单元测试(二) 整式的乘除
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2023·盘锦)下列运算正确的是( )
A．2a2＋a3＝3a5 B．a3÷a＝a
C．(－m2)3＝－m6 D．(－2ab)2＝4ab2
2．选择计算(－4xy2＋3x2y)(4xy2＋3x2y)的最佳方法是( )
A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式
3．(2023·益阳)下列因式分解正确的是( )
A．2a2－4a＋2＝2(a－1)2 B．a2＋ab＋a＝a(a＋b)
C．4a2－b2＝(4a＋b)(4a－b) D．a3b－ab3＝ab(a－b)2
4．(2023·河北)若k为任意整数，则(2k＋3)2－4k2的值总能( )
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
5．已知3a＝5，9b＝10，则3a＋2b等于( )
A．50 B．－5 C．15 D．27a＋b
6．小明总结了以下结论：①a(b＋c)＝ab＋ac；②a(b－c)＝ab－ac；③(b－c)÷a＝b÷a－c÷a(a≠0)；④a÷(b＋c)＝a÷b＋a÷c(a≠0).其中一定成立的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列运算不正确的是( )
A．xy＋x－y－1＝(x－1)(y＋1)
B．x2＋y2＋z2＋xy＋yz＋zx＝(x＋y＋z)2
C．(x＋y)(x2－xy＋y2)＝x3＋y3
D．(x－y)3＝x3－3x2y＋3xy2－y3
8．(2023·南充)关于x，y的方程组的解满足x＋y＝1，则4m÷2n的值是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
9．(2023·攀枝花)我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
①(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 ②(a－b)2＝a2－2ab＋b2
③(a＋b)(a－b)＝a2－b2 ④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．(2023·巴中)我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a＋b)n展开式的系数规律．
当代数式x4－12x3＋54x2－108x＋81的值为1时，则x的值为( )
A．2 B．－4 C．2或4 D．2或－4
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．(2023·永州)2a2与4ab的公因式为 __ __．
12．(2023·深圳)已知实数a，b，满足a＋b＝6，ab＝7，则a2b＋ab2的值为 __ __．
13．已知2x＝4y＋1，27y＝3x－1，则x－y＝__ __．
14．(2023·无锡)现有一长方形地块，长比宽多20米．若将长增加10米，宽缩短5米，则所得长方形地块与原长方形地块的面积相等，则原长方形地块的长为 __ __米．
15．(河北中考)现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片(边长如图).
(1)取甲、乙纸片各1块，其面积和为 __ __；
(2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片__ __块．
三、解答题(共75分)
16．(8分)计算：
(1)(2x2)3－x2·x4；
(2)[3a2＋2b(3a－2b)＋b(4b－4a)]÷2a.
17．(9分)用简便方法计算：
(1)99×101×10001＋1; (2)932＋232－93×46.
18．(9分)分解因式：
(1)(x－1)2＋2(x－5); (2)6xy2－9x2y－y3.
19．(9分)(2023·长沙)先化简，再求值：(2－a)(2＋a)－2a(a＋3)＋3a2，其中a＝－.
20．(9分)(2023·凉山州)先化简，再求值：(2x＋y)2－(2x＋y)(2x－y)－2y(x＋y)，其中x＝()2023，y＝22022.
21．(10分)(2023·河北)现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(a＞1).某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为S1，S2.
(1)请用含a的式子分别表示S1，S2；当a＝2时，求S1＋S2的值；
(2)比较S1与S2的大小，并说明理由．
22．(10分)(荆门中考)已知x＋＝3，求下列各式的值：
(1)(x－)2；
(2)x4＋.
23．(11分)若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m＋n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100a＋10b＋c.
