第一章 勾股定理
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列各组线段中能构成直角三角形的一组是( )
A．30，40，50 B．7，12，13
C．5，9，12 D．3，4，6
2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，a，b，c分别表示∠A，∠B，∠C的对边，则下列各式中，正确的是( )
A．a2＋b2＝c2 B．a2＋c2＝b2
C．b2＋c2＝a2 D．b2－c2＝a2
3．某直角三角形的一直角边长为8，另一直角边长与斜边长的和为32，则斜边的长为( )
A．10 B．15 C．16 D．17
4．放学以后，小林和小明从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家，他们行走的速度都是40 m/min，小林用了15 min到家，小明用了20 min到家，则他们两家的距离为( )
A．600 m B．800 m
C．1 000 m D．以上都不对
5．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为( )
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm
6．如图，这是用面积为24的四个全等的直角三角形△ABE，△BCF，△CDG和△DAH拼成的“赵爽弦图”，如果AB＝10，那么正方形EFGH的边长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，有一“工”字形的机器零件，它是轴对称图形，图中所有的角都是直角(图中数据单位：cm)，那么A，B两点之间的距离为( )
A．16 cm B．18 cm C．20 cm D．22 cm
8．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD＝1.5 m，竹竿高出水面的部分AD长0.5 m，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度(BD的长)为( )
A．2 m B．2.5 m C．2.25 m D．3 m
9．如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB＝AC＝5，BC＝6，则BP的最小值为( )
A．4.8 B．5 C．4 D．3.5
10．(宁波中考)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( )
A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．请写出一组你喜欢的勾股数：__ __ .
12．(绥化中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB－AC＝2，BC＝8，则AB的长是__ __.
13．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD的面积是__ __．
14．如图，圆柱体的高为8 cm，底面周长为4 cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图所示，则最短路程为__ _ __．
15．(宿迁中考)《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C′处(如图)，水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是__ __尺．
三、解答题(共75分)
16．(8分)如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解答下列问题：
(1)求△ABC的面积；
(2)判断△ABC是什么形状，并说明理由．
17．(9分)已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝20，AD＝12，且AD⊥BC，垂足为D，求BC的长．
18．(9分)小红和小军周日到郊外放风筝，风筝飞得又高又远，小红让小军跑到风筝的正下方，并测出两人之间的距离为60 m，小红发现已将100 m的风筝线放完了，且已知她手握风筝线的地方离地面1.6 m，求风筝离地面的高度．
19．(9分)(攀枝花中考)如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c.请你运用此图形证明勾股定理：a2＋b2＝c2.
20．(9分)11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：
小溪边上长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30肘尺(肘尺是古代的长度单位)，另外一棵树高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺，每棵树的树顶上都停着一只鸟，忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标．
问这条鱼出现的地方离较高的棕榈树的树根有多远？
解：设鱼出现的地方离较高的棕榈树的距离为x肘尺，由题意，得202＋(50－x)2＝x2＋302，解得x＝20.故鱼出现的地方离较高的棕榈树的距离为20肘尺
21．(10分)如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100 km的B处有一台风中心，沿BC方向以20 km/h的速度向点D移动，已知城市A到BC的距离AD＝60 km.
(1)台风中心经过多长时间从点B移到点D
(2)如果在距台风中心30 km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点D休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
22．(10分)如图，长方体的长、宽、高分别为3 cm，1 cm，2 cm，一只蚂蚁从点A(棱的中点)出发到点B处觅食．由于方向判断错误，蚂蚁先向上爬行到此长方体的上底面边缘某点P，然后折返去向B处，求蚂蚁爬行的最短路径长．
题图 答图
23．(11分)根据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．
(1)观察：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且×(9－1)＝4，×(9＋1)＝5和×(25－1)＝12，×(25＋1)＝13.
发现规律：勾为n(n≥3，且n为奇数)时，股＝(n2－1)，弦＝(n2＋1).分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；
(2)根据(1)的规律，用含n(n为奇数，且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合理猜想它们之间的两种等量关系并对其中一种猜想加以证明；
(3)继续观察：①4，3，5；②6，8，10；②8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述的探索的方法，直接用含m(m为偶数，且m≥4)的代数式来表示它们的股和弦．第一章 勾股定理
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列各组线段中能构成直角三角形的一组是( A )
A．30，40，50 B．7，12，13
C．5，9，12 D．3，4，6
2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，a，b，c分别表示∠A，∠B，∠C的对边，则下列各式中，正确的是( C )
A．a2＋b2＝c2 B．a2＋c2＝b2
C．b2＋c2＝a2 D．b2－c2＝a2
3．某直角三角形的一直角边长为8，另一直角边长与斜边长的和为32，则斜边的长为( D )
A．10 B．15 C．16 D．17
4．放学以后，小林和小明从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家，他们行走的速度都是40 m/min，小林用了15 min到家，小明用了20 min到家，则他们两家的距离为( C )
A．600 m B．800 m
C．1 000 m D．以上都不对
5．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为( B )
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm
6．如图，这是用面积为24的四个全等的直角三角形△ABE，△BCF，△CDG和△DAH拼成的“赵爽弦图”，如果AB＝10，那么正方形EFGH的边长为( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，有一“工”字形的机器零件，它是轴对称图形，图中所有的角都是直角(图中数据单位：cm)，那么A，B两点之间的距离为( C )
A．16 cm B．18 cm C．20 cm D．22 cm
8．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD＝1.5 m，竹竿高出水面的部分AD长0.5 m，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度(BD的长)为( A )
A．2 m B．2.5 m C．2.25 m D．3 m
9．如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB＝AC＝5，BC＝6，则BP的最小值为( A )
A．4.8 B．5 C．4 D．3.5
10．(宁波中考)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( C )
A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．请写出一组你喜欢的勾股数：__3，4，5(答案不唯一)__ .
