F2也必有两个异号实根；
③若3是方程F1的一个根，则必是方程F2的一个根；
④若这两个方程有一个相同的根，则这个根必是1.
其中，正确的有( A )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、细心填一填(每小题3分，共15分)
11．用因式分解法解一元二次方程(3x－4)2－25＝0时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是3x－4＋5＝0，则另一个方程是__3x－4－5＝0__．
12．(2023·泰州)关于x的一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根之和为__－2__．
13．(2023·济南)关于x的一元二次方程x2－4x＋2a＝0有实数根，则a的值可以是__1(答案不唯一)__(写出一个即可).
14．(2023·牡丹江)张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是__20%__．
15．已知m，n，5分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋1＝0的两个根，则k的值为__4或8__．
三、用心做一做(共75分)
16．(12分)用指定的方法解方程：
(1)(2x－1)2＝9(用直接开平方法)；
解：直接开平方，得2x－1＝±3，解得x1＝－1，x2＝2
(2)(徐州中考)x2－2x－1＝0(用配方法)；
解：移项，得x2－2x＝1，配方，得x2－2x＋1＝2，即(x－1)2＝2，开方，得x－1＝±，解得x1＝1＋，x2＝1－
(3)(2x－1)2－x2＝0(用因式分解法)；
解：(2x－1＋x)(2x－1－x)＝0，即(3x－1)(x－1)＝0，∴x1＝1，x2＝
(4)2x2－10x＝3(用公式法).
解：x＝，∴x1＝，x2＝
17．(8分)用适当的方法解方程：
(1)x2－6x－18＝0；
解：x2－6x＋9＝27，(x－3)2＝27，x－3＝±3，∴x1＝3＋3，x2＝3－3
(2)3x(2x＋1)＝4x＋2.
解：3x(2x＋1)＝2(2x＋1)，(3x－2)(2x＋1)＝0，∴x1＝，x2＝－
18．(8分)(2023·杭州)设一元二次方程x2＋bx＋c＝0.在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝－1；
④b＝2，c＝2.
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＞0，即b2＞4c，∴②③均可，选②解方程，则这个方程为：x2＋3x＋1＝0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝；选③解方程，则这个方程为：x2＋3x－1＝0，∴x1＝，x2＝
19．(8分)已知关于x的一元二次方程x2－(m＋6)x＋3m＋9＝0.
(1)求证：该一元二次方程总有两个实数根；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若n＝4(x1＋x2)－x1x2，判断动点P(m，n)所形成的函数图象是否经过点A(1，16)，并说明理由．
解：(1)∵Δ＝[－(m＋6)]2－4(3m＋9)＝m2≥0，∴该一元二次方程总有两个实数根
(2)动点P(m，n)所形成的函数图象经过点A(1，16).理由如下：∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝3m＋9，∴n＝4(x1＋x2)－x1x2＝4(m＋6)－(3m＋9)＝m＋15.∴P(m，m＋15).∵当m＝1时，m＋15＝16，∴A(1，16)在动点P(m，n)所形成的函数图象上
20．(8分)如图，有一道长为25 m的墙，计划用总长为50 m的栅栏靠墙围成由三个小矩形组成的矩形花圃ABCD.若花圃ABCD的面积为150 m2，求AB的长．
解：设AB＝x m，则BC＝(50－4x)m，依题意，得x(50－4x)＝150，整理，得2x2－25x＋75＝0，解得x1＝5，x2＝.当x＝5时，50－4x＝50－4×5＝30＞25，不合题意，应舍去；当x＝时，50－4x＝50－4×＝20＜25，符合题意．∴x＝.答：AB的长为 m
21．(9分)(2023·郴州)随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
解：(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意可得1.6(1＋x)2＝2.5，解得x1＝0.25＝25%，x2＝－(不合题意，舍去)，答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25% (2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由题意可得：2.125＋10a≤2.5(1＋25%)，解得：a≤0.1，答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人
22．(10分)某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，当销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接五一国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
(1)设每件童装降价x元时，每天可销售__(20＋2x)__件；(用含x的代数式表示)
(2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？
(3)平均每天盈利能达到1600元吗？请说明理由．
解：(2)设每件童装降价y元，则(120－y－80)(20＋2y)＝1200，整理，得y2－30y＋200＝0，解得y1＝10，y2＝20.答：每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元 (3)平均每天盈利不能达到1600元，理由如下：设每件童装降价m元，则(120－m－80)(20＋2m)＝1600，整理得m2－30m＋400＝0.∵Δ＝(－30)2－4×1×400＝－700＜0，∴原方程无实数根．∴平均每天盈利不能达到1600元
23．(12分)(黄石中考)阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程(x2)2－13x2＋36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2－13y＋36＝0，经过运算，原方程的解为x1＝2，x2＝－2，x3＝3，x4＝－3.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m＋n＝1，mn＝－1.
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程x4－5x2＋6＝0的解为__x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－__；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：2a4－7a2＋1＝0，2b4－7b2＋1＝0且a≠b，求a4＋b4的值；
(3)拓展应用：
已知实数m，n满足：＋＝7，n2－n＝7且n>0，求＋n2的值．
解：(1)令y＝x2，则有y2－5y＋6＝0，∴(y－2)(y－3)＝0，∴y1＝2，y2＝3，∴x2＝2或3，∴x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－；故答案为：x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－
(2)∵a≠b，∴a2≠b2或a2＝b2，当a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n.∴m≠n，则2m2－7m＋1＝0，2n2－7n＋1＝0，∴m，n是方程2x2－7x＋1＝0的两个不相等的实数根，∴此时a4＋b4＝m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝；②当a2＝b2(a＝－b)时，a2＝b2＝，此时a4＋b4＝2a4＝2(a2)2＝，综上所述，a4＋b4＝或
(3)令＝a，－n＝b，则a2＋a－7＝0，b2＋b－7＝0，∵n>0，∴≠－n，即a≠b，∴a，b是方程x2＋x－7＝0的两个不相等的实数根，∴故＋n2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝15
