解直角三角形
(时间：100分钟 满分：120分)
一、精心选一选(每小题3分，共30分)
1．sin45°的值是( )
A． B． C． D．1
2．(桂林中考)如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连结OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是( )
A． B． C． D．
3．(2023·深圳)爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1 m耗能(1.025－cos α)J，若某人爬了1000 m，该坡角为30°，则他耗能(参考数据：≈1.732，≈1.414)( )
A．58 J B．159 J C．1025 J D．1732 J
4．在△ABC中，若sin A＝，tan B＝1，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．式子2sin60°－－的值是( )
A．2－2 B．0 C．2 D．2
6．(2023·陕西)如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点A，B，C都在格点上，则sin B的值为( )
A． B． C． D．
7．(2023·南通)如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( )
A．140 m B．160 m C．180 m D．200 m
8．(河南中考)如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连结DA，DC，则四边形ABCD的面积为( )
A.6 B．9 C．6 D．3
9．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1∶2.4.根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为(参考数据：≈1.732)( )
A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
10．(2023·赤峰)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6.点F是AB中点，连结CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别是( )
A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16
二、细心填一填(每小题3分，共15分)
11．(2023·郴州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，则CM＝__ __．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，△ABC的周长为18，则S△ABC＝__ __．
13．在△ABC中，若|2cos A－1|＋(－tan B)2＝0，则∠C＝__ __．
14．(2023·武汉)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是__ __cm(结果精确到0.1 cm，参考数据sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75).
15．(黔西南州中考)如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向．A，B之间的距离为80 n mile，则C岛到航线AB的最短距离约是__ _ _ __.(参考数据：≈1.4，≈1.7，保留整数结果)
三、用心做一做(共75分)
16．(8分)先化简，再求代数式(＋)÷的值，其中x＝cos30°＋.
17．(9分)(杭州中考)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连结CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.
(1)求证：CE＝CM.
(2)若AB＝4，求线段FC的长．
18．(9分)(2023·大庆)某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山顶P，其中AB＝400米，BP＝200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为15°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC.(结果精确到1米，参考数据：sin 15°≈0.259，cos 15°≈0.966，tan 15°≈0.268)
19.(9分)(2023·河南)综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30 cm，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A距地面1.8 m，到树EG的距离AF＝11 m，BH＝20 cm.求树EG的高度(结果精确到0.1 m).
20．(9分)(2023·长沙)2023年5月30日9点31分，神舟十六号载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8 km，仰角为30°；10 s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°.
(1)求点A离地面的高度AO；
(2)求飞船从A处到B处的平均速度．(结果精确到0.1 km/s，参考数据：≈1.73)
21．(10分)(2023·株洲)如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候绿灯，一辆轿车从被山峰POQ遮挡的道路②的点B处由南向北行驶．已知∠POQ＝30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，线段AO的延长线交直线BC于点D.
(1)求∠COD的大小；
(2)若在点B处测得点O在北偏西α方向上，其中tan α＝，OD＝12米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？(当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车)
22．(10分)(2023·重庆)为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A－D－C－B；②A－E－B.经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．(参考数据：≈1.41，≈1.73)
(1)求AD的长度；(结果精确到1千米)
(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？
23．(11分)(济宁中考)知识再现
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
∵sin A＝，sin B＝，
∴c＝，c＝.
∴＝.
拓展探究
(1)如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
请探究，，之间的关系，并写出探究过程；
解决问题
(2)如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60 m，∠A＝75°，∠C＝60°.请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 解直角三角形
(时间：100分钟 满分：120分)
一、精心选一选(每小题3分，共30分)
1．sin45°的值是( B )
A． B． C． D．1
2．(桂林中考)如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连结OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是( D )
A． B． C． D．
3．(2023·深圳)爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1 m耗能(1.025－cos α)J，若某人爬了1000 m，该坡角为30°，则他耗能(参考数据：≈1.732，≈1.414)( B )
A．58 J B．159 J C．1025 J D．1732 J
4．在△ABC中，若sin A＝，tan B＝1，则这个三角形是( A )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．式子2sin60°－－的值是( B )
A．2－2 B．0 C．2 D．2
6．(2023·陕西)如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点A，B，C都在格点上，则sin B的值为( A )
A． B． C． D．
7．(2023·南通)如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( B )
A．140 m B．160 m C．180 m D．200 m
8．(河南中考)如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连结DA，DC，则四边形ABCD的面积为( D )
A.6 B．9 C．6 D．3
9．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1∶2.4.根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为(参考数据：≈1.732)( A )
A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
10．(2023·赤峰)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6.点F是AB中点，连结CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别是( C )
A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16
二、细心填一填(每小题3分，共15分)
11．(2023·郴州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，则CM＝__5__．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，△ABC的周长为18，则S△ABC＝____．
13．在△ABC中，若|2cos A－1|＋(－tan B)2＝0，则∠C＝__60°__．
14．(2023·武汉)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是__2.7__cm(结果精确到0.1 cm，参考数据sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75).
15．(黔西南州中考)如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向．A，B之间的距离为80 n mile，则C岛到航线AB的最短距离约是__34_n_mile__.(参考数据：≈1.4，≈1.7，保留整数结果)
三、用心做一做(共75分)
16．(8分)先化简，再求代数式(＋)÷的值，其中x＝cos30°＋.
解：原式＝·＝x＋1，∵x＝cos30°＋＝×＋＝2，∴原式＝2＋1＝3
17．(9分)(杭州中考)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连结CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.
(1)求证：CE＝CM.