12．(绥化中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB－AC＝2，BC＝8，则AB的长是__17__.
13．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD的面积是__5__．
14．如图，圆柱体的高为8 cm，底面周长为4 cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图所示，则最短路程为__10_cm__．
15．(宿迁中考)《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C′处(如图)，水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是__12__尺．
三、解答题(共75分)
16．(8分)如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解答下列问题：
(1)求△ABC的面积；
(2)判断△ABC是什么形状，并说明理由．
解：(1)S△ABC＝4×4－×1×2－×4×3－×2×4＝16－1－6－4＝5，所以△ABC的面积为5
(2)△ABC是直角三角形．理由如下：因为AB2＝12＋22＝5，AC2＝22＋42＝20，BC2＝32＋42＝25，所以AC2＋AB2＝BC2，所以△ABC是直角三角形
17．(9分)已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝20，AD＝12，且AD⊥BC，垂足为D，求BC的长．
解：因为AB＝13，AC＝20，AD＝12，AD⊥BC，所以在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝132－122＝25，所以BD＝5，在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝202－122＝256，所以CD＝16，所以BC＝BD＋CD＝5＋16＝21
18．(9分)小红和小军周日到郊外放风筝，风筝飞得又高又远，小红让小军跑到风筝的正下方，并测出两人之间的距离为60 m，小红发现已将100 m的风筝线放完了，且已知她手握风筝线的地方离地面1.6 m，求风筝离地面的高度．
解：如图，由题意，得BD＝60 m，AD＝100 m，DE＝1.6 m，由勾股定理，得AB2＝AD2－BD2＝6400，所以AB＝80 m，所以风筝的高度AC＝AB＋BC＝AB＋DE＝80＋1.6＝81.6(m)
19．(9分)(攀枝花中考)如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c.请你运用此图形证明勾股定理：a2＋b2＝c2.
解：由图可知：S大正方形＝4×ab＋(b－a)2＝2ab＋b2＋a2－2ab＝a2＋b2.S大正方形＝c2，所以a2＋b2＝c2
20．(9分)11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：
小溪边上长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30肘尺(肘尺是古代的长度单位)，另外一棵树高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺，每棵树的树顶上都停着一只鸟，忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标．
问这条鱼出现的地方离较高的棕榈树的树根有多远？
解：设鱼出现的地方离较高的棕榈树的距离为x肘尺，由题意，得202＋(50－x)2＝x2＋302，解得x＝20.故鱼出现的地方离较高的棕榈树的距离为20肘尺
21．(10分)如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100 km的B处有一台风中心，沿BC方向以20 km/h的速度向点D移动，已知城市A到BC的距离AD＝60 km.
(1)台风中心经过多长时间从点B移到点D
(2)如果在距台风中心30 km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点D休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
解：(1)因为AB＝100 km，AD＝60 km，所以在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝6400，所以BD＝80 km，则台风中心经过80÷20＝4(h)从点B移到点D
(2)如图，因为距台风中心30 km的圆形区域内都会受到影响，所以人们要在台风中心到达E(DE＝30 km)点之前撤离．因为BE＝BD－DE＝80－30＝50(km)，所以游人在＝2.5(h)内撤离才可脱离危险
22．(10分)如图，长方体的长、宽、高分别为3 cm，1 cm，2 cm，一只蚂蚁从点A(棱的中点)出发到点B处觅食．由于方向判断错误，蚂蚁先向上爬行到此长方体的上底面边缘某点P，然后折返去向B处，求蚂蚁爬行的最短路径长．
题图 答图
解：将长方体的两个侧面展开如图所示，作点A关于上边的对称点A′，易知线段A′B的长即为蚂蚁爬行的最短路径长．由勾股定理，得A′B2＝32＋42＝25，所以A′B＝5 cm，所以蚂蚁爬行的最短路径长为5 cm
23．(11分)根据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．
(1)观察：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且×(9－1)＝4，×(9＋1)＝5和×(25－1)＝12，×(25＋1)＝13.
发现规律：勾为n(n≥3，且n为奇数)时，股＝(n2－1)，弦＝(n2＋1).分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；
(2)根据(1)的规律，用含n(n为奇数，且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合理猜想它们之间的两种等量关系并对其中一种猜想加以证明；
(3)继续观察：①4，3，5；②6，8，10；②8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述的探索的方法，直接用含m(m为偶数，且m≥4)的代数式来表示它们的股和弦．
解：(1)7，24，25的股的算式：24＝×(49－1)＝×(72－1)，
弦的算式：25＝×(49＋1)＝×(72＋1)
(2)当n为奇数，且n≥3时，勾、股、弦的代数式分别是n，(n2－1)，(n2＋1).
猜想：关系式1：弦－股＝1；关系式2：股＋弦＝勾2.
关系式1证明：弦－股＝(n2＋1)－(n2－1)＝1.
关系式2证明：股＋弦＝(n2－1)＋(n2＋1)＝n2＝勾2，所以猜想成立
(3)股：()2－1，弦：()2＋1