【基础训练】
(1)解方程填空：
①若＋＝45，则x＝__ __；
②若－＝26，则y＝__ __；
③若＋＝，则t＝__ __；
【能力提升】
(2)交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则＋一定能被__ __整除，－一定能被__ __整除，·－mn一定能被__ __整除；(请从大于5的整数中选择合适的数填空)
【探索发现】
(3)北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如若选的数为325，则用532－235＝297)，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__ __；
②设任选的三位数为(不妨设a＞b＞c)，试说明其均可产生该黑洞数．单元测试(二) 整式的乘除
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2023·盘锦)下列运算正确的是( C )
A．2a2＋a3＝3a5 B．a3÷a＝a
C．(－m2)3＝－m6 D．(－2ab)2＝4ab2
2．选择计算(－4xy2＋3x2y)(4xy2＋3x2y)的最佳方法是( B )
A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式
3．(2023·益阳)下列因式分解正确的是( A )
A．2a2－4a＋2＝2(a－1)2 B．a2＋ab＋a＝a(a＋b)
C．4a2－b2＝(4a＋b)(4a－b) D．a3b－ab3＝ab(a－b)2
4．(2023·河北)若k为任意整数，则(2k＋3)2－4k2的值总能( B )
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
5．已知3a＝5，9b＝10，则3a＋2b等于( A )
A．50 B．－5 C．15 D．27a＋b
6．小明总结了以下结论：①a(b＋c)＝ab＋ac；②a(b－c)＝ab－ac；③(b－c)÷a＝b÷a－c÷a(a≠0)；④a÷(b＋c)＝a÷b＋a÷c(a≠0).其中一定成立的个数是( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列运算不正确的是( B )
A．xy＋x－y－1＝(x－1)(y＋1)
B．x2＋y2＋z2＋xy＋yz＋zx＝(x＋y＋z)2
C．(x＋y)(x2－xy＋y2)＝x3＋y3
D．(x－y)3＝x3－3x2y＋3xy2－y3
8．(2023·南充)关于x，y的方程组的解满足x＋y＝1，则4m÷2n的值是( D )
A．1 B．2 C．4 D．8
9．(2023·攀枝花)我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
①(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 ②(a－b)2＝a2－2ab＋b2
③(a＋b)(a－b)＝a2－b2 ④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．(2023·巴中)我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a＋b)n展开式的系数规律．
当代数式x4－12x3＋54x2－108x＋81的值为1时，则x的值为( C )
A．2 B．－4 C．2或4 D．2或－4
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．(2023·永州)2a2与4ab的公因式为 __2a__．
12．(2023·深圳)已知实数a，b，满足a＋b＝6，ab＝7，则a2b＋ab2的值为 __42__．
13．已知2x＝4y＋1，27y＝3x－1，则x－y＝__3__．
14．(2023·无锡)现有一长方形地块，长比宽多20米．若将长增加10米，宽缩短5米，则所得长方形地块与原长方形地块的面积相等，则原长方形地块的长为 __50__米．
15．(河北中考)现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片(边长如图).
(1)取甲、乙纸片各1块，其面积和为 __a2＋b2__；
(2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片__4__块．
三、解答题(共75分)
16．(8分)计算：
(1)(2x2)3－x2·x4；
解：原式＝8x6－x6＝7x6
(2)[3a2＋2b(3a－2b)＋b(4b－4a)]÷2a.
解：原式＝(3a2＋6ab－4b2＋4b2－4ab)÷2a＝(3a2＋2ab)÷2a＝a＋b
17．(9分)用简便方法计算：
(1)99×101×10001＋1; (2)932＋232－93×46.
解：原式＝(100－1)(100＋1)(10000＋1)＋1
＝(10000－1)(10000＋1)＋1
＝108－1＋1
＝108
18．(9分)分解因式：
(1)(x－1)2＋2(x－5); (2)6xy2－9x2y－y3.
解：原式＝x2－2x＋1＋2x－10
＝x2－9
＝(x＋3)(x－3) 解：原式＝－y(－6xy＋9x2＋y2)
＝－y(3x－y)2
19．(9分)(2023·长沙)先化简，再求值：(2－a)(2＋a)－2a(a＋3)＋3a2，其中a＝－.