(2)若AB＝4，求线段FC的长．
解：(1)∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，∴MC＝MA＝MB，∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B，∵∠A＝50°，∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，∴∠EMC＝∠MCB＋∠B＝80°，∵∠ACE＝30°，∴∠MEC＝∠A＋∠ACE＝80°，∴∠MEC＝∠EMC，∴CE＝CM
(2)∵AB＝4，∴CE＝CM＝AB＝2，∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，∴FC＝CE·cos 30°＝
18．(9分)(2023·大庆)某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山顶P，其中AB＝400米，BP＝200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为15°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC.(结果精确到1米，参考数据：sin 15°≈0.259，cos 15°≈0.966，tan 15°≈0.268)
解：如图，过点B作BD⊥PC，垂足为D，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
由题意得：CD＝BE，在Rt△ABE中，∠A＝15°，AB＝400米，∴BE＝AB·sin 15°≈400×0.259＝103.6(米)，∴CD＝BE＝103.6米，在Rt△BDP中，∠PBD＝30°，BP＝200米，∴DP＝BP＝100(米)，∴PC＝PD＋DC≈204(米)，∴垂直高度PC约为204米
19.(9分)(2023·河南)综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30 cm，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A距地面1.8 m，到树EG的距离AF＝11 m，BH＝20 cm.求树EG的高度(结果精确到0.1 m).
解：由题意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝1.8 m，则∠EAF＋∠BAF＝∠BAF＋∠BAH＝90°，∴∠EAF＝∠BAH，∵AB＝30 cm，BH＝20 cm，则tan ∠BAH＝＝，∴tan ∠EAF＝＝tan ∠BAH＝，∵AF＝11 m，则＝，∴EF＝，∴EG＝EF＋FG＝＋1.8≈9.1(m).答：树EG的高度约为9.1 m
20．(9分)(2023·长沙)2023年5月30日9点31分，神舟十六号载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8 km，仰角为30°；10 s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°.
(1)求点A离地面的高度AO；
(2)求飞船从A处到B处的平均速度．(结果精确到0.1 km/s，参考数据：≈1.73)
解：(1)在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8 km，∴AO＝AC＝×8＝4(km) (2)在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8 km，∴OC＝AC＝4(km)，在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠BCO＝45°，∴∠BCO＝∠OBC＝45°，∴OB＝OC＝4(km)，∴AB＝OB－OA＝(4－4)km，∴飞船从A处到B处的平均速度＝≈0.3(km/s)
21．(10分)(2023·株洲)如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候绿灯，一辆轿车从被山峰POQ遮挡的道路②的点B处由南向北行驶．已知∠POQ＝30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，线段AO的延长线交直线BC于点D.
(1)求∠COD的大小；
(2)若在点B处测得点O在北偏西α方向上，其中tan α＝，OD＝12米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？(当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车)
解：(1)∵AO⊥OP，∴∠POD＝90°，∵∠POQ＝30°，∴∠DOQ＝∠POD－∠POQ＝90°－30°＝60°，∵OC⊥OQ，∴∠COQ＝90°，∴∠COD＝∠COQ－∠DOQ＝90°－60°＝30°，即∠COD的大小为30° (2)∵BC∥OQ，∴∠BCO＝180°－∠COQ＝90°，在Rt△COD中，∠COD＝30°，OD＝12米，∴CD＝OD＝6(米)，∴OC＝＝＝6(米)，∵tan α＝tan ∠OBC＝＝，∴BC＝＝6÷＝30(米)，∴BD＝BC－CD＝30－6＝24(米)，即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车
22．(10分)(2023·重庆)为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A－D－C－B；②A－E－B.经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．(参考数据：≈1.41，≈1.73)
(1)求AD的长度；(结果精确到1千米)
(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？
解：(1)过D作DF⊥AE，垂足为F，由题意得：四边形ABCF是矩形，∴AF＝BC＝10千米，在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，∴AD＝＝＝10≈10×1.41≈14(千米).∴AD的长度约为14千米 (2)小明应该选择线路①，理由：在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，∴∠ADF＝45°＝∠DAF，∴DF＝AF＝10千米，在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－60°＝30°，AB＝DF＋CD＝24千米，∴AE＝AB·tan 30°＝24×＝8(千米)，EB＝2AE＝16千米，按路线①A－D－C－B走的路程为AD＋DC＋CB＝14＋14＋10＝38(千米)，按路线②A－E－B走的路程为AE＋EB＝8＋16≈24×1.73＝41.52(千米).∵38千米＜41.52千米，∴小明应该选择线路①
23．(11分)(济宁中考)知识再现
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
∵sin A＝，sin B＝，
∴c＝，c＝.
∴＝.
拓展探究
(1)如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
请探究，，之间的关系，并写出探究过程；
解决问题
(2)如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60 m，∠A＝75°，∠C＝60°.请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
解：拓展探究
(1)如图，作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，
在Rt△ABE中，sin B＝＝，∴AE＝c sin B，在△ACE中，sin ∠BCA＝＝，AE＝b sin ∠BCA，∴c sin B＝b sin ∠BCA，∴＝，同理可得sin ∠BAC＝＝，∴CD＝b sin ∠BAC，sin B＝＝，∴CD＝a sin B，∵b sin ∠BAC＝a sin B，∴＝，∴＝＝
解决问题
(2)在△ABC中，∠CBA＝180°－∠A－∠C＝180°－75°－60°＝45°，∵＝，∴＝，∴AB＝30，∴点A到点B的距离为30 m
