第五章 二元一次方程组
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列方程组是二元一次方程组的是( C )
A． B． C． D．
2．方程2x＋3y＝10的正整数解有( A )
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
3．已知3a2x－1b1－y与－3a－3yb8－3x是同类项，则x＋y的值为( B )
A．－1 B．1 C．3 D．－3
4．(2022·湘潭)为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有x张桌子，有y条凳子，根据题意所列方程组正确的是( B )
A． B． C． D．
5．若是二元一次方程组的解，则x＋2y的算术平方根为( C )
A．3 B．3，－3 C． D．，－
6．如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是( C )
A. B．
C． D．
7．在整式x2＋ax＋b中，当x＝2时，其值是3；当x＝－3时，其值是4；当x＝1时，其值是( D )
A． B．－ C．－ D．－
8．(2022·齐齐哈尔)端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A，B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A，B两种食品盒中(两种食品盒均要使用并且装满)，则不同的分装方式有( C )
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
9．(2022·贵阳)在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与y＝mx＋n(a＜m＜0)的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数y＝mx＋n的图象中，y的值随着x值的增大而增大；
②方程组的解为
③方程mx＋n＝0的解为x＝2；
④当x＝0时，ax＋b＝－1.
其中结论正确的个数是( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知是三元一次方程组的解，则m2－7n＋3k的值为( C )
A．125 B．119 C．113 D．71
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．(2022·沈阳)二元一次方程组的解是____．
12．(2022·安顺)若a＋2b＝8，3a＋4b＝18，则a＋b的值为__5__．
13．(2022·枣庄)《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金____两．
14．小明同学在解方程组的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为又知方程y＝kx＋b的一个解为则b的正确值应该是__－11__．
15．用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的边长为3；8个长方形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的边长为2；12个长方形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为__1__．
三、解答题(共75分)
16．(8分)解方程组：
(1)(2022·台州) (2)
解： 解：
17．(9分)已知和是关于x，y的二元一次方程ax＋by＝1的两个解，求－的值．
解：将和分别代入ax＋by＝1，得解得所以－＝3－2＝1
18．(9分)已知关于x，y的方程组与的解相同，求a，b的值．
解：由题意可知方程组和的解相同，解方程组得将代入得解得
19．(9分)一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为60 km/h，在高速公路上行驶的速度为100 km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2 h，普通公路和高速公路各长多少千米？
解：设普通公路长x km，高速公路长y km，根据题意，得解得答：普通公路长60 km，高速公路长120 km
20．(9分)(2022·娄底)“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4 mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62 mg.
(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
解：(1)设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x mg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y mg，由题意得，解得，答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40 mg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22 mg (2)50000×40＝2000000(mg)＝2 kg，答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克
21．(10分)(2022·徐州)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
(1)设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为________；
(2)求兽、鸟各有多少．
解：(1)
(2)原方程组可化简为由②可得y＝23－2x③，将③代入①得3x＋2(23－2x)＝38，解得x＝8，∴y＝23－2x＝23－2×8＝7.答：兽有8只，鸟有7只
22．(10分)已知A，B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y(千米)与甲车行驶的时间x(时)之间的函数关系如图所示．
(1)甲车的速度为________千米/时，a的值为________；
(2)求乙车出发后，y与x之间的函数关系式；
(3)当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．
解：(1)由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40(千米/时)；a＝40×6×2＝480，故答案为：40；480
(2)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由图可知，函数图象经过(2，80)，(6，480)，∴解得∴y与x之间的函数关系式为y＝100x－120(2≤x≤6)
(3)两车相遇前：80＋100(x－2)＝240－100，解得x＝；两车相遇后：80＋100(x－2)＝240＋100，解得x＝，答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时
23．(11分)阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足3x－y＝5①，2x＋3y＝7②，求x－4y和7x＋5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得x－4y＝－2，由①＋②×2可得7x＋5y＝19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组则x－y＝________，x＋y＝________；
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝________．
解：(1)由①－②得x－y＝－1，由(①＋②)得x＋y＝5.故答案为：－1；5
(2)设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，依题意，得由2×①－②可得m＋n＋p＝6，∴5m＋5n＋5p＝5×6＝30.答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
(3)依题意，得由3×①－2×②得a＋b＋c＝－11，即1*1＝－11.故答案为：－11第五章 二元一次方程组
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列方程组是二元一次方程组的是( )
A． B． C． D．
2．方程2x＋3y＝10的正整数解有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
3．已知3a2x－1b1－y与－3a－3yb8－3x是同类项，则x＋y的值为( )
A．－1 B．1 C．3 D．－3
4．(2022·湘潭)为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有x张桌子，有y条凳子，根据题意所列方程组正确的是( )
A． B． C． D．
5．若是二元一次方程组的解，则x＋2y的算术平方根为( )
A．3 B．3，－3 C． D．，－
6．如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是( )
A. B．
C． D．
7．在整式x2＋ax＋b中，当x＝2时，其值是3；当x＝－3时，其值是4；当x＝1时，其值是( )
A． B．－ C．－ D．－
8．(2022·齐齐哈尔)端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A，B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A，B两种食品盒中(两种食品盒均要使用并且装满)，则不同的分装方式有( )
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
9．(2022·贵阳)在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与y＝mx＋n(a＜m＜0)的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数y＝mx＋n的图象中，y的值随着x值的增大而增大；
②方程组的解为
③方程mx＋n＝0的解为x＝2；
④当x＝0时，ax＋b＝－1.
其中结论正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知是三元一次方程组的解，则m2－7n＋3k的值为( )
A．125 B．119 C．113 D．71
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．(2022·沈阳)二元一次方程组的解是__ __．
12．(2022·安顺)若a＋2b＝8，3a＋4b＝18，则a＋b的值为__ __．
13．(2022·枣庄)《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金__ __两．
14．小明同学在解方程组的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为又知方程y＝kx＋b的一个解为则b的正确值应该是__ __．
15．用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的边长为3；8个长方形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的边长为2；12个长方形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为__ __．
三、解答题(共75分)
16．(8分)解方程组：
(1)(2022·台州) (2)
17．(9分)已知和是关于x，y的二元一次方程ax＋by＝1的两个解，求－的值．
18．(9分)已知关于x，y的方程组与的解相同，求a，b的值．
19．(9分)一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为60 km/h，在高速公路上行驶的速度为100 km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2 h，普通公路和高速公路各长多少千米？
20．(9分)(2022·娄底)“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4 mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62 mg.
(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
21．(10分)(2022·徐州)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
(1)设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为________；
(2)求兽、鸟各有多少．
22．(10分)已知A，B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y(千米)与甲车行驶的时间x(时)之间的函数关系如图所示．
(1)甲车的速度为________千米/时，a的值为________；
(2)求乙车出发后，y与x之间的函数关系式；
(3)当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．
23．(11分)阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足3x－y＝5①，2x＋3y＝7②，求x－4y和7x＋5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得x－4y＝－2，由①＋②×2可得7x＋5y＝19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组则x－y＝________，x＋y＝________；
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝________．