解：原式＝4－a2－2a2－6a＋3a2＝4－6a，当a＝－时，原式＝4－6×(－)＝4＋2＝6
20．(9分)(2023·凉山州)先化简，再求值：(2x＋y)2－(2x＋y)(2x－y)－2y(x＋y)，其中x＝()2023，y＝22022.
解：原式＝4x2＋4xy＋y2－4x2＋y2－2xy－2y2＝2xy，当x＝()2023，y＝22022时，原式＝2×()2023×22022＝2××()2022×22022＝2××(×2)2022＝2××12022＝2××1＝1
21．(10分)(2023·河北)现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(a＞1).某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为S1，S2.
(1)请用含a的式子分别表示S1，S2；当a＝2时，求S1＋S2的值；
(2)比较S1与S2的大小，并说明理由．
解：(1)由图可知S1＝(a＋2)(a＋1)＝a2＋3a＋2，S2＝(5a＋1)×1＝5a＋1，当a＝2时，S1＋S2＝a2＋8a＋3＝23 (2)S1＞S2，理由：S1－S2＝(a2＋3a＋2)－(5a＋1)＝a2－2a＋1＝(a－1)2，又∵a＞1，∴(a－1)2＞0，∴S1＞S2
22．(10分)(荆门中考)已知x＋＝3，求下列各式的值：
(1)(x－)2；
(2)x4＋.
解：(1)∵(x＋)2＝x2＋2＋＝32，∴x2＋＝7，∴(x－)2＝x2＋－2＝7－2＝5 (2)∵(x2＋)2＝x4＋2＋＝72，∴x4＋＝47
23．(11分)若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m＋n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100a＋10b＋c.
【基础训练】
(1)解方程填空：
①若＋＝45，则x＝__2__；
②若－＝26，则y＝__4__；
③若＋＝，则t＝__7__；
【能力提升】
(2)交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则＋一定能被__11__整除，－一定能被__9__整除，·－mn一定能被__10__整除；(请从大于5的整数中选择合适的数填空)
【探索发现】
(3)北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如若选的数为325，则用532－235＝297)，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__495__；
②设任选的三位数为(不妨设a＞b＞c)，试说明其均可产生该黑洞数．
解：(1)①∵＝10m＋n，∴若＋＝45，则10×2＋x＋10x＋3＝45，∴x＝2，故答案为：2 ②若－＝26，则10×7＋y－(10y＋8)＝26，解得y＝4，故答案为：4 ③由＝100a＋10b＋c以及四位数的类似公式，若＋＝，则100t＋10×9＋3＋100×5＋10t＋8＝1000×1＋100×3＋10t＋1，∴100t＝700，∴t＝7，故答案为：7 (2)∵＋＝10m＋n＋10n＋m＝11m＋11n＝11(m＋n)，∴则＋一定能被11整除．∵－＝10m＋n－(10n＋m)＝9m－9n＝9(m－n)，∴－一定能被9整除．∵·－mn＝(10m＋n)(10n＋m)－mn＝100mn＋10m2＋10n2＋mn－mn＝10(10mn＋m2＋n2)，∴·－mn一定能被10整除．故答案为：11；9；10 (3)①若选的数为325，则有532－235＝297，以下按照上述规则继续计算：972－279＝693，963－369＝594，954－459＝495，954－459＝495……该“卡普雷卡尔黑洞数”为495 ②当任选的三位数为时，第一次运算后得：100a＋10b＋c－(100c＋10b＋a)＝99(a－c)，结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b＋1≥c＋2，∴a－c≥2，又∵9≥a＞c≥0，∴a－c≤9，∴a－c＝2，3，4，5，6，7，8，9，∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字经过运算，分别可以得到：981－189＝792，972－279＝693，963－369＝594，954－459＝495，954－459＝495……故均可产生该黑洞数495
